（新课标全国I卷）2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题07立体几何（2）文（含解析）.docx

专题7 立体几何（2）立体几何大题：10年10考，每年1题第1小题多为证明垂直问题，第2小题多为体积计算问题（2014年是求高）1（2019年）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离【解析】（1）连结B1C，ME，M，E分别是BB1，BC的中点，MEB1C，又N为A1D的中点，NDA1D，由题设知A1B1DC，B1CA1D，MEND，四边形MNDE是平行四边形，MNED，又MN平面C1DE，MN平面C1DE（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，由已知可得DEBC，DEC1C，DE平面C1CE，故DECH，CH平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离，由已知可得CE1，CC14，C1E，故CH，点C到平面C1DE的距离为2（2018年）如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积【解析】（1）在平行四边形ABCM中，ACM90，ABAC，又ABDA且ADACA，AB面ADC，AB面ABC，平面ACD平面ABC；（2）ABAC3，ACM90，ADAM，BPDQDA，由（1）得DCAB，又DCCA，DC面ABC，三棱锥QABP的体积V13（2017年）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积【解析】（1）在四棱锥PABCD中，BAPCDP90，ABPA，CDPD，又ABCD，ABPD，PAPDP，AB平面PAD，AB平面PAB，平面PAB平面PAD（2）设PAPDABDCa，取AD中点O，连结PO，PAPDABDC，APD90，平面PAB平面PAD，PO底面ABCD，且AD，PO，四棱锥PABCD的体积为，由AB平面PAD，得ABAD，VPABCD，解得a2，PAPDABDC2，ADBC，PO，PBPC，该四棱锥的侧面积：S侧SPAD+SPAB+SPDC+SPBC+6+4（2016年）如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G（1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积【解析】（1）PABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，PD平面ABC，则PDAB，又E为D在平面PAB内的正投影，DE面PAB，则DEAB，PDDED，AB平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则ABPG，又PAPB，G是AB的中点；（2）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心由（1）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PG，PE在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2所以四面体PDEF的体积VDESPEF2225（2015年）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD（1）证明：平面AEC平面BED；（2）若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积【解析】（1）四边形ABCD为菱形，ACBD，BE平面ABCD，ACBE，则AC平面BED，AC平面AEC，平面AEC平面BED；（2）设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，得AGGCx，GBGD，BE平面ABCD，BEBG，则EBG为直角三角形，EGACAGx，则BEx，三棱锥EACD的体积V，解得x2，即AB2，ABC120，AC2AB2+BC22ABBCcosABC4+4212，即AC，在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AEECED，AEEC，EAC为等腰三角形，则AE2+EC2AC212，即2AE212，AE26，则AE，从而得AEECED，EAC的面积S3，在等腰三角形EAD中，过E作EFAD于F，则AE，AF，则EF，EAD的面积和ECD的面积均为S，故该三棱锥的侧面积为3+6（2014年）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C（1）证明：B1CAB；（2）若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高【解析】（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，侧面BB1C1C为菱形，BC1B1C，AO平面BB1C1C，AOB1C，AOBC1O，B1C平面ABO，AB平面ABO，B1CAB；（2）作ODBC，垂足为D，连接AD，作OHAD，垂足为H，BCAO，BCOD，AOODO，BC平面AOD，OHBC，OHAD，BCADD，OH平面ABC，CBB160，CBB1为等边三角形，BC1，OD，ACAB1，OAB1C，由OHADODOA，可得AD，OH，O为B1C的中点，B1到平面ABC的距离为，三棱柱ABCA1B1C1的高7（2013年）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160（1）证明：ABA1C；（2）若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【解析】（1）如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B因为CACB，所以OCAB由于ABAA1，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB因为OCOA1O，所以AB平面OA1C又A1C平面OA1C，故ABA1C；（2）由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以又，则，故OA1OC因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积，故三棱柱ABCA1B1C1的体积8（2012年）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点（1）证明：平面BDC1平面BDC（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比【解析】（1）由题意知BCCC1，BCAC，CC1ACC，BC平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，DC1BC由题设知A1DC1ADC45，CDC190，即DC1DC，又DCBCC，DC1平面BDC，又DC1平面BDC1，平面BDC1平面BDC；（2）设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1，由题意得V1，又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，（VV1）：V11：1，平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：19（2011年）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形DAB60，AB2AD，PD底面ABCD（1）证明：PABD；（2）设PDAD1，求棱锥DPBC的高【解析】（1）因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BD，从而BD2+AD2AB2，故BDAD，又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD故PABD（2）解：作DEPB于E，已知PD底面ABCD，则PDBC，由（1）知，BDAD，又BCAD，BCBD故BC平面PBD，BCDE，则DE平面PBC由题设知PD1，则BD，PB2根据DEPBPDBD，得DE，即棱锥DPBC的高为10（2010年）如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高（1）证明：平面PAC平面PBD；（2）若AB，APBADB60，求四棱锥P