（江苏专用）高考数学一轮复习考点22正弦定理和余弦定理的应用必刷题（含解析）.docx

考点22 正弦定理和余弦定理的应用1（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）设三角形的内角，的对边分别为，已知，则_【答案】【解析】因为，所以 2（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在中，已知，则的最小值是_【答案】【解析】分已知，可得，将角A,B,C的余弦定理代入得，由，当a=b时取到等号，故cosC的最小值为.3（江苏省启东中学第一次月考数学试题）在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为，且满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】，由正弦定理得，又，是锐角三角形，解得，即 又，故的取值范围为答案： 4（江苏省苏北六市2018届高三第二次调研测试）在ABC中，已知AB1，AC，B45，则BC的长为_【答案】【解析】即化简得： 解得5（江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研二模）在中，已知，则的长为_【答案】【解析】由题意得， .根据余弦定理得，即.故答案为.6（江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研）某海警基地码头的正西方向海里处有海礁界碑，过点且与成角(即北偏东)的直线为此处的一段领海与公海的分界线(如图所示)。在码头的正西方向且距离点海里的领海海面处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从处即刻出发。若巡逻艇以可疑船的航速的倍前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点处截获可疑船。(1)若可疑船的航速为海里小时，且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间。(2)若要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，求的最小值。【答案】（1）小时；（2）。 (1)因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为海里/小时，所以巡逻艇的航速为海里/小时，且，设，则，又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，所以， 在中，有，即，故，解得(负值舍去) 所以小时。(2)以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的倍，所以，故，即故可疑船被截获的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又直线的方程为，即，要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，则：圆心在直线下方，且的轨迹与直线至多只有一个公共点，所以且 即，解得，故要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，则.7（江苏省南京市2019届高三上学期综合模拟）某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形作为绿化区域，其余作为市民活动区域.其中区域种植花木后出售，区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍. 若 km ， km（1）若 km ，求绿化区域的面积；（2）设，当取何值时，园林公司的总销售金额最大. 【答案】（1）绿化区域的面积为 ；（2）当时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元. 【解析】（1）在中，由余弦定理得，因为， 所以， 又因为、共圆，所以. 在中，由余弦定理得，将，代入化简得，解得（舍去）. 所以即绿化空间的面积为 （2）在、中分别利用余弦定理得 联立消去得，得，解得（舍去）. 因为，所以，即. 因为草皮每平方米售价为元，则花木每平方米售价为元，设销售金额为百万元. 令，解得，又，不妨设，则函数在上为增函数； 令，解得，则函数在上为减函数，所以当时，. 答：（1）绿化区域的面积为 ；（2）当时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元.8（江苏省苏州市2018届高三调研测试）如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50处从海岛A到城市C，先乘船按北偏西角（，其中锐角的正切值为）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C已知船速为25km/h，车速为75km/h. （1）试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式；（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由【答案】（1），定义域为（2）17.68 【解析】试题分析：（1）由轮船航行的方位角为，可得，由直角三角形的性质及三角函数的定义可得，所以，则由经到 所用时间与的函数关系为，可得函数的定义域为，其中锐角的正切值为；（2）利用导数研究函数的单调性，可得在上递减，在上递增，（），所以可得时函数取得最小值，此时 17.68.试题解析：（1）由题意，轮船航行的方位角为，所以，则， 由A到P所用的时间为，由P到C所用的时间为，所以由A经P到C所用时间与的函数关系为函数的定义域为，其中锐角的正切值为. （2）由（1），令，解得，设0，使00减函数极小值增函数所以，当时函数f()取得最小值，此时BP=17.68，答：在BC上选择距离B为17.68 处为登陆点，所用时间最少9（江苏省南通市2018年高考数学模拟）如图，在ABC中，为所对的边，CDAB于D，且（1）求证：；（2）若，求的值【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）证明：因为，所以， 由正弦定理，得，所以 （2）解：由（1）得， 所以， 化简，得 又，所以，所以， 所以10（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，然后由正弦定理可得BP，（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要 当时，当时，分别求得对应的时长在求和即得到结论.