2018_2019学年高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理备课资料新人教版.docx_第1页
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文档简介

1.1.1正弦定理教学建议(1)让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察、推导、比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作.(2)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.(3)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学参考正弦定理的其他证明方法向量法如下图(1)所示,ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90-BAC,j与的夹角为90-C.由图(1)看到:.所以有j()=j.由分配律可得j+j=j.故|j|cos 90+|j|cos(90-C)=|j|cos(90-BAC),故asin C=csinBAC,故.同理,过点C作与垂直的单位向量,可得.故,即在ABC中,.当ABC为钝角三角形时,不妨设A90(如图(2)所示),过点A作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为BAC-90,j与的夹角为90-C.同样可证得.这就是说,对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说,上面的关系式均成立.因此,我们得到下面的定理:正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即面积法如图所示,以ABC的顶点A为原点,边AC所在射线为x轴的正半轴建立直角坐标系.我们知道,顶点B的坐标是(ccosBAC,csinBAC).容易知道,AC边上的高BE就是B点的纵坐标csinBAC,于是ABC的面积SABC=ACBE=bcsinBAC.同样可得SABC=casinABC,SABC=absin C.由此,我们得到关于任意ABC面积的公式:SABC=bcsin A=casin B=absin C也就是说,三角形的面积等于任意两边的长与它们夹角的正弦的积的一半.将等式bcsin A=casin B=absin C中被等号分开的式子都除以abc,可得,即.辅助圆法在RtABC中,以AB为直径作RtABC的外接圆圆O,AB=2R,R为外接圆的半径,C=90,如图(1)所示.在RtABC中,a=ABsin A=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C=2Rsin 90.所以=2R.当ABC为锐角三角形时,如图(2)所示,其外接圆圆心O位于ABC的内部,连接BO并延长交圆O于D,连接CD,D=A,BD=2R.在RtBCD中,BC=a=2Rsin D=2Rsin A,同理b=2Rsin B,c=2Rsin C.所以=2R.当ABC为钝角三角形时,如图(3)所示,其外接圆圆心O位于ABC的外部,连接BO并延长交圆O于D,连接CD,则BD=2R,D=
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