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线性代数课程简介,一.教材与参考书,线性代数吴传生 王卫华编,线性代数清华大学出版社 居余马等编,教材选用：,参考教材：,线性代数是一门基础数学课程,其核心内容 是研究有限维线性空间的结构和线性变换.其理 论和方法有着广泛的应用.,行列式,矩阵,线性方程组,向量空间,矩阵的特征值,二次型,1.教材内容:,2.学习方法与要求;,预习+课堂学习+小组讨论,本期应完成:15次作业、6个报告、2次考试,线性代数(Linear Algebra)简介,加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。,一.代数:,是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。,1.初等代数,代数的起源可以追溯至3000多年前的古埃及人和古巴比伦人。,初期的代数主要源于解方程.,我国古代的九章算术 中就有方程问题。,初等代数研究的对象:,代数式的运算和方程的求解。,整式、分式和根式是初等代数的三大类代数式。,四则运算，乘方和开方运算,通常称为初等代数的代数运算.,初等代数的十条规则:,(1)五条基本运算律：,加法交换律、加法结合律、 乘法交换律、乘法结合律、分配律；,(2)两条等式基本性质:,等式两边同时加上一个数，等式不变；,等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；,(3)三条指数律：,同底数幂相乘，底数不变指数相加；,指数的乘方等于底数不变指数相乘；,积的乘方等于乘方的积。,人们在解方程的研究过程中发现了 无理数、负数和复数， 从而使数的概念得到了扩充。,2、代数的基本定理,1799年高斯（Gauss）证明：,复数域上任意一个一元n次（n0）方程,任何一个一元n次方程在复数域上 有且仅有n个根（重根按重数计算）,至少有个根,这就是说,至少有个复数x满足这个 等式；,3.多项式方程的代数解问题,方程的代数解是指:,方程经过有限次代数运算得到的解。,，,，,阿贝尔（Abel）(18021829) 证明了五次方程不可能有代数解,4、方程根与系数的关系,韦达定理:设一元二次方程,在复数域上的两个根为,则有,一般地:设,在复数域上的n个根为,则有,2.高等代数,1832年法国数学家伽罗瓦运用“群”的思想彻 底解决了用根式求解代数方程的可能性,由此 代数转变成为研究代数运算结构的科学.,二.线性代数,“线性”的含义是指未知量的一次式。,例如: y=ax表示变量y是变量x的一个线性函数，,y=ax1+bx2表示变量y是x1，x2的线性关系。,一个线性表示不能包含诸如x2和x1x2的二次项， 这些二次项是非线性的。,线性代数的研究对象:,线性方程组、线性空间和线性变换。,行列式和矩阵的是线性代数的两个重要工具.,1、求解线性方程组,例1：明代程大为著的算法统宗中记载： 100个和尚分100个馒头。大和尚一人3个，小和 尚3人一个，刚好分完。问大、小和尚各多少人？,解：设有大和尚x人，小和尚y人，于是有,用代入法求得：,，代入,，解出：,例2：中国古代算书张丘建算经记载百鸡问 题：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱， 小鸡三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只 鸡，问：在这一百鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各 有多少只？,解：设有公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，则有,有（2）3（1）得,因为y是整数，可设,代入得：,又y0,可知k=1,2,3,由此得,或,或,例3求解下列线性方程组,解:,由(2)-(1)得(3),方程组与下列方程组同解,由(5)2(4):,k是任意常数,令:,解:利用高斯（ Gauss ）消元法求解.,将1,2两个方程 互换位置得,由第1个方程分别乘-2,-2,-3,后与2,3,4方程相加,得,同理:将2,3方程互换位置,得,把第3,4两个方程分别 加上第2个方程的-4,-1 倍,得,同理;得,从第3个方程回代,利用高斯消元法求解线性方程组,解:原方程组,无解.,若我们进一步 变换可得:,从以上例题可以看出,线性方程组的解有3种 情况:唯一解、无穷解和无解。