《概率分布22年》PPT课件.ppt

第 4 章 概率分布,4.1 度量事件发生的可能性 3.2 随机变量概率分布 3.3 由正态分布导出的几个重要分布 3.4 样本统计量的概率分布,probability,2019-9-5,学习目标,度量事件发生的可能性概率 离散型概率分布 二项分布，泊松分布，超几何分布 连续型概率分布 正态分布 由正态分布导出的几个重要分布 c2-分布， t-分布， F-分布 样本统计量的概率分布,4.1 度量事件发生的可能性 概率是什么？ 怎样获得概率？ 怎样理解概率？,第 4 章 概率分布,2019-9-5,什么是概率？ (probability),概率是对事件发生的可能性大小的度量 明天降水的概率是80%。这里的80%就是对降水这一事件发生的可能性大小的一种数值度量 你购买一只股票明天上涨的可能性是30%，这也是一个概率 一个介于0和1之间的一个值 事件A的概率记为P(A),2019-9-5,怎样获得概率？,重复试验获得概率 当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察到的事件A发生次数(频数)的比例来逼近 在相同条件下，重复进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率可以写为,用类似的比例来逼近 一家餐馆将生存5年的概率，可以用已经生存了5年的类似餐馆所占的比例作为所求概率一个近似值,主观概率,2019-9-5,怎样理解概率？, 投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右(注意：抛掷完成后，其结果就是一个数据，要么一定是正面，要么一定是反面，就不是概率问题了),4.2 随机变量的概率分布 4.2.1 随机变量及其概括性度量 4.2.2 离散型概率分布 4.2.3 连续型概率分布,第 4 章 概率分布,4.2.1 随机变量及其概括性度量,4.2 随机变量的概率分布,2019-9-5,什么是随机变量？ (random variables),事先不知道会出现什么结果 投掷两枚硬币出现正面的数量 一座写字楼，每平方米的出租价格 一个消费者对某一特定品牌饮料的偏好 一般用 X，Y，Z 来表示 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量,2019-9-5,离散型随机变量 (discrete random variables),随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 x1 , x2， 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子,2019-9-5,连续型随机变量 (continuous random variables),可以取一个或多个区间中任何值 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子,2019-9-5,离散型随机变量的期望值 (expected value),描述离散型随机变量取值的集中程度 离散型随机变量X的所有可能取值xi与其取相对应的概率 pi 乘积之和 记为 或E(X)，计算公式为,2019-9-5,离散型随机变量的方差 (variance),随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为 2 或D(X) 描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为 方差的平方根称为标准差，记为 或D(X),2019-9-5,离散型数学期望和方差 (例题分析),【例4-1】一家电脑配件供应商声称，他所提供的配件100个中拥有次品的个数及概率如下表。求该供应商次品数的数学期望和标准差,2019-9-5,连续型随机变量的期望和方差,连续型随机变量的期望值 方差,4.2.2 离散型概率分布,4.2 随机变量的概率分布,2019-9-5,离散型随机变量的概率分布,列出离散型随机变量X的所有可能取值 列出随机变量取这些值的概率 通常用下面的表格来表示,P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 pi0 ； 常用的有二项分布、泊松分布、超几何分布等,2019-9-5,二项试验 (Bernoulli试验),二项分布建立在Bernoulli试验基础上 贝努里试验满足下列条件 一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败” “成功”是指我们感兴趣的某种特征 一次试验“成功”的概率为p ，失败的概率为q =1- p，且概率p对每次试验都是相同的 试验是相互独立的，并可以重复进行n次 在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X,2019-9-5,二项分布 (Binomial distribution),重复进行 n 次试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为XB(n，p) 设X为 n 次重复试验中出现成功的次数，X 取 x 的概率为,2019-9-5,二项分布 (期望值和方差),期望值 =E(X) = np 方差 2 =D(X) = npq,2019-9-5,二项分布 (例题分析),【例4-2】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽 取5个。求5个产品中 (1) 没有次品的概率是多少？ (2) 恰好有1个次品的概率是多少？ (3) 有3个以下次品的概率是多少？,2019-9-5,二项分布 (用Excel计算概率),第1步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】 中点击【BINOMDIST】，然后单击【确定】 第3步：在【Number_s】后填入试验成功次数(本例为1) 在【Trials】后填入总试验次数(本例为5) 在【Probability_s】后填入试验的成功概率(本例为 0.04) 在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示计算成 功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示 计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值),计算二项分布的概率,Excel,2019-9-5,泊松分布 (Poisson distribution),1837年法国数学家泊松(D.Poisson，17811840)首次提出 用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布 泊松分布的例子 一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数 一定时间内，到车站等候公共汽车的人数 一定路段内，路面出现大损坏的次数 一定时间段内，放射性物质放射的粒子数 一匹布上发现的疵点个数 一定页数的书刊上出现的错别字个数,2019-9-5,泊松分布 (概率分布函数), 给定的时间间隔、长度、面 积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面 积、体积内“成功”的次数,2019-9-5,泊松分布 (期望值和方差),期望值 E ( X ) = 方差 D ( X ) = ,2019-9-5,泊松分布 (例题分析),【例4-3】假定某航空公司预订票处平均每小时接到42次订票电话，那么10分钟内恰好接到6次电话的概率是多少？