高考数学直线、平面、简单几何体和空间向量第61讲立体几何中的综合问题（向量法、几何法综合）练习.docx

第61讲立体几何中的综合问题(向量法、几何法综合)夯实基础【p139】【学习目标】1能根据题目条件灵活选择用几何法或向量法解决问题2会分析探究立体几何中位置关系问题和几何量的取值问题，培养探究思维能力【基础检测】1已知矩形ABCD，AB1，BC.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，()A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直【解析】对于ABCD，因为BCCD，由线面垂直的判定可得CD平面ACB，则有CDAC，而ABCD1，BCAD，可得AC1，那么存在AC这样的位置，使得ABCD成立【答案】B2如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支【解析】利用平面截圆锥面直接得轨迹因为PAB30，所以点P的轨迹为以AB为轴线，PA为母线的圆锥面与平面的交线，且平面与圆锥的轴线斜交，故点P的轨迹为椭圆【答案】C3(1)三角形的一边BC在平面内，l，垂足为A，ABC，P在l上滑动，点P不同于A，若ABC是直角，则PBC是_三角形；(2)直角三角形PBC的斜边BC在平面内，直角顶点P在平面外，P在平面上的射影为A，则ABC是_三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”)【解析】(1)如图，PA平面ABC，PABC，又ABC90，BCAB，BC平面PAB，PBC90.(2)如图，PB2PC2BC2，ABPB，ACPC，所以AB2AC2BC2，故BAC为钝角【答案】(1)直角；(2)钝角4如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan的最大值是_(仰角为直线AP与平面ABC所成角)【解析】先利用解三角形知识求解，再利用确定函数最值的方法确定最值如图，过点P作POBC于点O，连接AO，则PAO.设COx m，则OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m所以cosBCA.所以AO(m)所以tan.当，即x时，tan取得最大值为.【答案】【知识要点】1折叠问题(1)将平面图形按一定规则折叠成立体图形，再对立体图形的位置和数量关系进行论证和计算，这就是折叠问题(2)处理折叠问题，要先画好平面图形，并且注意平面图形与立体图形的对照使用，这样有利于分析元素间的位置关系和数量关系(3)要注意分析折叠前后位置关系及数量关系的变化一般位于折线一边的点、线间的位置关系和数量关系不变，位于折线两边的点、线间的位置关系，数量关系要发生变化不变的关系，要注意在平面图形中处理；变化的关系，一般在立体图形中处理2探究性问题(1)若某几何量或几何元素的位置关系存在时，某点或线或面应具备何种条件的问题，就是立体几何中的探究性问题(2)探究性问题的题设情境通常就是“是否存在”，其求解策略是：观察猜想证明；赋值推断；类比联想；特殊一般特殊典例剖析【p139】考点1线面位置关系的证明在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论【解析】(1)如图，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ADa，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.，(0，a，0)0，即EFCD.(2)设G(x，0，z)，则，若使GF平面PCB，则由(a，0，0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.G点坐标为，即G点为AD的中点考点2空间角与距离的求法如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2，求点A到平面MBC的距离【解析】如图，取CD的中点O，连接OB，OM.因为BCD与MCD均为正三角形，所以OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，所以OBOM，则O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，0)，A(0，2)，所以(1，0)，(0，)设平面MBC的法向量为n(x，y，z)，由得即取x，可得平面MBC的一个法向量为n(，1，1)又(0，0，2)，所以所求距离为d.【点评】求点面距一般有以下三种方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；等体积法；向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便考点3平面图形的翻折问题如图1，ACB45，BC3，过点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC90(如图2所示)(1)当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；(2)当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小【解析】(1)在如图1所示的ABC中，设BDx(0x3)，则CD3x.由ADBC，ACB45知，ADC为等腰直角三角形，所以ADCD3x.由折起前ADBC知，折起后(如图2)，ADDC，ADBD，且BDDCD，所以AD平面BCD.又BDC90，所以SBCDBDCDx(3x)，于是VABCDADSBCD(3x)x(3x)2x(3x)(3x)，当且仅当2x3x，即x1时，等号成立，故当x1，即BD1时，三棱锥ABCD的体积最大(另：VABCDADSBCD(3x)x(3x)(x36x29x)令f(x)(x36x29x)，由f(x)(x1)(x3)0，且0x0；当x(1，3)时，f(x)0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1.又n2(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设易知|cosn1，n2|，即，解得m.