概率论与数理统计课后习题答案.doc

第一章 事件与概率1写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。（6）实测某种型号灯泡的寿命。解（1）其中n为班级人数。（2）。（3）。（4）00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111，其中0表示次品，1表示正品。（5）(x,y)| 0x1,0y1。（6） t| t 0。2设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件，。（1）A发生，B与C不发生。（2）A与B都发生，而C不发生。（3）A，B，C中至少有一个发生。（4）A，B，C都发生。（5）A，B，C都不发生。（6）A，B，C中不多于一个发生。（7）A，B，C至少有一个不发生。（8）A，B，C中至少有两个发生。解 （1），（2），（3），（4），（5），（6）或，（7），（8）或 3指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。（1）（2）（3）（4）若（5）（6）若且，则解 : (1) 成立，因为。(2) 不成立，因为。(3) 成立，。(4) 成立。(5) 不成立，因左边包含事件C，右边不包含事件C，所以不成立。(6) 成立。因若BC，则因CA，必有BCAB，所以AB与已知矛盾，所以成立。图略。 4简化下列各式：（1） （2）（3）解:（1），因为，所以，。（2），因为，且，所以。（3）。 5设A，B，C是三事件，且P（A）P（B） P（C），求A，B，C至少有一个发生的概率。解ABCAB 0P(ABC)P(AB)=0，故P(ABC)=0所求概率为P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)6从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率：（1）三位数是奇数；（2）三位数为5的倍数；（3）三位数为3的倍数；（4）三位数小于350。解设A表示事件“三位数是奇数”， B表示事件“三位数为5的倍数”， C表示事件“三位数为3的倍数”，D表示事件“三位数小于350”。基本事件总数为，(1) ；(2) ；(3) ； (4) 。7某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解随机试验E为任意取9桶交与定货人，共有种交货方式。其中符合定货要求的有种，故所求概率为8在1700个产品中有500个次品、1200个正品。任取200个。（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率。解（1）试验E为1700个产品中任取200个，共有种取法，其中恰有90个次品的取法为，故恰有90个次品的概率为（2）设事件A表示至少有2个次品，B表示恰有1个次品，C表示没有次品，则A=S-(BC)，且BC=，BCSP(A)=PS-(BC)=P(S)-P(B)+P(C)9把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。解 V=P10=10！，设所论事件为A，则 VA=8！3！10从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解V=C410，设A 表示事件“4只鞋中至少有2只配成一双”，则 表示“4只鞋中没有2只能配成一双”。先求出P( )，再求P(A)。有利于的情形共有种（因为不考虑取4只鞋的次序，所以被4！除）。故另一解法：有利于事件A的总数为11将3鸡蛋随机地打入5个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为1，2，3的概率。解依题意知样本点总数为53个。以Ai(i=1, 2, 3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为i”，则A1表示每杯最多放一只鸡蛋，共有种放法，故A2表示由3个鸡蛋中任取2个放入5个杯中的任一个中，其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中，放法总数为种A3表示3个鸡蛋放入同一个杯中，共有种放法，故12把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。解设所论事件为A，线段a被分成的三段长度分别用x，y和a-x-y表示，则样本空间为：0xa，0ya，0x+ya，其面积为而有利于A的情形必须满足构成三角形的条件，即其面积为。13甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。解设自当天0时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为x及y，则为：0x24，0y24，L()=242，设所论事件为A，则有利于A的情形分别为：（1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上，即y-x1或y1+x；（2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上，即x-y2或yx-2；事件A应满足关系：y1+x，yx-2，L(A) 。14已知求。解由乘法公式知 15已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件的概率。（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解设以Ai(i=1,2)表示事件“第i次取出的是正品“，因为不放回抽样，故（1）（2）（3）（4）16在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指标，今有一组A3钢筋100根，次品率为2%，任取3根做拉伸试验，如果3根都是合格品的概率大于095，认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？解设表示事件“第i次取出的钢筋是合格品”，则所以故这组钢筋不能用于做构件。17某人忘记了密码锁的最后个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的概率。若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？解 设以Ai表示事件“第i次打开锁”（i=1,2,3），A表示“不超过三次打开”，则有易知：是互不相容的。