四川省凉山州市2019届高三数学第二次诊断性检测试题（含解析）.docx

凉山州 2019 届高中毕业班第二次诊断性检测数学理科第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】化简复数z，根据实部与虚部即可判断对应的点所在象限.【详解】1i，在复平面内的对应点位 （1，1），故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，化简复数为1i，是解题的关键2.若集合，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】写出集合A中所包含的元素，可得到a不在集合内，进而得到结果.【详解】集合,根据元素和集合的关系得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合与元素的关系，属于基础题.3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：模拟程序的运行，可得S0，k1满足条件k6，执行循环体，S，k2满足条件k6，执行循环体，S2+，k3满足条件k6，执行循环体，S2+，k4满足条件k6，执行循环体，S2+，k5满足条件k6，执行循环体，S2+，k6此时，不满足条件k6，退出循环，输出S的值为62故选：C【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答4.若点在角的终边上，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义得到，再由二倍角公式得到结果.【详解】点在角的终边上,根据三角函数的定义得到，.故 故答案为：D.【点睛】这个题目考查了三角函数的定义，三角函数的定义将角的终边上的点的坐标和角的三角函数值联系到一起，.知道终边上的点的坐标即可求出角的三角函数值，反之也能求点的坐标.5.已知双曲线：及双曲线：，且的离心率为，若直线与双曲线，都无交点，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的方程可得到双曲线是共渐近线的双曲线，故当直线和两个双曲线都没有交点时，只能是和渐近线重合，列式求解即可.【详解】双曲线：及双曲线：,是共渐近线的双曲线，则直线与双曲线，都无交点，只能是直线和双曲线重合，渐近线方程为:因为，故得到值为.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了双曲线的几何意义，渐近线的求法，以及已知离心率求渐近线的方法的应用，题目比较基础.双曲线的离心率和渐近线的斜率存在这样的等量关系：.6.如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） 正视图 侧视图俯视图A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图可得到原图是个三棱锥，通过分析知道球心是PB的中点，进而得到球的半径.【详解】根据三视图可知原图是一个斜着的三棱锥，原图是下图中的三棱锥P-ABC,根据正方体的侧棱BC垂直于面PC得到BC垂直于PC，故角PCB为直角，同理角PAB也为直角，故PB的中点记为O，就是外接球的球心，半径是PB的一半，故答案为：B.【点睛】这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三视图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。7.已知等差数列的前项和为，（，且），则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题干条件得到 再由数列的前n项和公式和通项公式得到解出即可.【详解】等差数列的前项和为，故得到 ，同理得到由等差数列的通项公式和求和公式得到联立两个方程组得到m=5.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了等差数列的通项公式的应用，以及前n项和的应用，题目比较基础.8.设：实数，满足，且；：实数，满足；则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出命题q中a和b的范围，根据范围的大小可得到p能推出q命题，q推不出p，进而得到结果.【详解】设：实数，满足，且；：实数，满足根据对数不等式解出结果得到，当实数，满足，且时，一定有，故p能推出q命题；反之，可使得，均满足这个不等式组，但是不满足p命题中的条件，故q推不出p.故p是q的充分不必要条件.故答案为：A.【点睛】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.9.设，有下面两个命题：，；：，则下面命题中真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式组画出可行域得到两个命题均为真，可得到答案.【详解】根据不等式组，和命题pq表示的不等式画出可行域，根据题意得到满足不等式组的区域，均在，所表示的区域内；故p和q命题均为真命题.故为真，为假，其它选项均为假.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了用区域来表示二次不等式所表示的范围，考查了命题真假的判断，以及或且非命题的真假判断；当两个命题均为真时，为真，当其中至少一个是真命题时为真命题.10.已知，则，不可能满足的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数运算法则可得，结合均值不等式即可得到结果.【详解】由，可得，即又a，b为不相等的正数，即，故A，B正确；等价于又，且，故C正确；故D错误。故选：D【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查指数幂的运算法则与性质，考查推理能力与计算能力.11.我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得，故，利用裂项相消法可得，代入选项检验即可.【详解】，而，即，当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；当n=9时，左边=，右边=，显然适合，故最小正整数的值9故选：B【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.12.若，恒成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设,则，原不等式等价于恒成立,通过求导研究函数的单调性进而得到函数的最值，得到参数值.【详解】设,则，原不等式等价于恒成立，设是单调递增的，零点为,在，函数y的最小值为1，故，零点是 在上单调递增，故，故.故答案为：C.【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若 ，则_【答案】-80【解析】【分析】根据二项式的展开式得到所对应的应该是的系数，根据二项式展开式的公式得到结果即可.【详解】根据二项式的展开式得到所对应的应该是的系数，由展开式的公式可得到含有的展开项为.