计算方法模拟试题及参考答案.pdf

真题一 1填空 （1） 设近似数2250 . 0 * = =x 是“四舍五入”得来的，则相对误差 )( * xer_; （2） 设1)( 3 +=+= xxf，则差商= =3 , 2 , 1 , 0f_; （3） 求积公式) 3 3 () 3 3 ()( 1 1 ffdxxf+ 有_次代数精确度； （4） 为提高数值计算精度，当正数x很大时，应将) 1 11 ln( + + xx 写为 _； （5） = = 22 12 A的三角分解为= LUA_。 2用迭代法（可任选）求方程3=+=+ x ex在（0，1）内的根的近似值 1+ +n x。要求 （1）说明所用方法为什么收敛； （2） 4 1 10 + + nn xx时迭代结束。 3设有线性方程组 123 123 123 2101.5 2510 1023 xxx xxx xxx += += = 。 （1） 将方程组中三个方程的上下次序适当调整，使得用高斯-赛德尔 (Gauss-Seidel)方法求解时对任意初始向量都收敛； （2） 取 T x)0,0,0( )0( = =，求近似解 )1( + +k x，使得 31 max i x 3)()1( 10 + k i k i xx。 4已知三阶连续可导函数)(xfy = =的如下数据： i x 0.25 1.0 )( i xf 0.50 1.0 )( i x f 0.5 试求满足插值条件( )( ) ,( )( ) iiii p xf xp xfx=的二次插值多项式)(xp，并 写出截断误差)()()(xpxfxR=的导数型表达式（不必证明） 。 5用最小二乘法确定xbayln+=+=中的常数a和b，使该函数曲线拟合于下列四 个点： （1 , 2.5）, (2 , 3.4) , (3 , 4.1) , (4 , 4.4) (计算结果保留到小数点后第 4 位)。 6给定积分 = = 2 1 ln xdxI。 （1） 取定 7 个等距节点（包括端点 1 和 2） ，列出被积函数在这些节点上的函 数值表（小数点后至少保留 5 位 ）； （2） 根据此表用复化 Simpson 求积公式求I的近似值（小数点后保留 5 位 ）； （3） 为使复化 Simpson 公式所求近似值具有 4 位有效数字， 试估计需要用到多 少个节点处的函数值？ 7给定初值问题：0sin 2 =+=+xyyy，1)1(= =y （1） 写出欧拉(Euler)预估-校正法的计算格式； （2） 取步长h=0.2，求)4 . 1(y的近似值（计算结果小数点后保留 5 位 ）。 8设有求解初值问题：),()(yxfxy=， 00) (yxy= =的如下多步法计算格式 1111 (,)(,) nnnnnnn yaybyh cf xydf xy + =+ 确定参数dcba,应满足的方程组（不必求解） ，使该格式成为二阶格式。 9当R取适当值时，曲线 2 xy = =就与 222 )8(Rxy=+=+相切。使用迭代法求切点 横坐标的近似值 1+ +n x，使得 3 1 10 + + nn xx。 （不必求R） 真题二 1填空（每小题 4 分，共 20 分） （1） 设近似数025 . 2 ,120 . 1 ,225 . 0 * 3 * 2 * 1 =xxx都是有效数。 则相对误差+)( * 3 * 2 * 1 xxxer_； （2） 矩 阵A的 谱 半 径)(A 和A的 任 何 一 种 范 数A的 大 小 关 系 是 _； （3） 数值求积公式 ) 3 2 ( 4 3 )0( 4 1 )( 1 0 ffdxxf+ 的代数精确度为 ； （4） 因为矩阵B的谱半径0)( B ，所以对任意初始向量 )0( x，迭代格式 , 2 , 1 , 0, )()1( =+=+= + + kgBxx kk 不收敛_（错或对） ； （5） 如果求解线性方程组的 Jacobi 迭代法不是对任意初始向量 )0( x收敛， 则相 应的 Gauss-Seidel 迭 代 法 （JGS） 不是对任意初始向量 )0( x收敛_ （错或对） 。 2 （10 分）用迭代法（非牛顿法）求方程03 2 = x ex在（0 ，1）内的根的近似 值 1+ +n x。 要求： （1）说明所用方法为什么收敛； （2） 3 1 10 + + nn xx时迭代结束。 3 （15 分）已知求解线性方程组 = = 5 2 10 50 10 010 3 2 1 x x x a bb a 的 Jacobi 迭代法对任意 初始近似都是收敛的 （1）试推断参数a和b应满足的条件； （2）取参数0= =a，1= =b，以及初始向量 T )0 , 0 , 0 (x )0( = =，用 Jacobi 迭代法 求解该方程组的精确解x 4 （10 分）已知单调连续函数)(xfy = =的如下数值表 i x 0.1 0.2 0.3 0.4 )( i xf 2 0 1 2 用插值法求5 . 