,当未知量或方程组的个数增多时, 常用高斯消元法求解方程组.,一般地,方程组可表示为:,它是线性代数的主要研究对象。,例:总收入问题,某地区有1个工厂,生产甲,乙,丙3种产品,xi(i=1,2,3),表示工厂生产这3种产品的数量, ai(i=1,2,3)表示第i种产品的单价,y表示这 3种产品的总收入,则有:,若某地区有1,2,3,4个工厂,生产甲,乙,丙3种,产品,xki(k=1,2,3,4;i=1,2,3)是k工厂生产i种 产品的数量,ai(i=1,2,3)表示i种产品的单价, yk表示k工厂的总收入,则有:,2、线性代数的数学模型,在一个经济系统中,一个企业既是生产者又是消 费者,作为生产者,它有产出,作为消费者它有投 入,企业之间的这种平衡关系可以用一系列的线 性方程组来表示,这就是列昂节夫(诺贝尔经济学 奖获得者)的投入产出数学模型.,例全球定位系统GPS,要想知道卡车在公路上行驶时的位置可利用 GPS系统.这个系统是由24颗高轨道卫星组成,卡 车从其中3颗卫星接受信号,接受器里的软件利 用线性代数方法来确定卡车的位置.,当卡车和一颗卫星联系时,接受器从信号往返 的时间能确定卡车到卫星的距离,例如14000公里, 从卫星来看,知道卡车位于以卫星为球心,半径为 14000公里的球面上的某地.设卡车位置(x,y,z),第 一颗卫星位置(a1,b1,c1)即,同理 假设第2,3颗卫星的位置分别是(a2,b2,c2) 和(a3,b3,c3)距卡车的距离分别是17000和16000 公里,则有,这些关系式不是线性关系式,要求(x,y,z),由(1)减(2),(3)得:,例:动画问题,动画设计中常常用到坐标变换如:平移 旋转等,设平面上的点为(x,y),平移变换后为,则:,设平面上的点为(x,y),旋转变换后为,则:,1 n阶行列式的定义的主要内容是:,一.2阶行列式和3阶行列式的定义,(一)2阶行列式的定义,(二)3阶行列式的定义,二.n阶行列式的定义,行列式简介,行列式出现于线性方程组的求解。,它是数学语言上的改革,它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。 P.S.Laplace,是一种速记表达式.,行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家 关孝和提出来的(1683 年 ),Vandermonde 首次对行列式理论进行系统的阐述,成为行列式理论的奠基人.,用消元法解二元线性方程组,一.2阶行列式和3阶行列式的定义,(一)2阶行列式的定义,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,(二)三阶行列式的定义,解三元一次方程组,由（1）（2）消x3,同理（1）（3）消x3得,由二元一次方程组可知:若系数行列式:,即:,那么:,三元线性方程组:,若系数行列式不等于零,有解:,(二)三阶行列式的定义,定义,记,（1）式称为数表所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例,解,按对角线法则，有,二.四阶行列式与n阶行列式的定义,不适用对角线定义.,1,+1,三阶行列式的沙路法和对角线法不适用四 阶行列式,二.四阶行列式与n阶行列式的定义,例:,求x4=?,由(2)+(3)得:,得:,10,3,观察2阶和3阶行列式:,=?,三阶行列式:,+,123,231,312,132,213,321,0个,2个,2个,偶排列,1个,1个,3个,奇排列,记:,为排列的逆序数总数.,规定,=,行列式的一般项定义.,补充说明:行列式的一般项定义中列标可按自 然顺序排列.,例如:,n阶行列式的一般项定义,行列式的 一般项,简记,其中aij是行列式的元数.,例1 计算对角行列式,分析,展开式中一般项中的元素积:,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例如,3或2阶行列式的按第1行展开式归纳如下:,四阶行列式与n阶行列式按行展开式定义.,按照这一规律观察2阶:,=,规定:,叫做元素 的代数余子式,例如,的余子式和 代数余子式,1.余子式与代数余子式,的余子式和 代数余子式,定义:由n2个数aij(ij=1,2,n)组成的n阶行列式,n阶行列式按第1行展开的定义,是一个算式.,当n=1时,定义D=,当n2时,定义为,其中:,例1,=40,按第1行的元素展开,