高考数学总复习第二章函数第10讲指数与指数函数练习理新人教版.docx

第10讲指数与指数函数夯实基础【p22】【学习目标】1了解指数幂的含义、掌握幂的运算2理解指数函数的概念、理解指数函数的单调性与其图象特征并能灵活应用3知道指数函数是一类重要的函数模型【基础检测】1.的值是()A. B. C D【解析】化简式子得.【答案】A2已知a0，化简aaa_【解析】aaaaa1a.【答案】a31.52.3与1.53.2的大小关系是1.52.3_1.53.2(用“”表示)【解析】函数y1.5x在R上单调递增，且2.33.2，1.52.31.53.2.【答案】1，所以a1.【答案】C5已知函数f(x)ax14的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(1，5) B(1，4) C(0，4) D(4，0)【解析】函数f(x)ax14的图象恒过定点P.即这个点的坐标不随a的改变而改变，只需要让a不起作用即可，令x10x1，此时y5，故图象恒过(1，5)【答案】A【知识要点】1根式(1)概念：如果一个数的n次方等于a(n1且nN*)，那么这个数就叫做a的n次方根，即若xna(n1，nN*)，则x_式子叫做_根式_，n叫_根指数_，a叫_被开方数_(2)根式的性质：a的n(n1，nN*)次方根，当n为奇数时，有一个n次方根为_；当n为偶数时，若a0，有两个互为相反数的n次方根为_，若a0，其n次方根为_0_，若a0，m，nN*，n1)(5)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，n1)3有理指数幂的运算性质(注意逆用)(1)aras_ars_(r，sQ，a0)(2)aras_ars_(r，sQ，a0)(3)(ar)s_ars_(r，sQ，a0)(4)(ab)r_arbr_(rQ，a0，b0)4指数函数的概念、图象和性质定义形如yax(a0且a1)的函数叫指数函数图象性质(1)定义域：_R_(2)值域：_(0，)_(3)过点_(0，1)_，即x0时，y1(4)在R上是_增函数_在R上是_减函数_(5)x0时，_y1_x0时，_0y0时，_0y1_x1_典 例 剖 析【p22】考点1指数幂的运算求值与化简：(1)；(2)(1.5)2(9.6)0；(3)(a0，b0)【解析】(1)原式ab4a；(2)原式142123.(3)原式a1b12ab1.【点评】指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数考点2指数函数的图象及应用(1)若0a1，b0则函数f(x)axb的图象一定经过()A第一、二象限 B第二、四象限C第一、二、四象限 D第二、三、四象限【解析】因为0a1，则函数f(x)ax单调递减，过一、二象限，又因为b0，把图象向上平移，即函数图象一定过第一、二象限【答案】A(2)已知a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbc，b，ac，bc0)的图象有交点，则a的取值范围是()A. B.C. D.【解析】当a1时，如图所示，使得两个函数图象在1，2上有交点，需满足22a2，即1a；当0a1时，如图所示，需满足12a1，即a0，a1)(1)若f(1)f(1)，求f(2)f(2)的值；(2)若函数f(x)在1，1上的最大值与最小值的差为，求实数a的值【解析】(1)f(x)ax，f(1)f(1)，f(1)f(1)a，解得a2或.当a2时，f(x)2x，f(2)f(2)2222；当a时，f(x)，f(2)f(2)，故f(2)f(2).(2)当a1时，f(x)ax在1，1上单调递增，f(x)maxf(x)minf(1)f(1)aa1，化简得3a28a30，解得a(舍去)或a3.当0a0，a1，bR)的图象如图所示，则ab的取值范围是_【解析】因为根据图象得a1，f0，b10.【答案】(0，)(2)若函数f(x)ax22x1在(1，3)上是减函数，则关于x的不等式ax1的解集为()A. Bx|x1C. Dx|x0【解析】因为f(x)ax22x1在(1，3)上是减函数，且tx22x1在(1，3)上是增函数，所以函数yat在(，)上是减函数，所以0a1得x0；f0，说明函数f(x)是增函数，而f(x)2x是增函数，所以正确；f，说明函数是凹函数，而f(x)2x是凹函数，所以正确【答案】A(4)已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0C2a2c D2a2c2【解析】作出函数f(x)|2x1|的图象如图中实线所示，abf(c)f(b)，结合图象知a0，0c1，02a1，12c2，f(a)|2a1|12af(c)，即12a2c1，2a2cb11ab0图象底大于1时底大者靠近坐标轴底小于1时底小者靠近坐标轴6.