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课时跟踪检测(四十二) 空间向量的综合应用一保高考,全练题型做到高考达标1.(2019海安检测)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AA1AD1,E为CD的中点(1)求证:B1EAD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由(3)若二面角AB1EA1的大小为30,求AB的长解:(1)证明:以A为坐标原点, 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设ABa,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故(0,1,1),.0110,即B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP平面B1AE,此时(0,1,z0)由(1)知,(a,0,1),.设平面B1AE的法向量为n(x,y,z)则即取x1,得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE,只要n,即az00,解得z0.又DP平面B1AE,在棱AA1上存在一点P,满足DP平面B1AE,此时AP.(3)连结A1D,B1C,由长方体ABCD A1B1C1D1及AA1AD1,得AD1A1D.B1CA1D,AD1B1C.又由(1)知B1EAD1,且B1CB1EB1,AD1平面DCB1A1.是平面A1B1E的一个法向量,此时(0,1,1)则cosn, .二面角AB1EA1的大小为30,解得a2,即AB的长为2.2(2018南京学情调研)如图,在底面为正方形的四棱锥PABCD中,侧棱PD底面ABCD,PDDC,E是线段PC的中点(1)求异面直线AP与BE所成角的大小;(2)若点F在线段PB上,且使得二面角FDEB的正弦值为,求的值解:(1)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PD底面ABCD,所以DA,DC,DP两两垂直,故以,为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.因为PDDC,所以DADCDP,不妨设DADCDP2,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0)因为E是PC的中点,所以E(0,1,1),所以(2,0,2),(2,1,1),所以cos,从而,.因此异面直线AP与BE所成角的大小为.(2)由(1)可知,(0,0,2),(0,1,1),(2,2,0),(2,2,2)设,则(2,2,2),从而(2,2,22)设m(x1,y1,z1)为平面DEF的法向量,则即取z1,则y1,x121.故m(21,)为平面DEF的一个法向量,设n(x2,y2,z2)为平面DEB的法向量,则即取x21,则y21,z21.所以n(1,1,1)为平面BDE的一个法向量因为二面角FDEB的正弦值为,所以二面角FDEB的余弦值的绝对值为,即|cosm,n|,化简得421.因为点F在线段PB上,所以01,所以,即.3(2018常州期末)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧面ADD1A1底面ABCD,D1AD1D,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD2AB2BC2.(1)在平面ABCD内找一点F,使得D1F平面AB1C;(2)求二面角CB1AB的余弦值解:(1)取A1D1的中点E,因为D1AD1D,所以D1AA1A,所以AEA1D1.又A1D1AD,所以AEAD.因为侧面ADD1A1底面ABCD,侧面ADD1A1底面ABCDAD,AE侧面ADD1A1,所以AE平面ABCD.则以A为原点,以AB,AD,AE所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1),B1(1,1,1),设F(a,b,0),则(a,b1,1), (1,1,0),(1,1,1),因为D1F平面AB1C,所以即得ab,所以F,即F为AC的中点所以存在AC的中点F,使D1F平面AB1C.(2)由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1.设平面B1AB的法向量n2(x,y,z),因为(1,0,0),所以即令y1,得n2(0,1,1)则cosn1,n2.由图知二面角CB1AB为锐角,所以二面角CB1AB的余弦值为.4(2019苏北四市一模)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ABCBAD90,ADAP4,ABBC2,M为PC的中点(1)求异面直线AP与BM所成角的余弦值;(2)点N在线段AD上,且AN,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求的值解:(1)因为PA平面ABCD,且AB平面ABCD,AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD.又因为BAD90,所以PA,AB,AD两两垂直以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4)又因为M为PC的中点,所以M(1,1,2)所以(0,0,4),(1,1,2),所以cos,所以异面直线AP与BM所成角的余弦值为.(2)因为AN,所以N(0,0)(04),则(1,1,2),(0,2,0),(2,0,4)设平面PBC的法向量为m(x,y,z),则即令x2,得y0,z1,所以m(2,0,1)是平面PBC的一个法向量,因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,所以|cos,m|,解得10,4,所以的值为1.二上台阶,自主选做志在冲刺名校(2018无锡期末)如图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AD1,D1D2,点P为棱CC1的中点(1)设二面角AA1BP的大小为,求sin 的值;(2)设M为线段A1B上的一点,求的取值范围解:(1)如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),A1(1,0,2),P(0,1,1),B(1,1,0),所以(1,1,1),(1,0,1),设平面PA1B的法向量为m(x,y,z),则即令x1,得m(1,2,1)又平面AA1B的一个法向量n(1,0,0),
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