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V.8如图，在直三棱柱(侧棱和底面垂直的棱柱)ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1，ABBCAA13，线段AC、A1B上分别有一点E、F，且满足2AEEC，2BFFA1.(1)求证：ABBC；(2)求点E到直线A1B的距离；(3)求二面角FBEC的平面角的余弦值【解析】(1)如图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1A1B，得AD平面A1BC，又BC平面A1BC，所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1ADA，从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC.(2)由(1)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(0，3，0)，C(3，0，0)，A1(0，3，3)由线段AC、A1B上分别有一点E、F，满足2AEEC，2BFFA1，所以E(1，2，0)，F(0，1，1)(1，1，1)，(0，3，3)所以EFBA1，所以点E到直线A1B的距离d.(3)(1，2，0)，(0，1，1)，设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，则取x2，得n(2，1，1)，根据题意知平面BEC的法向量为m(0，0，1)，设二面角FBEC的平面角为，是钝角，cos |cosm，n|.二面角FBEC的平面角的余弦值为.B组题1如图，在正方形ABCD中，EFAB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AEEDAD11，则AF与CE所成角的余弦值为_【解析】如图，建立空间直角坐标系，设ABEFCD2，AEDEAD11，则E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，2，0)，C(0，2，1)，(1，2，0)，(0，2，1)，cos，AF与CE所成角的余弦值为.【答案】2如图，在几何体ABCDEF中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.(1)求证：平面FBC平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos 的取值范围【解析】(1)在四边形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，AB2，AC2AB2BC22ABBCcos 603，AB2AC2BC2，BCAC.平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABCD，BC平面ACFE.又因为BC平面FBC，所以平面FBC平面ACFE.(2)由(1)知可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系Cxyz，令FM(0)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)，(，1，0)，(，1，1)设n1(x，y，z)为平面MAB的法向量，由得取x1，则n1(1，)n2(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，cos .0，当0时，cos 有最小值，当时，cos 有最大值，cos .3在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABACAA1，BC4，A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O.(1)证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；(2)求二面角A1B1CC1的余弦值【解析】(1)连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E，因为AA1BB1，所以OEBB1，因为A1O平面ABC，所以BC平面AA1O，所以BCOE，所以OE平面BB1C1C，又AO1，AA1，得AE.(2)如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，2)由，得点E的坐标是，由(1)知平面B1CC1的一个法向量为，设平面A1B1C的法向量是n(x，y，z)，由得可取n(2，1，1)，所以所求二面角的余弦值为cos，n.4平面图形ABB1A1C1C如图所示，其中BB1C1C是矩形，BC2，BB14，ABAC，A1B1A1C1.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图所示的空间图形对此空间图形解答下列问题：(1)证明：AA1BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值【解析】法一：(1)取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C为矩形知，DD1B1C1，因为平面BB1C1C平面A1B1C1，所以DD1平面A1B1C1，又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1.故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D1xyz.由题设，可得A1D12，AD1.由以上可知AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，于是ADA1D1.所以A(0，1，4)，B(1，0，4)，A1(0，2，0)，C(1，0，4)，D(0，0，4)故(0，3，4)，(2，0，0)，0，因此，即AA1BC.(2)因为(0，3，4)，所以5，即AA15.(3)连接A1D，由BCAD，BCAA1，可知BC平面A1AD，BCA1D，所以ADA1为二面角ABCA1的平面角因为(0，1，0)，(0，2，4)，所以cos，.即二面角ABCA1的余弦值为.法二：(1)取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD，A1D.由条件可知，BCAD，B1C1A1D1，由上可得AD面BB1C1C，A1D1面BB1C1C.因此ADA1D1，即AD，A1D1确定平面AD1A