故答案为：-80.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需人，其中甲不能当文娱委员，则共有_种不同结果（用数字作答）【答案】9【解析】【分析】分两种情况：其一，甲当选班长，3种情况；其二，甲没有当选职位，有6种方法，共9种.【详解】当甲当选班长时，则文娱委员就从剩下的3个人中选择，有3种选法；当甲没有当选时，两个职位从剩下的3个人中选择，并排好职位，有种方法；共9种方法.故答案为：9.【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题“除序法”；（4）带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题间接法15.点在曲线上，是的最小正周期，设点，若，且，则_【答案】【解析】【分析】由得到的值，进而由点在曲线上得到，结合，可得k值，从而得到T.【详解】由可得：，又点在曲线上，即，又即，即，又k=0，即故答案为：4【点睛】本题考查正弦函数的图像与性质，考查函数的最值与周期性，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.16.已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为_【答案】8【解析】【分析】设出两条直线，分别和抛物线联立，根据抛物线的弦长公式得到，再由韦达定理得到，利用均值不等式得到最值.【详解】设，设直线为,联立直线和抛物线得到，两根之和为：,同理联立直线和抛物线得到 由抛物线的弦长公式得到 代入两根之和得到，已知，故答案为：8.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，.（1）求角；（2）若，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角关系可得，结合内角和定理及两角和正切公式可得到结果；（2）由可得，又由正弦定理可知，从而解得a，c，再利用余弦定理可得结果.【详解】解：（1）法一：为三角形的内角，,，又 ，法二：，为三角内角， ，（2），又：即，则由得：又 .【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18.设矩形中，点、分别是、的中点，如图1.现沿将折起，使点至点的位置，且，如图2.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)结合图形的特点以及垂直关系得到，再由勾股定理证得，进而得到线面垂直；（2）建立空间坐标系得到两个面的法向量，利用向量夹角公式得到结果.【详解】（1）证明：由题设知：又，；，面 面，面，在矩形中，、为中点，又，面 ， 面（2） 面，由（1）知面面，且以为原点，为轴，为轴建立如图的空间直角坐标系在中，过作于，（也可用）、面的一个法向量为设面的一个法向量为、由即令，则，, 二面角为【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.求面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。19.火把节是彝族、白族、纳西族、基诺族、拉祜族等民族的古老传统节日，有着深厚的民俗文化内涵，被称为“东方的狂欢节”凉山州旅游局为了解民众对火把节知识的知晓情况，对西昌市区 A,B 两小区的部分居民开展了问卷调查，他们得分(满分100分)数据，统计结果如下：A小区得分范围/分频率B小区（1）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，求B小区的平均分；（2）若A小区得分在内的人数为人，B小区得分在内的人数为人，求在 A，B 两小区中所有参加问卷调查的居民中得分不低于分的频率；（3）为感谢大家参与这次活动袁州旅游局还对各小区参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：本小区得分低于分的可以获得次抽奖机会，得分不低于分的可获得次抽奖机会，若在一次抽奖中，抽中价值为元的纪念品的概率为，抽中价值为30元的纪念品的概率为，现有B小区市民张先生参加了此次问卷调查，记为他参加活动获得纪念品的总价值，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）0.08；（3）见解析【解析】【分析】(1)根据题干要求进行代数计算即可；（2）根据题干条件得到AB两个小区不低于90分的人数，以及调查的总人数，做商得到结果；（3）张先生获得纪念品的总价值的可能取值为，分别计算其对应的概率，进而得到分布列和均值.【详解】（1）设B小区的平均分为，,则 B小区的平均分为（2）A小区得分为分的频率为A小区被问卷调查的居民共有（人）B小区得分为分的频率为B小区被问卷调查的居民共有（人）A小区不低于分的居民共有（人）B小区不低于分的居民共有（人）所有参加问卷调查的居民得分不低于分的频率为：（3）B小区得分不低于分的频率为得分低于分的频率为张先生获得纪念品的总价值的可能取值为，的分布列：【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.20.椭圆长轴右端点为，上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于、两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在直线：满足要求.【解析】【分析】（1）由条件布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；（2）由为的垂心可知，利用韦达定理表示此条件即可得到结果.【详解】解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为.则、由，即，又，解得，椭圆的方程为（2）为的垂心，又，设直线：，将直线方程代入，得，且又，即由韦达定理得：解之得：或（舍去）存在直线：使为的垂心.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题21.设函数，（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若存在极值点，证明：.【答案】（1）单调递增为；（2）见解析【解析】【分析】(1)将参数值代入解析式，对函数求导，得到导函数，由导函数的正负得到原函数的单调性；（2）存在极值点，可以转化为在上有解，即当，在有解，即使得两个函数有交点即可，对函数求导研究函数的单调性和图像得到，根据为的极值点， ，结合均值不等式求最值.【详解】（1）当时， 设，则，当时，当时，在为减函数，在为增函数，成立在单调递增（2）存在极值点，在上有解即有解即在上有解，当上式不成立即当，在有解即曲线与曲线在上有交点 当或时，当， 时，作出的图象如图，即又为的极值点，即. 【点睛】这个题目考查了导数在研究函数单调性中的应用，以及导数在研究函数极值最值过程中的综合应用，本题也涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求