高考数学总复习同步测试卷（十五）空间图形的有关计算理新人教版.docx

同步测试卷理科数学(十五)【p313】(空间图形的有关计算)时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知A(0，1，1)，B(2，1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.BC.D【解析】由题得(2，2，1)，(2，3，3)，而cos，故直线AB和CD所成角的余弦值为.【答案】A2在平行六面体ABCDEFGH中，若x2y3z，则xyz等于()A.B.C.D1【解析】在平行六面体ABCDEFGH中，x2y3z，x1，2y1，3z1，x1，y，z，xyz.【答案】C3已知点A(1，2，0)和向量a(3，4，12)，若向量a，且|2|a|，则B点的坐标为()A(5，6，24)B(5，6，24)或(7，10，24)C(5，16，24)D(5，16，24)或(7，16，24)【解析】设点B(x，y，z)，那么(x1，y2，z)，因为a，故有a(3，4，12)，得到x13，y24，z12，那么再利用|2|a|226，得到2或2，进而得到B点坐标为(5，6，24)或(7，10，24)【答案】B4在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，)若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3 BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2 DS3S2且S3S1【解析】根据题目条件，在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥DABC，如图，显然S1SABC222，S2S32.【答案】D5平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于()A5 B6 C4 D8【解析】在平行六面体ABCDA1B1C1D1中有，所以有|，于是有|2|2|2|2|22|cos 602|cos 6025，所以|5.【答案】A6把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为()A2B.C1D3【解析】四个球心连线是正三棱锥棱长均为2，ED，ODED，AO.第四个球的最高点与桌面的距离为OA加上两个半径即2，故选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上)7在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为_【解析】建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2，0，0)，A1(0，0，2)，E(0，2，1)，则(2，0，2)，(0，2，1)设平面A1ED的法向量为n(x，y，z)，则则即令y1，得n(2，1，2)易知平面ABCD的法向量为m(0，0，1)，则cosn，m.即所求二面角的余弦值为.【答案】8已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示向量_【解析】如图所示，()()()(2)()(bca)【答案】(bca)9如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为_【解析】设PDa(a0)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E，(0，0，a)，cos，a，a2.E的坐标为(1，1，1)【答案】(1，1，1)10已知梯形CEPD如下图所示，其中PD8，CE6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE平面ABCD，得到如图所示的几何体已知当点F满足(01)时，平面DEF平面PCE，则的值为_【解析】因为四边形ABCD为正方形，且平面PABE平面ABCD，所以PA，AB，AD两两垂直，且PABE，所以建立空间直角坐标系(如图所示)，又因为PD8，CE6，所以P(0，0，4)，C(4，4，0)，E(4，0，2)，D(0，4，0)，B(4，0，0)，则F(4，0，0)，(4，4，2)，(4，4，0)，(0，4，2)，(4，0，2)，设平面DEF的法向量为m(x，y，z)，则由得取m(1，22)，平面PCE的法向量为n(x，y，z)，则由得取n(1，1，2)，因为平面DEF平面PCE，所以mn12(22)530，解得.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(16分)在如图所示的几何体中，EA平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，AD綊BC，ADAE1，ABC60，EF綊AC.(1)证明：ABCF；(2)求二面角BEFD的余弦值【解析】(1)由题知EA平面ABCD，BA平面ABCD，BAAE.过点A作AHBC于H，在RtABH中，ABH60，BH，AB1，在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos 603，AB2AC2BC2，ABAC，且ACEAA，AB平面ACFE.又CF平面ACFE，ABCF.(2)以A为坐标原点，AB，AC，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，E(0，0，1)，F，D，(1，0，1)，.设n(x，y，z)为平面BEF的一个法向量，则令x1得n(1，0，1)，同理可求平面DEF的一个法向量m(2，0，1)，cosm，n，所以二面角BEFD的余弦值为.12(16分)已知CD是等边三角形ABC的AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)求直线BC与平面DEF所成角的正弦值；(2)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？证明你的结论【解析】(1)以点D为坐标原点，直线DB，DC，DA分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，设等边三角形ABC的边长为a，则A，B，C，E，F，设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)又因为，设直线BC与平面DEF所成角为，则sin |cos，n|，即直线BC与平面DEF所成角的正弦值等于.(2)假设在线段BC上存在一点，使APDE，令(01)，即，则P，于是.因为APDE，所以0，整理得a2a20，解得，符合题意故线段BC上存在一点P，使APDE.13(18分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且ABAC1，AD.(1)证明：MN平面PCD；(2)设直线AC与平面PBC所成角为，当在内变化时，求二面角PBCA取值范围【解析】(1)取PD中点Q，连接NQ、CQ，因为点M，N分别为BC，PA的中点，所以NQADCM，NQADCM，四边形CQNM为平行四边形，MNCQ，又MN平面PCD，CQ平面PCD，所以MN平面PCD；(2)法一：连接PM，因为ABAC1，点M为BC的中点，则AMBC，又PA平面ABCD，则PMBC，所以PMA即为二面角PBCA的平面角又AMPMM，所以BC平面PAM，则平面PBC平面PAM.过点A在平面PAM内作AHPM于H，则AH平面PBC.连接CH，于是ACH就是直线AC与平面PBC所成的角，即ACH.在RtAHM中，AHsinAMH；在RtAHC中，CHsin ，sinAMHsin .0，0sin ，0sinAMH.又0AMH，0AMH.即二面角PBCA取值范围是.法二：连接PM，因为ABAC1，点M为BC的中点，则AMBC.又PA平面ABCD，则PMBC所以PMA即为二面角PBCA的平面角，设为，以AB，AC，A