高考数学第三章导数及其应用6第6讲利用导数研究函数的零点问题练习理（含解析）.docx

第6讲 利用导数研究函数的零点问题1(2019江西赣州模拟)若函数f(x)aexx2a有两个零点，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析：选D.函数f(x)aexx2a的导函数f(x)aex1.当a0时，f(x)0恒成立，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；当a0时，令f(x)0，得xln，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的最小值为f1ln2a1ln a2a.令g(a)1ln a2a(a0)，则g(a)2.当a时，g(a)单调递增；当a时，g(a)单调递减，所以g(a)maxgln 20，所以f(x)的最小值为f0，f(x)单调递增，当x(3，)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0时，f(x)，当x时，f(x)，所以f(x)maxf(3)3ln 363ln 30，所以方程f(x)0只有一个解答案：13(2018高考全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.解：(1)证明：当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，所以g(x)在(0，)单调递减而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1.(2)设函数h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，)只有一个零点()当a0时，h(x)0，h(x)没有零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0，2)时，h(x)0；当x(2，)时，h(x)0.所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增故h(2)1是h(x)在0，)的最小值若h(2)0，即a，h(x)在(0，)没有零点；若h(2)0，即a，h(x)在(0，)只有一个零点；若h(2)0，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0，2)有一个零点由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)11110.故h(x)在(2，4a)有一个零点因此h(x)在(0，)有两个零点综上，f(x)在(0，)只有一个零点时，a.4(2019南昌市第一次模拟测试)已知函数f(x)ex(ln xaxab)(e为自然对数的底数)，a，bR，直线yx是曲线yf(x)在x1处的切线(1)求a，b的值(2)是否存在kZ，使得yf(x)在(k，k1)上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)ex(ln xaxb)，f(x)的定义域为(0，)由已知，得，即，解得a1，b.(2)由(1)知，f(x)ex，则f(x)ex(ln xx)，令g(x)ln xx，则g(x)0，g(2)ln 210，即f(x)0，当x(x0，)时，g(x)0，即f(x)0.所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减又当x0时，f(x)0，f(2)e2(ln 2)0，f(e)ee0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间；当a0时，令f(x)0，得x0，得xln a，所以f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，)(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考虑f(x)在区间0，1上的零点个数，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增且f(0)0，所以f(x)在0，1上有一个零点；当ae时，f(x)在(，1)上单调递减，所以f(x)在0，1上有一个零点；当1ae时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，1)上单调递增，而f(1)ea1，当ea10，即1ae1时，f(x)在0，1上有两个零点，当ea10，即e1ae1或a2(1)时，g(x)在0，1上有两个零点；当1ae1且a2(1)时，g(x)在0，1上有三个零点6(2019高考全国卷)已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数，证明：(1)f(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点证明：(1)设g(x)f(x)，则g(x)cos x，g(x)sin x.当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零点，设为.则当x(1，)时，g(x)0；当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，)()当x(1，0时，由(1)知，f(x)在(1，0)单调递增，而f(0)0，所以当x(1，0)时，f(x)0，故f(x)在(1，0)单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1，0的唯一零点()当x时，由(1)知，f(x)在(0，)单调递增，在单调递减，而f(0)0，f0，所以存在，使得f()0，且当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(0，)单调递增，在单调递减又f(0)0，f1ln0，所以当x时，f(x)0.