0)(= =xf在区间)4 . 0 ,1 . 0(内的根的近似值 （小数点后保留五位） 。 5 （10 分） 设已知函数值 m ii xf 0 )( = = ，确定常数c，使平行于 x 轴的直线cy = =按 最小二乘原理拟合于该组数据。 6 （15 分）给定积分 = = 2 . 2 1 4 ln xdxxI。 （1） 取定 7 个等距节点（包括端点 1 和 2.2） ，列出被积函数在这些节点上的函 数值表（小数点后至少保留四位） ； （2） 根据此表用复化 Simpson 求积公式求I的近似值（小数点后保留四位） ； （3）试估计需要用多少个节点的函数值，使得用复化 Simpson 公式所求近似值 的误差不超过 4 10 2 1 。 7 （10 分）取步长1 . 0= =h，求如下常微分方程初值问题 = += = += 1y(0) 0x,yx dx dy 2 的解函数在2 . 0= =x处的近似值要求：每步用 Euler 法进行预估，用梯形法进 行一次校正，结果保留四位小数 8 （10 分）设 + + + = + + + = 2 1 2 1 2 1 x试写出求x的迭代格式，讨论该格式的收敛性， 并由该迭代格式求x的近似值，使迭代误差不超过001 . 0 真题三 一、计算题（每题 8 分，共 40 分） 1. 已知有效数10 . 0 * 1 =x，02 . 0 * 2 =x，计算 * 2 2* 1 * )(xxy =的相对误差限。 2. 用 LU 分解求解线性方程组 =+ =+ =+ 15536 26454 1022 321 321 321 xxx xxx xxx 3. 已知函数值表 x 2 1 0 1 2 y 0 1 2 1 0 试用多项式 2 210 xcxccy+=拟合这组数据。 4. 用欧拉梯形预估校正法求初值问题 = + = 0)0( 1 0 , 1 2 1 2 y x x xy y 的数值解，要求取步长 h0.5。 5. 用乘幂法计算矩阵 51 26 A = 的按摸最大的特征值和对应的特征向量。（小 数点后保留四位） 二 、（15 分）已知方程1) 1(= x ex在1,2内有惟一实根。 （1）试建立迭代格式, 1 , 0,)( 1 = + kxx kk ，论证其关于初值)2, 1 ( 0 x的收 敛性； （2）求根的近似值 1+k x，使 3 1 10 + ； B( )AA； C( )AA）的经验公式，使它能和下表数据 相拟合： i x 1.0 1.25 1.50 1.75 2.00 i y 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 七（10 分）设有求解初值问题 00 ( , ) () yf x y y xy = = 的如下格式 11 (3) 2 nnnn h yyff + =+ 如假设 11 (),() nnnn yy xyy x =，证明该格式为二阶格式。 真题一参考答案 1 （1） 4 1022 . 2 （2）1 （3）3 （4）)1(ln(+xx （5） 1 12 11 1 2解法一（牛顿迭代法） ：解法一（牛顿迭代法） ： ( )3 x f xxe=+ 建立牛顿迭代格式为： 1 3 1 k k x k kk x xe xx e + + = + 收敛性论证：因为 (0)20f= ，所以方程在0,1内有根。 因为 ( )10,0,1 x fxex= + 所以方程在0,1内有唯一根。 又 ( )0,0,1 x fxex= 当 0 1x = 时，有 00 ()()0f xfx，所以 0 1x = 时牛顿迭代收敛。 取初值 0 1x = ，迭代计算如下： 0 1x = ， 1 0.8068243x =， 2 0.7921350x =， 3 0.7920600x = 由于 4 32 10xx ,故 ( )0f x = 仅有一个根,构造迭代公式 1 3 1 8 (), ( )() ,(1,2) 2 kk x xxxx + = , 则当 1,2x 时,1 ( )2x . 22 33 1 81 1 |( )| |()|( )1 626 3 x xL = = 故迭代收敛.取 0 1.5x = ,计算得： 0 1.5x =， 1 1.481248x =， 2 1.482671x =， 3 1.482563x = 由于 3 32 10xx ，所以方程在0,1内有唯一根。 解法解法 1 将方程改写为 x e x x 3 1 =，设 x e x x 3 1 )(=，则在0,1上有 0) 1( 3 )( 3 1 )( 22 =x x e exe x x x xx )1(2) 1( 3 1 )( 2 4 += xxeexex x x xxx 0 1) 1( 3 22 3 2 3 2 3 +=+=x x e xx x e xx 所以在0,1上，)(x为单调减函数，)(x为单调增函数 因为92730872 . 