(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化走 进 高 考【p23】1(2017北京)已知函数f(x)3x，则f(x)()A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数【解析】f(x)3x3xf(x)，所以函数是奇函数，并且3x是增函数，是减函数，根据增函数减函数增函数，所以函数是增函数【答案】A2(2016天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是_【解析】由题意f(x)在(0，)上递减，又f(x)是偶函数，则不等式f(2|a1|)f()化为f(2|a1|)f()，则2|a1|，故|a1|，解得acb BcabCabc Dbac【解析】因为a22.51，b2.501，cbc.【答案】C2函数f(x)e1x2的部分图象大致是()【解析】由f(x)e1x2为偶函数，所以排除A，B，又f(x)e1x20，故选C.【答案】C3函数f(x)的单调递增区间是()A(1，) B(1，)C(，1) D(，1)【解析】设tx22x1，则函数y为减函数，根据复合函数单调性之间的关系知，要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x1的递减区间，tx22x1的对称轴为x1，递减区间为(，1)，则函数f(x)的递增区间为(，1)【答案】D4已知0ab(1a)bB(1a)b(1a)C(1a)a(1b)bD(1a)a(1b)b【解析】因为0a1，所以01a1，所以y(1a)x是减函数，又因为0bb，b，所以(1a)(1a)b，(1a)b(1a)，所以A，B两项均错；又11a1b，所以(1a)a(1b)a(1a)b(1b)b，所以(1a)a(1b)b，故选D.【答案】D5不等式22x的解集是_【解析】原不等式可以化为23x20，解得x3，所以不等式的解集为(，1)(3，)【答案】(，1)(3，)6化简4ab的结果为_【解析】原式4ab6ab1.【答案】7若函数f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则实数a_【解析】因为函数g(x)(14m)在0，)上单调递增所以14m0，即m0，a1)在区间1，2上的最大值为4，最小值为m，当a1时，函数f(x)ax为增函数，所以a1m，a24，解得a2，m(舍去)；当0a0，且a1.(1)若0a1，求满足f(x)1的x的取值范围；(2)求关于x的不等式f(x)g(x)的解集【解析】(1)f(x)1a2x11a0，而0a0，得x.(2)f(x)g(x)a2x1a25x，当0a1时，2x125xx.故当0a1时，解集为.B组题1设函数f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N的大小关系是()AMN BMNCMN【解析】由题意，因为f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)具有不同的单调性，则a2，所以M(a1)0.21，NN.【答案】D2已知函数f(x)的图象与函数yg(x)的图象关于y轴对称，若函数yf(x)与函数yg(x)在区间1，2上同时单调递增，则实数m的取值范围是()A. B2，4C.4，) D4，)【解析】yg(x)|2xm|，即yg(x) ，由两个函数在区间1，2上同时单调递增，可知m0，f(x)|2xm|与g(x) 的图象如图所示，易知解得m2.【答案】A3已知函数f(x)的值域为(0，)，则正实数a的取值范围为_【解析】若a1，当x7时，(a1)x40不恒成立，不合题意；若a1，则f(x)的值域为1，4，不合题意；若0a1，则应有0(a1)74a76，即07a3a，得a.【答案】4已知函数f(x)exaex，xR.(1)当a1时，证明：f(x)为偶函数；(2)若f(x)在0，)上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a1，求实数m的取值范围，使mf(2x)2f(x)1在R上恒成立【解析】(1)当a1时，f(x)exex，定义域(，)关于原点对称，而f(x)exexf(x)，所以f(x)为偶函数(2)在0，)上任取x1、x2，且x1x2，则f(x1)f(x2)ex1aex1(ex2aex2)，因为x1x2，函数yex为增函数，所以ex1e