安徽省师范大学附属中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）.docx

安徽师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）A. B. 4C. -4D. -4i【答案】C【解析】【分析】先化简复数，再根据虚部概念求解.【详解】因为，所以虚部为-4，选C.【点睛】本题考查复数运算与虚部概念，考查基本求解能力，属基础题.2.下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数运算法则逐一计算,即可选择.【详解】因为，所以选D.【点睛】本题考查导数运算法则，考查基本求解能力，属基础题.3.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】此题考查导数的运算；4.在用数学归纳法证明:“对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于( )A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】根据前几项逐一验证可得结果.【详解】当时，当时，当时，当时，当时，所以第一步验证的n0等于5，选C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断求解能力，属基础题.5.如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有( )A. 24种B. 18种C. 16种D. 12种【答案】D【解析】【分析】先对正三棱锥PABC三个表面染色，再对正三棱柱ABCA1B1C1三个表面染色，最后根据分步计数原理得结果.【详解】先对正三棱锥PABC三个表面染色，有种,再对正三棱柱ABCA1B1C1三个表面染色有种，所以共有 种，选D.【点睛】本题考查排列组合应用，考查基本分析求解能力，属基础题.6.函数的导函数在区间上的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，可排除又在处取最大值；故排除B.故选A【点睛】本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，其中分析函数的性质，及不同性质在图象上的表现是解答本题的关键7.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16这样的数称为“正方形数”如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是( ) 13310；25916；361521；491831；642836.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定“三角形数”与“正方形数”规律，再根据规律进行判断.【详解】“三角形数”为， “正方形数”为，其中,13310中13不是“正方形数”；25916中9，16不是“三角形数”，361521中36是“正方形数”，15，21为两个相邻的“三角形数”；491831中18，31不是“三角形数”， 642836中64是“正方形数”，28，36为两个相邻的“三角形数”；所以选C.【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析判断能力，属基础题.8.向平面区域(x，y)|，0y1内随机投掷一点，该点落在曲线ycos2x下方的概率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据定积分求曲线ycos2x下方与平面区域所围封闭图形面积，再根据几何概型概率公式求结果.【详解】因为曲线ycos2x下方与平面区域所围封闭图形面积为，所以所求概率为，选D.【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积以及几何概型概率，考查基本分析判断能力，属中档题.9.函数的定义域为，对，有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数可判断函数的单调性，由已知条件可得函数的零点，由此可解得不等式【详解】解：令，则，即在上单调递增，又，故当时，即，整理得，的解集为故选：【点睛】本题考查利用导数分析函数单调性的性质及其应用, 并求解抽象不等式，综合性较强，属于难题10.已知函数在区间内没有极值点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的极值点，可得或，由此求得的取值范围.【详解】因为函数在区间内没有极值点，所以，或，解得或，令，可得，故选C.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有倍角公式和辅助角公式的应用，有关函数的极值点的位置，从而得到相应的范围，求得结果，属于中档题目.11.某地举办科技博览会，有个场馆，现将个志愿者名额分配给这个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同分配方法共有（ ）种A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】“每个场馆至少有一个名额分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法.【详解】每个场馆至少有一个名额的分法为种，至少有两个场馆的名额相同的分配方法有（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），再对场馆分配，共有种，所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种，故选A.【点睛】该题考查是有关形同元素的分配问题，涉及到的知识点有隔板法，在解题的过程中，注意对至少两个场馆分配名额相同的要去除.12.三棱锥PABC中，底面ABC满足BA=BC， ，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先建立外接球半径与P到底面ABC的距离函数关系式，再根据导数求最值，即得结果.【详解】设外接球半径为，P到底面ABC的距离为，则，因为，所以，因为，所以当时，当时，因此当时，取最小值，外接球的表面积取最小值，选B.