,解：设X=10分钟内航空公司预订票处接到的电话次数,2019-9-5,泊松分布 (用Excel计算概率),第1步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】 中点击【POISSON 】，然后单击【确定】 第3步：在【X】后填入事件出现的次数(本例为6) 在【Means】后填入泊松分布的均值(本例为7) 在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示计算成 功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示 计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值),计算泊松分布的概率,Excel,2019-9-5,超几何分布 (hypergeometric distribution),采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等 总体元素的数目N很小，或样本容量n相对于N来说较大时，样本中“成功”的次数则服从超几何概率分布 概率分布函数为,2019-9-5,超几何分布 (例题分析),【例4-4】假定有10支股票，其中有3支购买后可以获利，另外7支购买后将会亏损。如果你打算从10支股票中选择4支购买，但你并不知道哪3支是获利的，哪7支是亏损的。求 (1)有3支能获利的股票都被你选中的概率有多大？ (2)3支可获利的股票中有2支被你选中的概率有多大？,解：设N=10，M=3，n=4,2019-9-5,超几何分布 (用Excel计算概率),第1步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】 中点击【 HYPGEOMDIST】，然后单击【确定】 第3步：在【Sample_s 】后填入样本中成功的次数x(本例为3) 在【Number_sample】后填入样本容量n(本例为4) 在【Population_s】后填入总体中成功的次数M(本例 为3) 在【Number_pop】后填入总体中的个体总数N (本例为10),计算超几何分布的概率,Excel,4.2.3 连续型概率分布,4.2 随机变量的概率分布,2019-9-5,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述,2019-9-5,常用连续型概率分布,2019-9-5,正态分布 (normal distribution),由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出 描述连续型随机变量的最重要的分布 许多现象都可以由正态分布来描述 可用于近似离散型随机变量的分布 例如： 二项分布 经典统计推断的基础,2019-9-5,概率密度函数,f(x) = 随机变量 X 的频数 = 正态随机变量X的均值 = 正态随机变量X的方差 = 3.1415926; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- x +),2019-9-5,正态分布函数的性质,图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x= 处 均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族” 均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭 当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交 正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1,2019-9-5, 和 对正态曲线的影响,2019-9-5,正态分布的概率,2019-9-5,标准正态分布 (standardize normal distribution),标准正态分布的概率密度函数,随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布,标准正态分布的分布函数,2019-9-5,正态分布 (用Excel计算正态分布的概率),第1步：在Excel表格界面中，点击“fx ”(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】 中点击【NORMDIST】，然后单击【确定】 第3步：在【X】后输入正态分布函数计算的区间点(即x值) 在【Mean】后输入正态分布的均值 在【Standard_dev】后输入正态分布的标准差 在【Cumulative】后输入1(或TRUE)表示计算事件出 现次数小于或等于指定数值的累概率 单击【确定】,2019-9-5,正态分布 (计算标准正态分布的概率和反函数值),第1步：在Excel表格界面中，点击“fx ”(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】中点击 【NORMSDIST】，单击【确定】 第3步：在【Z】后输入Z的值。单击【确定】 第1步：在Excel表格界面中，点击“fx ”(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】中点击 【NORMSINV】，然后单击【确定】 第3步：在【Probability】后输入给定的概率值。单击【确定】,计算概率,计算z值,2019-9-5,正态分布 (例题分析),【例4-5】计算以下概率 (1) XN(50,102)，求 和 (2) ZN(0,1)，求 和 (3)正态分布概率为 0.05 时，求标准正态累积分布函数 的反函数值 z,正态分布的计算概率,Excel,2019-9-5,数据正态性的评估,对数据画出频数分布的直方图或茎叶图 若数据近似服从正态分布，则图形的形状与上面给出的正态曲线应该相似 绘制正态概率图。有时也称为分位数分位数图或称Q-Q图或称为P-P图 用于考察观测数据是否符合某一理论分布，如正态分布、指数分布、t分布等等 P-P图是根据观测数据的累积概率与理论分布(如正态分布)的累积概率的符合程度绘制的 Q-Q图则是根据观测值的实际分位数与理论分布(如正态分布)的分位数绘制的 使用非参数检验中的Kolmogorov-Smirnov检验(K-S检验),2019-9-5,用SPSS绘制正态概率图,第1步：选择【Graphs】下拉菜单，并选择【P-P】 或 【Q-Q】选项进入主对话框 第2步：在主对话框中将变量选入【Variables】 ，点击【OK】,绘制正态概率图,SPSS,2019-9-5,正态概率图的绘制 (例题分析),P-P图 Q-Q图,【例4-6】第2章中电脑销售额的正态概率图,2019-9-5,正态概率图的分析 (normal probability plots),实际应用中，只有样本数据较多时正态概率图的效果才比较好。