0 8 . 03 1 )8 . 0( 8 . 0 =e，906093942 . 0 3 1 ) 1 ( 1 =e，0)( x ， 故当 1 , 8 . 0x， 1 , 8 . 0)8 . 0(),1 ()(x； 又 因 为23182718 . 0 ) 18 . 0( 8 . 03 )8 . 0( 2 8 . 0 = e ，0) 11 ( 13 ) 1 (= = e ， 0)( x ，故 123182718 . 0 )8 . 0()(max 18 . 0 = xx 所以在0,1上，)(x，)(x为单调增函数 因为57735 . 0 3 1 )0(=，95189 . 0 3 1 ) 1 ( 2 1 =e，0)( x ，故当 1 , 0x， 1 , 0)1 (),0()(x； 又因为)0( 2 1 )0(=，) 1 ( 2 1 ) 1 (=，0)( x ，故 147594 . 0 32 1 ) 1 ()(max 2 1 10 所以方程在(1,2内有唯一根。 又 ( )60,(1,2fxxx= 0 2x =时，有 00 ()()0f xfx，所以 0 2x =时牛顿迭代收敛。 （5 分） （3）取初值 0 2x =，迭代计算如下： 0 2x =， 1 1.8889x =， 2 1.8795x =， 3 1.8794x = 由于 1 4 32 1 10 2 xx 所以，满足精度要求的近似根为 x 3 1.8794x = （4 分） 解法解法 2： （1）建立迭代格式为： 1 3 1 (31) kk xx + =+ （3 分） （2）收敛性论证： 1 3 ( )(31)xx=+ k ( ) 1 k x ( ) 2 k x ( ) 3 k x 0 0 0 0 1 -1 6 9 2 5 -2 -1 3 1 2 3 4 1 2 3 因为1,2x ( )1,2x 22 33 1 ( )(31)( )1 4 xx =+ 因此迭代格式收敛。 （5 分） （3）取初值 0 2x =，迭代计算如下： x0=2, x1=1.9129 , x2=1.8888, x3=1.8821, x4 =1.8801, x5 =1.8796, x6 =1.8794， 由于 1 4 65 1 10 2 xx 所以，满足精度要求的近似根为 x 6 1.8794x = （4 分） 解法解法 3： 1 2 1 1 (3) k k x x + =+ 迭代结果：x0=2, x1=1.8708 , x2=1.8800, x3=1.8793, x4 =1.8794 （具体分步评分标准同前两种解法） 四、解：四、解： （1）对经验公式进行线性化得： lnlnyabx=+ 令lnty=，lnAa=，Bb= 则有：tABx=+ ，列出函数值表 （2 分） （2）代入数据得矛盾方程组为： 11.629 1.251.756 1.501.876 1.752.008 2.002.135 AB AB AB AB AB += += += += += （2 分） （3）法方程组为： i x 1.0 1.25 1.50 1.75 2.00 ln i ty= 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135 57.509.404 7.5011.87514.422 AB AB += += （4 分） （4）解得： A=1.122 B=0.5056 则 a=eA=3.071, b=0.5056 故得拟合曲线为： 0.5056 3.071 x ye= （2 分） 七、证明七、证明方法一方法一: 考虑局部截断误差，在假设 11 (),() nnnn yy xyy x = 下，所给 格式可变形为： 111 (3)()(3 ()() 22 nnnnnnn hh yyffy xy xy x + =+=+ （1） （2 分） 将 1 () n y x 在 n x 做 Taylor 展开得： 2 3 1 ()()()()() 2! nnnn h y xy xh yxyxO h =+ （2） （2 分） 将（2）式带入（1）式并整理得： 23 4 1 ()()()()() 2!4 nnnnn hh yy xhy xy xyxO h + =+ （3） （2 分） 而对 1 () n y x + 在 n x做 Taylor 展开得： 23 4 1 ()()()()()() 2!3! nnnnn hh y xy xh y xy xyxO h + =+ （4） （2 分） 由 （4）-（3）得： 3 4 11 5 ()()() 12 nnn h y xy