（新课标全国I卷）2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题18不等式选讲文（含解析）.docx

专题18 不等式选讲不等式选讲大题：10年10考，而且是作为2个选做题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式全国卷很少考不等式小题，如果说有考的话，可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独命小题显然也是合理的不等式的证明一般考在函数与导数综合题中出现1（2019年）已知a，b，c为正数，且满足abc1证明：（1）+a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324【解析】（1）要证+a2+b2+c2；因为abc1就要证：+a2+b2+c2；即证：bc+ac+aba2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c22bc2ac2ab0（ab）2+（ac）2+（bc）20；a，b，c为正数，且满足abc1（ab）20；（ac）20；（bc）20恒成立；当且仅当：abc1时取等号即（ab）2+（ac）2+（bc）20得证故+a2+b2+c2得证（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc1（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）；当且仅当（a+b）（b+c）（c+a）时取等号；即：abc1时取等号；a，b，c为正数，且满足abc1（a+b）2；（b+c）2；（c+a）2；当且仅当ab，bc；ca时取等号；即：abc1时取等号；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）3824abc24；当且仅当abc1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324得证故得证2（2018年）已知f（x）|x+1|ax1|（1）当a1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若x（0，1）时不等式f（x）x成立，求a的取值范围【解析】（1）当a1时，f（x）|x+1|x1|，由f（x）1，或，解得x，故不等式f（x）1的解集为（，+），（2）当x（0，1）时不等式f（x）x成立，|x+1|ax1|x0，即x+1|ax1|x0，即|ax1|1，1ax11，0ax2，x（0，1），a0，0x，a，2，0a2，故a的取值范围为（0，23（2017年）已知函数f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1|（1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围【解析】（1）当a1时，f（x）x2+x+4，是开口向下，对称轴为x的二次函数，g（x）|x+1|+|x1|，当x（1，+）时，令x2+x+42x，解得x，g（x）在（1，+）上单调递增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时f（x）g（x）的解集为（1，；当x1，1时，g（x）2，f（x）f（1）2当x（，1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（1）f（1）2综上所述，f（x）g（x）的解集为1，；（2）依题意得：x2+ax+42在1，1恒成立，即x2ax20在1，1恒成立，则只需，解得1a1，故a的取值范围是1，14（2016年）已知函数f（x）|x+1|2x3|（1）在图中画出yf（x）的图象；（2）求不等式|f（x）|1的解集【解析】（1）f（x），由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如图：（2）由|f（x）|1，可得当x1时，|x4|1，解得x5或x3，即有x1；当1x时，|3x2|1，解得x1或x，即有1x或1x；当x时，|4x|1，解得x5或x3，即有x5或x3综上可得，x或1x3或x5则|f（x）|1的解集为（，）（1，3）（5，+）5（2015年）已知函数f（x）|x+1|2|xa|，a0（1）当a1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围【解析】（1）当a1时，不等式f（x）1，即|x+1|2|x1|1，即，或，或解求得x，解求得x1，解求得1x2综上可得，原不等式的解集为（，2）（2）函数f（x）|x+1|2|xa|，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由ABC的面积大于6，可得2a+1（a+1）6，求得a2故要求的a的范围为（2，+）6（2014年）若a0，b0，且+（1）求a3+b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a+3b6？并说明理由【解析】（1）a0，b0，且+，+，ab2，当且仅当ab时取等号a3+b3 ，当且仅当ab时取等号，a3+b3的最小值为（2）2a+3b，当且仅当2a3b时，取等号而由（1）可知，6，故不存在a，b，使得2a+3b6成立7（2013年）已知函数f（x）|2x1|+|2x+a|，g（x）x+3（1）当a2时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）设a1，且当x，时，f（x）g（x），求a的取值范围【解析】（1）当a2时，求不等式f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30设y|2x1|+|2x2|x3，则y，它的图象如图所示：结合图象可得，y0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）（2）设a1，且当x，时，f（x）1+a，不等式化为1+ax+3，故xa2对x，都成立故a2，解得a，故a的取值范围为（1，8（2012年）已知函数f（x）|x+a|+|x2|（1）当a3时，求不等式f（x）3的解集；（2）f（x）|x4|若的解集包含1，2，求a的取值范围【解析】（1）当a3时，f（x）3 即|x3|+|x2|3，即，可得x1；，可得x；，可得x4取并集可得不等式的解集为 x|x1或x4（2）原命题即f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x在1，2上恒成立故当 1x2时，2x的最大值为213，2x的最小值为0，故a的取值范围为3，09（2011年）设函数f（x）|xa|+3x，其中a0（1）当a1时，求不等式f（x）3x+2的解集（2）若不等式f（x）0的解集为x|x1，求a的值【解析】（1）当a1时，f（x）3x+2可化为|x1|2由此可得x3或x1故不等式f（x）3x+2的解集为x|x3或x1（2）由f（x）0得|xa|+3x0，此不等式化为不等式组或， 即或，因为a0，所以不等式组的解集为x|x，由题设可得1，故a210（2010年）设函数f（x）|2x4|+1（1）画出函数yf（x）的图象；（2