解：（1）在中，由正弦定理，即，故的距离是93千米 （2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要当时， 即，解得，又所以， 时长为小时 当时， 即，解得，又所以， 时长为3小时3（小时） 答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时11（江苏省海门中学2018届高三5月考试）已知斜三角形ABC中，.(1)求角C(2)若，求当ABC的周长最大时的三角形的面积【答案】(1) .(2) .【解析】（1），.（2），最大，则ABC的周长最大，此时12（2017-2018学年度第一学期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考）如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB50 米，AD100米，现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O为AD的中点，OMON，点M在AB上，点N在CD上），将破旧的道路AM重新铺设已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设OMA，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f() （1）求f()关于函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tan为何值时，总费用 f()最小？【答案】（1）f()，其定义域为；（2）【解析】（1）据题意，在RtOAM中，OA50，OMA，所以AM，OM，据平面几何知识可知DON，在RtODN中，OD50，DON，所以ON，所以f() ，据题意，当点M与点B重合时，取最小值；当点N与点C重合时，取最大值，所以，所以f()，其定义域为 （2）由（1）可知，f()，令0，得，其中，列表：极小值所以当时，总费用 f()取最小值，可节约投入成本13（江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角B；（2）若，求，【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理，得 又因为在中所以 法一：因为，所以，因而所以，所以 法二：即， 所以，因为，所以 （2）由正弦定理得，而，所以，由余弦定理，得，即， 把代入得.14（江苏省高邮市2018届高三上学期期初考试）已知一块半径为的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，残缺部分位于过点的竖直线的右侧现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以为斜边；如图乙，直角顶点在线段上，且另一个顶点在 上要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值【答案】选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为【解析】如图甲，设，则， 所以，当且仅当时取等号， 此时点到的距离为，可以保证点在半圆形材料内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为 如图乙，设，则，所以， 设，则，当时，所以时，即点与点重合时，的面积最大值为 因为，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为.15（江苏省苏州市2018届高三调研测试三）已知中，若角对应的边分别为，满足，.(1)若的面积为，求；(2)若，求的面积.【答案】（1）（2）或【解析】 (1)由得，即.又，那么，即，得到，即有.(2)由题意有及余弦定理有，即， 又由可知， 由得到，亦即，可知或.经检验，或均符合题意；那么的面积为或 .16（江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试）如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段和以为直径的半圆弧组成，其中为2百米，为若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，再修两条栈道，使. 记（1）试用表示的长；（2）试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大.【答案】（1）；（2）与重合.【解析】（1）连结DC在ABC中，AC为2百米，ACBC，A为，所以CBA，AB4，BC 因为BC为直径，所以BDC，所以BDBC coscos （2）在BDF中，DBF，BFD，BDcos，所以， 所以DF4cossin()， 且BF4，所以DEAF=44， 所以DEDF444 sin()= sin2cos232 sin(2)3 因为，所以2，所以当2，即时，DEDF有最大值5，此时E与C重合答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大17（江苏省2018年高考冲刺预测卷）已知，分别是的角，所对的边，且.（）求；（）若，求的面积.【答案】（）.（）.【解析】试题分析：利用正弦定理化简求得的值，即可求解通过已知条件，利用余弦定理求出的值，然后求解三角形的面积即可解析：（）由题意知，所以，由正弦定理得，整理得，即，所以，.（）当时，由余弦定理得，所以，所以.18（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）在中，内角的对边分别为，已知，且.（1）求的值；（2）若， 为的面积，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， 可转化为，又，从而得到的值；（2）由正弦定理，故限制角A的范围，求出的取值范围.试题解析：（1）由正弦定理 ，余弦定理 可等价变形为 化简得 或（2）由正弦定理得 ，在中，由 得 ， .19（江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟）在中，角的对边分别为，且，（1