微分的定义DefinitionofDifferential.ppt

一、微分的定义(Definition of Differential ),二、微分的几何意义(The Geometric Meaning of Differential),四、微分在近似计算中的应用 Application of Differential in Approximation,第四节 微分及其计算 Differential of a Function and the Rules for Differentiation,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 The Differential Formulas of the Basic Elementary Funtiond and the Rules for Differentiation,返回,一、微分的定义(Definition of Differential ),问题的提出,一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 由 变到 （如图），问此薄片的面积 改变了多少？,一般地,如果函数y=f(x)满足一定条件,则函数的增量 可表示为,其中A是不依赖于 的常数,因此 是 的线性函数,且它与 之差,是比 高阶的无穷小,所以,当 ,且 很小时,我们就可 以近似地用 来代替,定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义， 及 在这区间内，如果函数的增量 可表示为 其中A是不依赖于 的常数，而 是比 高阶的无穷小，那么称y=f(x)在点 是可微的， 而 叫做函数y=f(x)在点 相应于自变量增 量 的微分，记作dy，即,Definition Let y=f(x) be a function defined on some interval I, I, I ,if the increment of the dependent variable y=f( )f( ) can be expressed as y=Ax,where A is a constant which is independent of x ,then we say that f(x) is differentiable at ,and Ax is called the differential of y=f(x) at corresponding to the increment Ax of the independent varable,denoted by dy,i.e.dy= Ax .,由定义知:,定理：y=f(x)在 可微的充分必要条件是f(x)在 处 可导，且当f(x)在点 可微时，其微分一定是,(1) 必要性,证明,Theorem: A function is derivable at x0 if and only if it is differentiable at x0.,(2) 充分性,例1,解,例2,解,返回,M,N,）,几何意义:(如图),二、微分的几何意义 The Geometric Meaning of Differential,返回,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则The Differential Formulas of the Basic Elementary Funtiond and the Rules for Differentiation,函数的微分的表达式,求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式 The Differential Formulas of the Basic Elementary Functions,2. 函数和、差、积、商的微分法则(The Differential Rules of the Sum,Difference,Product,Quotient of Functions),复合函数的微分法则 The Differential Rules of Composite function,与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则 可推导如下:,设 及 都可导, 则复合函数 的 微分为,上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变, 这一 性质称为微分形式不变性.,例3,解,