【点睛】本题考查三棱锥外接球以及利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。13. 【答案】3【解析】试题分析：考点：1、定积分；2、分段函数【一题多解】表示几何意义是由围成的曲边形的面积，如图所示，图中五边形的面积为，故14.设z是虚数，。则z的实部取值范围为_。【答案】【解析】【详解】设z=a+bi,.则 所以.当b=0时，无解；当，符合条件.因此z的实部取值范围为15.如图，在梯形ABCD中，ABDC，ABa，CDb(ab)若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为m:n，则可推算出：，试用类比的方法，推想出下述问题的结果在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD、BC相交于O点，设OAB、OCD的面积分别为S1、S2，EFAB，且EF到CD与AB的距离之比为m:n，则OEF的面积S0与S1、S2的关系是_【答案】.【解析】在平面几何中类比几何性质时，一般为：由平面几何点的性质，类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质，类比推理空间几何中面积的性质；故由：“”，类比到关于OEF的面积S0与S1,S2的结论是：.点睛：合情推理包括归纳推理和类比推理，在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误16.如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB1m，AD0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为_m2.【答案】【解析】【分析】先建立坐标系，根据条件得边缘线轨迹为抛物线，求出其方程，利用导数求其切线方程，根据坐标求得直角三角形DEF的面积,利用基本不等式求其最小值，即得五边形ABCEF的面积最大值.【详解】以O为坐标原点，AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，设边缘线OM上一点，则，设EF与边缘线OM的切点为,因为，所以，故EF所在直线方程为，因此，其中，从而因为当时，当时，即当时取最小值，从而五边形ABCEF的面积取最大值.【点睛】本题考查抛物线定义以及利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：本大题共5小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数在处有极值 (1) 求的值；（2）判断函数的单调性并求出单调区间.【答案】（1），b=1（2）函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+）【解析】试题分析：（1）因为在处有极值，故，从而.（2）求得，则当时，因此增区间为；当 时，有，因此减区间为.解析：（1） ，又在处有极值， 即解得. （2）由（1）可知，其定义域是，由，得；由，得. 所以函数的单调减区间是，单调增区间是 18.用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)比21034大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数【答案】（1）30（2）39（3）8【解析】试题分析：（1）合理分类或分步，做到不重不漏；（2）正难则反，注意间接法的应用试题解析：(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有CA12个五位数；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有CA12个五位数；当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A6个五位数；故共有612123639个满足条件的五位数(2)可分为两类：末位数是0，个数有AA4；末位数是2或4，个数有AC4；故共有AAAC8个满足条件的五位数19.已知数列 满足 .（）证明：数列 是等比数列； （）令 ，用数学归纳法证明： 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由等比数列定义知即证比值为非零常数，代入化简即可（2）由（1）得，即证，这可利用数学归纳法进行论证试题解析：（1）令，则，数列，即是等比数列；（2）由（1）得，下面用数学归纳法证明当，时，当时，不等式的左边，右边，而， 时，不等式成立；假设当时，不等式成立，即；当时，当时，不等式也成立由可得，当，时，考点：等比数列定义，数学归纳法20.已知函数，.（1）求曲线在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算的值，求出切线方程即可；（2）令，求出，对的范围进行分类讨论，研究函数的单调性，从而求得结果.【详解】(1) , ,所求切线方程为 (2)令当时，时，；时，在上是减函数，在上是增函数，即 当时，在上增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，则，解得 当时，在上是增函数，成立 当时，在上增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数在某个点处的切线方程的求解问题，构造新函数研究函数恒成立问题，属于较难题目.21.已知函数 ，x R其中a0.（）求函数f(x)的单调区间；（）若函数f(x)在区间(-3,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；（）当a=1时，设函数f(x)在区间t,t+3上的最大值为M(t)，最小值为m(t),记 ,求函数g(t)在区间-4,-1上的最小值.【答案】(1)增区间：和；减区间：；(2)；(3).【解析】试题分析：（1）先求出函数的导函数，由，得出函数的极值点，进而列出表格，写出函数的单调增、减区间即可；（2）结合（1）中所求，得出判断：在内单调递增，在内单调递减，进而得出函数在内恰有两个零点的条件，从中求解即可得出的取值范围；（3）根据及（1）中的结果，作出判断在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，然后分、三种情况进行确定函数的最大值与最小值，进而确定在各段的最小值，最