同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是18袋中有8个球，6个是白球、2个是红球。 8个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。问第一人，第二人，最后一人取得红球的概率各是多少个。解设以Ai(i=1,2,8)表示事件“第i个人取到的是红球”。则又因A2=，由概率的全概公式得类似地有19设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，问另一件也是不合格品的概率是多少？解设A，B分别表示取出的第一件和第二件为正品，则所求概率为20对某种水泥进行强度试验，已知该水泥达到500#的概率为09，达到600#的概率为0.3，现取一水泥块进行试验，已达到500#标准而未破坏，求其为600#的概率。解设A表示事件“水泥达到500#”， B表示事件“水泥达到600#”。则 P(A)=0.9, P(B)=0.3, 又 ,即P(AB)=0.3,所以。21以A，B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知P（A）0.35，P（B）0.30，并知条件概率为P（AB）0.15，试求：（1）两个区同时发生停止供水事件的概率；（2）两个区至少有一个区发生停水事件的概率。解（1）由题设，所求概率为；（2）所求概率为。22设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球、，m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取只球。问取到白球的概率是多少？解设A1、A2分别表示从甲、乙袋中取到白球，则由全概率公式23盒中放有12只乒乓球，其中有9只是新的。第一次比赛时从其中任取3只来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3只，求第二次取出的球都是新球的概率。解设表示事件“第一次比赛时用了i个新球”，用A表示事件“第二次比赛时取出的球都是新球”。则有。由全概公式有。24将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为002而B被误收作A的概率为001信息A与信息B传送的频繁程度为2：l若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解设事件H表示原发信息为A，C表示收到信息为A，则表示原发信息是B。H，是S的一个划分。依题意有由贝叶斯公式有25甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是0.01，乙组是0.02，丙组是0.03，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概率。解设分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”，B表示事件“加工的零件是废品”。则所以。26有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解设事件A表示“取到第一箱”，则表示“取到第二箱”，B1，B2分别表示第一、二次取到一等品。（1）依题意有：，由全概率公式（2）由全概率公式27设有四张卡片分别标以数字1，2，34今任取一张设事件A为取到4或2，事件B为取到4或3，事件C为取到4或1，试验证 P（AB）P（A）P（B）， P（BC）P（B）P（C）， P（CA）P（C）P（A， P（ABC）PAP（B）P（C）。证样本空间中有4个样本点，而A、B、C中均含有2个样本点，故又AB、AC、BC中均含有1个样本点“取到4”故同理 P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)又ABC中有1个样本点取到428假设关于条件与都相互独立，求证证由关于条件与是相互独立的，故有，以及，从而29如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关井联以改善可靠性，在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有096的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为09999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。解设n只开关并联，以 Ai表示事件“在C发生时，第i只开关闭合“，则由已知条件诸Ai相互独立，且P(Ai)=0.96，从而知，当n=2时，系统的可靠性为又若使系统可靠性至少为0.9999，则必须0.9999即故至少需用3只开关才能使系统的可靠性至少为0.9999。30甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中的概率分别为0.4，0.5，0.7飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解设分别表示甲、乙、丙击中飞机，表示有i个人击中飞机，H表示飞机被击落。则独立，且于是依题意有：于是，由全概公式有。31在装有6个白球，8个红球和3个黑球的口袋中，有放回地从中任取5次，每次取出一个。试求恰有3次取到非白球的概率。解由题设知，取一个非白球的概率 p=11/17，于是。若视，则可查表得。32电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时后最多只有一只坏了的概率。解设A表示事件“一个灯泡可使用1000小时以上”，则A的概率为p=0.2,q=0.8。考察三个灯泡可视为n=3 的贝努利试验，于是所求概率为。33某地区一年内发生洪水的概率为0.2，如果每年发生洪水是相互独立的，试求：（1） 洪水十年一遇的概率；（2） 至少要多少年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水。解这是贝努利概型， p=0.2.(1) n=10,设A表示事件“洪水十年一遇”，则（2）由题设，即要成立，解此不等式得，即至少要21年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水。34在打桩施工中，断桩是常见的，经统计，甲组断桩的概率为3%，乙组断桩的概率为1.2%。某工地准备打15根桩，甲组打5根，乙组打10根，问：（1） 产生断桩的概率是多少？（2） 甲组断两