高考数学总复习第十章直线与圆、圆锥曲线第66讲椭圆练习理新人教版.docx

第66讲椭圆夯实基础【p150】【学习目标】1掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质2熟练掌握常见的几种数学思想方法函数与方程、数形结合、转化与化归3了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用【基础检测】1已知椭圆1(ab0)的离心率为，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆为方程为()A.1B.1C.1D.1【解析】设椭圆的焦距为2c，由条件可得，故a2c，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得2(ac)4，即ac2，所以a4，c2，故b2a2c212，故该椭圆的方程为1.【答案】D2已知椭圆E：1(ab0)经过点A(，0)，B(0，3)，则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.【解析】由椭圆E：1(ab0)，经过点A(，0)，B(0，3)，可得a3，b，所以c2，其离心率e.【答案】A3设椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C上任意一点，则AF1F2的周长为()A9B13C15D18【解析】由椭圆C：1知a5，b3，c4，则PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2a2c10818.【答案】D4已知F是椭圆C：y21的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|PF|的最大值为_【解析】点F为椭圆y21的左焦点，F(1，0)，设椭圆的右焦点为F(1，0)，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，|PQ|PF|PQ|2|PF|2|PQ|PF|，又|PQ|PF|QF|3，|PQ|PF|5，即|PQ|PF|的最大值为5，此时Q、F、P共线【答案】55已知椭圆方程为y21，则过点P且被P平分的弦所在直线的方程为_【解析】设这条弦与椭圆y21交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式知x1x21，y1y21，把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入y21，作差整理得(x1x2)2(y1y2)0，kAB.这条弦所在的直线方程为y，即2x4y30.【答案】2x4y30【知识要点】1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于_|F1F2|_)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距2椭圆的标准方程(1)_1_(ab0)，焦点F1(c，0)，F2(c，0)，其中c_(2)1(ab0)，焦点_F1(0，c)，F2(0，c)_，其中c_3椭圆的几何性质(以1(ab0)为例)(1)范围：_|x|a，|y|b_(2)对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：O(0，0)(3)顶点：长轴端点：A1(a，0)，A2(a，0)，短轴端点：B1(0，b)，B2(0，b)；长轴长|A1A2|2a，短轴长|B1B2|2b，焦距|F1F2|2c.(4)离心率e_，0e|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆【答案】A(2)设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为_【解析】由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6.|PF1|2564.【答案】4(3)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1B.y21C.1D.1【解析】AF1B的周长为4，4a4，a，离心率为，c1，b，椭圆C的方程为1.【答案】A考点2求椭圆的标准方程(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3，0)，则椭圆的方程为_【解析】若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过P(3，0)，1，即a3，又2a32b，b1，方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(ab0)椭圆过点P(3，0)1，即b3.又2a32b，a9，方程为1.所求椭圆的方程为y21或1.【答案】y21或1(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P(3，0)，Q(0，2)，则椭圆的方程为_【解析】法一：设方程为mx2ny21(m0，n0且mn)将点的坐标代入，求出m，n.所求椭圆方程为1.法二：利用椭圆的几何性质以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为1.【答案】1(3)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式考点3椭圆的几何性质及应用(1)已知点F1，F2是椭圆x22y22的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0B1C2D2【解析】设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.点P在椭圆上，0y1，当y1时，|取最小值2.【答案】C(2)椭圆1(ab0)的右焦点F(c，0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_【解析】法一：设椭圆的另一个焦点为F1(c，0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线yx交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OMFQ.又O为线段F1F的中点，F1QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|.在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|.由椭圆的定义得|QF|QF1|2a，整理得bc，ac，故e.法二：设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标，kFQ，依题意解得又因为(x0，y0)在椭圆上，所以1，令e，则4e6e21，离心率e.【答案】【点评】(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围考点4直线与椭圆的位置关系已知椭圆1(ab0)过点(0，1)，离心率e.