《二次函数的应用（1）》教案3

二次函数的应用（1）教案3教材分析 本节课要经历探索长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值 在实际背景中解决最优化问题，不是很容易的一件事首先，实际问题的叙述往往比较长，使人感到问题很难，其次，分析其中各个量之间的关系也不是件轻松的事情，要想解决好这类问题，一是不要有畏难情绪，我们都可以学会解决应用问题；二是要读懂问题明确要解决的问题是什么；三要分析问题中各个员之间的关系，把问题表示为数学的形式在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步一步地得到问题的解 在教学中应引导学生按照上面的步骤进行首先要给学生自信心，然后要告诉学生如何去分析已知和未知条件，分析问题中各个量之间的关系，把实际问题抽象为数学问题，即二次函数问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值教学目标 (一)教学知识点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值 (二)能力训练要求 1通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力 2通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力 (三)情感与价值观要求 1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值 2能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格 3进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力教学重点 1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值 2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题教学难点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题教学方法 教师指导学生自学法教具准备 投影片四张 第一张：(记作2.4.1A) 第二张：(记作2.4.1B) 第三张：(记作2.4.1C) 第四张：(记作2.4.1D)教学过程 创设问题情境，引入新课 师本节课我们来学习用二次函数来解决实际问题解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解 本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题 新课讲解 一、情境引入 投影片；(2.4.1A)如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD其中AB和AD分别在两直角边上(1)设长方形的一边ABx m，那么AD边的长度如何表示?(2)设长方形的面积为y m2当x取何值时，y的值最大?最大值是多少? 师分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC由EBCEAF，得所以AD=BC=(40-x). (2)要求面积的最大值即求函数y=ABAD=x(40-x)的最大值，就转化为数学问题了 下面请大家讨论写出步骤 生(1)BC/AD， EBCEAF . 又ABx，BE=40-x， . BC=(40-x).ADBC=(40-x)30-x (2)yABAD=x(30-x)= -x2+30x=-(x2-40x+400-400)=-(x2-40x+400)+300 =-(x-20)2+300 当x=20时， y最大=300. 即当x取20 m时，y的值最大，最大值是300m2 师很好刚才我们先进行了分析要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗? 生不很难 师下面我们换一个条件看看大家能否解决设AD边的长为x m，则问题会怎样呢?与同伴交流 生要求面积需求AB的边长，而ABDC，所以需要求DC的长度，而DC是FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求 解：DC/AB，FDCFAE.AD=x，FD30-x.DC=(30-x). AB=DC=(30-x).y=ABAD=x(30-x) =-x2+40x=-(x2-30x+225-225)=-(x-15)2+300.当x=15时，y最大=300 即当AD的长为15 m时，长方形的面积最大，最大面积是300 m2 二、例题解析 投影片：(2.4.1B)某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)?此时，窗户的面积是多少? 师通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗? 生可以 分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy+x2最大，而由于4y+4x+3x+x7x+4y+x=15，所以y=面积S=x2+2xy=x2+2x=x2+=-3.5x2+7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可解：7x+4y-x15，y=.设窗户的面积是S(m2)，则S=x2+2xy=x2+2x=x2+=-3.5x2+7.5x=-3.5(x2-x)=-3.5(x-).当x1.07时，S最大=4.02. 即当x1.07 m时，S最大4.02 m2，此时窗户通过的光线最多 师大家做得非常棒 三、议一议 师)我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢?与同伴进行交流 生首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题 师看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题，基本思想如下： 投影片：(2.4.1C)解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等 在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的 课堂练习 投影片：(2.4.1D)1一养鸡专业户计划用116 m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大?最大为多少? 解：设AB长为x m，则BC长为(116-2x)m，长方形面积为Sm2，根据题意得 Sx(116-2x)-2x2+116x-2(x2-58x+292-292)=-2(x-29)2+1682. 当x29时，S有最大值1682，这时116-2x58 即设计成长为58 m，宽为29 m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682 m2 课时小结 本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值 课后作业 习题2.8 1、2、3 活动与探究 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的