（天津专用）2020届高考数学一轮复习考点规范练31基本立体图形（含解析）新人教A版.docx

考点规范练31基本立体图形一、基础巩固1.下列说法正确的是()A.棱柱的两个底面是全等的正多边形B.平行于棱柱侧棱的截面是矩形C.直棱柱正棱柱D.正四面体正三棱锥2.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面,则该圆锥的母线与轴所成的角为()A.30B.45C.60D.903.在一个密闭透明的圆柱形桶内装一定体积的水,将该圆柱形桶分别竖直、水平、倾斜放置时,圆柱形桶内的水平面可以呈现出的几何体形状不可能是()A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面4.过半径为2的球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的体积的比为()A.932B.916C.38D.3165.中国古代数学名著九章算术中记载:“今有羡除”.刘徽注:“羡除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”现有一个羡除如图所示,四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形,ABCDEF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是()A.110B.116C.118D.1206.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()(注:尺是中国古代计量单位,1米=3尺)A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于()A.2B.3C.2D.18.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上,PC为该球的直径,ABC是边长为4的等边三角形,三棱锥P-ABC的体积为163,则此三棱锥的外接球的表面积为()A.163B.403C.643D.8039.点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=6,ABC=90,若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为()A.2B.4C.8D.1610.在如图所示的直观图中,四边形OABC为菱形且边长为2 cm,则在直角坐标系xOy中,四边形ABCO的形状为,面积为 cm2.11.(2018天津,文11)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.12.如图,在四边形ABCD中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=22,AD=2,若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体.(1)求该几何体的体积;(2)求出该几何体的表面积.二、能力提升13.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,ASC=BSC=30,则棱锥S-ABC的体积为()A.33B.23C.3D.114.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为.15.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.16.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.三、高考预测17.若一个四面体的四个侧面是全等的三角形,则称这样的四面体为“完美四面体”,现给出四个不同的四面体AkBkCkDk(k=1,2,3,4),记AkBkCk的三个内角分别为Ak,Bk,Ck,其中一定不是“完美四面体”的为()A.A1B1C1=357B.sin A2sin B2sin C2=357C.cos A3cos B3cos C3=357D.tan A4tan B4tan C4=357考点规范练31基本立体图形1.D解析选项A中两个底面全等,但不一定是正多边形;选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直,即截面是平行四边形,不一定是矩形;选项C中正棱柱直棱柱,故A,B,C都错;选项D中,正四面体是各条棱均相等的正三棱锥,故正确.2.A解析设圆锥侧面展开图的半径为r,则圆锥底面周长为122r=r,设底面半径为r,则2r=r,r=12r.圆锥的母线长为侧面展开图的半径r,设该圆锥的母线与轴所成的角为,则sin=rr=12,=30.3.C解析将圆柱形桶竖放,水面为圆面;将圆柱形桶斜放,水面为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱形桶水平放置,水面为矩形面,所以圆柱形桶内的水平面可以呈现出的几何体形状不可能是梯形面,故选C.4.A解析R=2,设截面圆M的半径为r,则R2=14R2+r2,r2=3.所得截面的面积与球的体积比为r243R3=932,故选A.5.D解析过点A作APCD,AMEF,过点B作BQCD,BNEF,垂足分别为P,M,Q,N,将一侧的几何体放到另一侧,组成一个三棱柱,底面积为12103=15,棱柱的高为8,V=158=120.故选D.6.B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.米堆底部弧长为8尺,142R=8,R=16.体积V=1413R2h=1121625.3,V3209(立方尺).堆放的米约为32091.6222(斛).7.B解析设两圆的圆心分别为O1,O2,球心为O,公共弦为AB,其中点为E,则OO1EO2为矩形,于是对角线O1O2=OE,而OE=OA2-AE2=22-12=3,O1O2=3.故选B.8.D解析依题意,记三棱锥P-ABC的外接球的球心为O,半径为R,点P到平面ABC的距离为h,则由VP-ABC=13SABCh=133442h=163,得h=43.又PC为球O的直径,因此球心O到平面ABC的距离等于12h=23.又正三角形ABC的外接圆半径为r=AB2sin60=43,因此R2=r2+232=203,三棱锥P-ABC的外接球的表面积等于4R2=803,选D.9.D解析由题意,知SABC=3,设ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点,当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的最大体积为13SABCDQ=3,DQ=3,如图,设球心为O,半径为R,则在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,R=2,则这个球的表面积为S=422=16.故选D.10.矩形8解析由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4cm,宽为2cm的矩形,所以四边形ABCO的面积为8cm2.11.13解析正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,V四棱锥A1-BB1D1D=V正方体-V三棱锥A1-ABD-V三棱柱BCD-B1C1D1=1-1312111-12111=13.12.解(1)如图所示,过点C作CEAD的延长线于点E,作CFAB于点F.由已知得,DE=2,CE=2,CF=4,BF=5-2=3.BC=CF2+BF2=5.故该平面图形绕AD旋转一周后形成的几何体为圆台AE除去圆锥DE.其中圆台AE的体积V1=3(AB2+CE2+ABCE)AE=3(52+22+52)4=52.圆锥DE的体积V2=3EC2DE=3222=83.故所求几何体的体积V=V1-V2=52-83=1483.(2)由(1)知,几何体的表面由圆台AE的下底面、侧面,圆锥DE的侧面构成.圆台AE的下底面圆的面积S1=25,圆台AE的侧面积S2=(2+5)5=35,圆锥DE的侧面积S3=222=42,故所求几何体的表面积S=S1+S2+S3=(60+42).13.C解析如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.由于SC是球的直径,所以SAC=SBC=90.又ASC=BSC=30,又SC为公共边,所以SACSBC.由于ADSC,所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=13SABDSC.由于在RtSAC中,ASC=30,SC=4,所以AC=2,SA=23.由于AD=SACASC=3.同理在RtBSC中也有BD=SBCBSC=3.又AB=3,所以ABD为正三角形.所以VS-ABC=13SABDSC=1312(3)2sin604=3,所以选C.14. 160解析如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线A1C=15,B1D=9,a2+52=152,b2+52=92,a2=200,b2=56.该直四棱柱的底面是菱形,AB2=AC22+BD22=a2+b24=200+564=64,AB=8.直四棱柱的侧面积S=485=160.15. 415解析如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知ODBC,OG=36BC.设OG=x,则BC=23x,DG=5-x,三棱锥的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x.因为SABC=1223x3x=33x2,所以三棱锥的体积V=13SABCh=3x225-10x=325x4-10x5.令f(x)=25x4-10x5,x0,52,则f(x)=100x3-50x4.令f(x)=0,可得x=2,则f(x)在(0,2)单调递增,在2,52单调递减,所以f(x)max=f(2)=80.所以V380=415,所以三棱锥体积的最大值为415.16.解(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为两棱柱底面积之比,即9779也正确.17.B解析若sinA2sinB2sinC2=357,由正弦定理可得,B2C2A2C2A2B2=357,设B