当然也可以用于小样本，但此时可能会出现与正态性有较大偏差的情况 在分析正态概率图时，最好不要用严格的标准去衡量数据点是否在一条直线上，只要近似在一条直线上即可 对于样本点中数值最大或最小的点也可以不用太关注，除非这些点偏离直线特别远，因为这些点通常会与直线有偏离。如果某个点偏离直线特别远，而其他点又基本上在直线上时，这个点可能是离群点，可不必考虑,4.3 由正态分布导出的几个重要分布 4.3.1 t 分布 4.3.2 2 分布 4.3.3 F 分布,第 4 章 概率分布,4.3.1 t 分布,4.3 由正态分布导出的几个重要分布,2019-9-5,t-分布 (t-distribution),提出者是William Gosset，也被称为学生分布(students t) t 分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,2019-9-5,t-分布 (用Excel计算t分布的概率和临界值),利用Excel中的【TDIST】统计函数，可以计算给定值和自由度时分布的概率值 语法：TDIST(x,degrees_freedom,tails) 利用【TINV】函数则可以计算给定概率和自由度时的相应 语法：TINV(probability,degrees_freedom),计算t分布的临界值,Excel,4.3.2 2 分布,4.3 由正态分布导出的几个重要分布,2019-9-5,由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡皮尔逊(KPearson) 分别于1875年和1900年推导出来 设 ，则 令 ，则 y 服从自由度为1的2分布，即 对于n个正态随机变量y1 ，y2 ，yn，则随机变量 称为具有n个自由度的2分布，记为,c2-分布 (2-distribution),2019-9-5,分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度) 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U2(n1)，V2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布,c2-分布 (性质和特点),2019-9-5,不同自由度的c2-分布,2019-9-5,c2-分布 (用Excel计算c2分布的概率),利用Excel提供的【CHIDIST】统计函数，计算c2分布右单尾的概率值 语法：CHIDIST(x,degrees_freedom) ，其中df为自由度，x,是随机变量的取值 利用【CHIINV】函数则可以计算给定右尾概率和自由度时相应的反函数值 语法：CHIINV(probability,degrees_freedom),计算c2 分布的概率,Excel,4.3.3 F 分布,4.3 由正态分布导出的几个重要分布,2019-9-5,为纪念统计学家费希尔(R.A.Fisher) 以其姓氏的第一个字母来命名则 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V2(n2),且U和V相互独立，则 称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为,F-分布 (F distribution),2019-9-5,不同自由度的F分布,2019-9-5,F-分布 (用Excel计算F分布的概率和临街值),利用Excel提供的【FDIST】统计函数，计算分布右单尾的概率值 语法：FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2) 利用【FINV】函数则可以计算给定单尾概率和自由度时的相应 语法： FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2),计算F分布的概率,Excel,4.4 样本统计量的概率分布 4.4.1 统计量及其分布 4.4.2 样本均值的分布 4.4.3 其他统计量的分布 4.4.4 统计量的标准误差,第 4 章 概率分布,4.4.1 统计量及其分布,4.4 样本统计量的概率分布,2019-9-5,参数和统计量,参数(parameter) 描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的总体的某种特征值 一个总体的参数：总体均值()、标准差()、总体比例()；两个总体参数：(1 -2)、(1-2)、(1/2) 总体参数通常用希腊字母表示 统计量(statistic) 用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据计算出来的一些量，是样本的函数 一个总体参数推断时的统计量：样本均值(x)、样本标准差(s)、样本比例(p)等两个总体参数推断时的统计量： (x1-x2)、(p1-p2)、(s1/s2) 样本统计量通常用小写英文字母来表示,2019-9-5,样本统计量的概率分布，是一种理论分布 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布 (sampling distribution),2019-9-5,抽样分布的形成过程 (sampling distribution),4.4.2 样本均值的分布,4.4 样本统计量的概率分布,2019-9-5,在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 推断总体均值的理论基础,样本均值的分布,2019-9-5,样本均值的分布 (例题分析),【例4-10】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,2019-9-5,样本均值的分布 (例题分析), 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,2019-9-5,样本均值的分布 (例题分析), 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,2019-9-5,样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析), = 2.5 2 =1.25,总体分布,样本均值分布,2019-9-5,样本均值的分布 与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的期望值为，方差为2/n。即xN(,2/n),2019-9-5,中心极限定理 (central limit theorem),从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,2019-9-5,中心极限定理 (central limit theorem),x 的分布趋于正态分布的过程,2019-9-5,抽样分布与总体分布的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,样本均值 正态分布,样本均值 正态分布,样本均值 非正态分布,2019-9-5,样本均值的分布 样本均值的期望值和方差,样本均值的分布 (数学期望与方差),4.4.3 其他统计量的分布,4.4 样本统计量的概率分布,2019-9-5,总体(或样本