(1)求椭圆的方程；(2)已知点P(m，0)，过点(1，0)作斜率为k(k0)的直线l，与椭圆交于M，N两点，若x轴平分MPN，求m的值【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上，过点(0，1)，离心率e，所以b1，所以由a2b2c2，得a22.所以椭圆C的标准方程是y21.(2)因为过椭圆的右焦点F作斜率为k的直线l，所以直线l的方程是yk(x1)联立方程组消去y，得(12k2)x24k2x2k220.显然0.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.因为x轴平分MPN，所以MPONPO.所以kMPkNP0.所以0.所以y1(x2m)y2(x1m)0.所以k(x11)(x2m)k(x21)(x1m)0.所以2kx1x2(kkm)(x1x2)2km0.所以2k(kkm)2km0.所以0.所以4k2km0.因为k0，所以m2.方法总结【p152】1在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，通常利用定义求解2求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系数法当椭圆的焦点位置不明确时，可设方程为1(m0，n0)，或设为Ax2By21(A0，B0)3椭圆中有“两轴”(两条对称轴)，“六点”(两个焦点、四个顶点)，注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)及相互间的距离等走进高考【p152】1(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】因为PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，所以PF2F1F22c，由AP斜率为得，tanPAF2，sinPAF2，cosPAF2，由正弦定理得，所以，a4c，e.【答案】D2(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点【解析】(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上因此解得故C的方程为y21.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)考点集训【p262】A组题1若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A(，2) B(0，2)C(2，4) D(2，)【解析】若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则解得0m2.【答案】B2若椭圆1的离心率为，则实数m()A.或B.C.D.或【解析】如果m2，则c，故，则m.【答案】A3已知直线3xy60经过椭圆1(ab0)的左焦点F1，且与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N，F2是椭圆的右焦点，且|MN|MF2|，则椭圆的方程为()A.1B.y21C.y21D.1【解析】由题意得直线3xy60与x轴，y轴的交点分别为(2，0)，(0，6)直线3xy60经过椭圆的左焦点F1，F1(2，0)，c2.直线3xy60与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N(0，6)，且|MN|MF2|，2a|MF1|MF2|MF1|MN|NF1|2，a，b26，椭圆的方程为1.【答案】D4若椭圆1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是()Ax2y0Bx2y40C2x3y120Dx2y80【解析】设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有，两式相减可得0，即，kAB，直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.【答案】D5已知F为椭圆C：1的下焦点，点P为椭圆C上任意一点，Q点的坐标为(1，1)，则当|PQ|PF|取最大值时点P的坐标为_【解析】设椭圆上焦点为F1，则|PQ|PF|PQ|2a|PF1|4|PQ|PF1|4|QF1|5，当P，F1，Q共线且点P在第二象限时，|PQ|PF|有最大值5，直线F1Q的方程为y1与椭圆方程联立，可得P.【答案】6已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于A，B的两点，且AF2x轴若P为椭圆上异于A，B的动点，且SPAB4SPBF1，则该椭圆的离心率为_【解析】根据题意，因为AF2x轴且F2(c，0)，假设A在第一象限，则A，过B作BCx轴于C，则易知AF1F2BF1C，由SPAB4SPBF1得|AF1|3|BF1|，所以|AF2|3|BC|，|F1F2|3|CF1|，所以B，代入椭圆方程得1，即25c2b29a2，又b2a2c2，所以3c2a2，所以椭圆离心率为e.【答案】7已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l：yxm与椭圆C交于A，B两点若OAOB，求m的值【解析】(1)椭圆C：的焦距为2，长轴长为4，c，a2，b1，椭圆C的标准方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆方程得5x28mx4m240，则x1x2，x1x2.又64m220(4m24)0，m25.由OAOB，知x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m)2x1x2m(x1x2)m20，将代入，得m，又满足m2b0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果2，求椭圆C的方程【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c2，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2及l的倾斜角为60，知y10，直线l的方程为y(x2)由消去x，整理得(3a2b2)y24b2y3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2，即2，解得a3.而a2b24，所以b25.故椭圆C的方程为1.B组题1若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】由正方形和椭圆的对称性可得，正方形的一条对称轴在x轴上，设椭圆方程为1(ab0)，由B(a，0)，OABC为正方形，可得A，C，将A点坐标代入椭圆方程可得1，即有a23b2，c2a2b2a2，即有e.【答案】D2已知F是椭圆C：1的右焦点，P是椭圆上一点，A，当APF周长最大时，该三角形的面积为_【解析】由1得右焦点F(3，0)，左焦点F(3，0)，APF周长|AF|AP|PF|AF|AP|2a|PF|10(|AF|AF|)，当A，P，F共线时APF周长最大，此时直线AF方程为1与1联立，解得yP，可得SAPF|FF|(yAyP)6.【答案】3(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点