电子元器件工艺导论第三章2014

3. 压电元器件及其材料,3.1 压电效应及压电方程 一.(正)压电效应与逆压电效应 正压电效应： 对某些电介质晶体施加机械应力，晶体两端面表面出现符号相反的束缚电荷，其电荷密度与外力成正比，这种由机械应力的作用而使电介质晶体产生极化并形成晶体表面电荷的现象，称为(正)压电效应 Di=dijkXjk (1) dijk称为压电应变常数， 是一个三阶张量，后两个指标对称。 Di=eijkxjk (2) eijk称为压电应力常数，也是一个三阶张量，后两个指标对称,逆压电效应： 若将具有正压电效应的电介质晶体置于电场中，电介质晶体将发生形变和产生应力，晶体的这种因外电场作用而产生形变和应力的现象称为逆压电效应 xij=daijEa (3) Xij=eaijEa (4) daij与eaij意义同前,Whats “Piezoelectric Effect”,CONVERSE PIEZOELECTRIC EFFECT,Igniter Microphone Pressure Sensor,DIRECT PIEZOELECTRIC EFFECT,Clock Speaker Actuator,二.材料的热力学特征函数 环境变量：电场E, 应力X, 温度T 热力学特征函数： 内能： U Helmholtz自由能：F=U-ST 焓：H=U-Xx-ED 弹性焓：H1=U-Xx 电性焓：H2=U-ED Gibbs自由能：G=U-ST-Xx-ED 弹性Gibbs自由能：G1=U-ST-Xx 电性Gibbs自由能：G2=U-ST-ED,热力学第一定律 可逆过程中系统内能的增量dU等于外界对系统做的功dW加上系统从外界吸收的热量dQ,即dU=dW+dQ=Xdx+EdD+TdS (5) 热力学特征函数的微分形式为： Helmholtz自由能：dF=-SdT+Xdx+EdD (6) 焓：dH=TdS-xdX-DdE (7) 弹性焓：dH1=TdS-xdX+EdD (8) 电性焓：dH2=TdS-Xdx-DdE (9) Gibbs自由能：dG=-SdT-xdX-DdE (10) 弹性Gibbs自由能：dG1=-SdT-xdX-EdD (11) 电性Gibbs自由能：dG2=-SdT-Xdx-DdE (12),三.压电方程 研究绝热条件，要用热焓：dH=TdS-xidXi-DmdEm 则，T= H/S, xi=- H/Xi, Dm= -H/Em (13) 另外，将热焓在平衡态附近展开，H=H0+(H/S)dS+ (H/Xi)dXi+ (H/Em)dEm (14) 将T,xi和Dm看成S,Xi和Em的函数，有 xi= (xi/S)X,ES+ (xi/Xi)S,EXi+ (xi/Em)X,SEm (15) Dm= ( Dm /S)X,ES+ ( Dm /Xi)S,EXi+ ( Dm /Em)X,SEm (16) T= ( T /S)X,ES+ ( T /Xi)S,EXi+ ( T /Em)X,SEm (17),把（13）式代入（15）-（17），得到 xi= -(2H/XiS)ES- ( 2H/XiXj)S,EXi- ( 2H/Xi Em)SEm (18) Dm=- (2H/EmS)ES- ( 2H/EmXi)S,EXi- ( 2H/EmEn)SEm (19) T= ( 2H/S2)ES+ (2H/SXi)S,EXi+ (2H/S Em)XEm (20) 由于(2H/XiS)E= (2H/ SXi)E=-(xi/S)E; (21) ( 2H/XiXj)S,E=-(xi/Xj)S,E=-sijE,S; (22) ( 2H/Xi Em)S=- (xi/Em)S=-dmjS; (23) ( 2H/S2)E=(T/S)E=T/(cE,X). (24),(18)-(20)可以写为， xi= -(xi/S)ES+ sijE,S Xi+ dmjS Em (25) Dm=- (Dm/S)ES+ dmjS Xi+mnS,XEm (26) T= T/(cE,X)S + (T/Xi)EXi+ (T/Em)XEm (27) (25)-(27)又称为本构方程。它描述了应变、电位移、温度与应力、电场强度和熵之间的关系。在绝热条件下，（25）和（26）变为 xi= sijE,S Xi+ dmjS Em (28) Dm= dmjS Xi+mnS,XEm (29) （28）和（29）被称为第一类压电方程。它的边界条件为电学短路和机械自由。 机械自由：边界上的应力为零。 电学短路：两电极间外电路的电阻比压电陶瓷的内电阻小很多，可以认为处于短路状态，使得E为常量。,四. 压电方程的一般形式,由于上述压电方程中的系数为张量，压电方程可用矩阵表示。 x=sEX+dtE (30) D=dX+XE (31) 应力X或应变x张量：6个分量（约化前9个（32） 电场E电位移D矢量：3个分量 弹性柔顺系数s四阶张量：36个分量（约化前81个（34） 压电应变常数d三阶张量：18个分量（约化前27个（33） 缩写规则： 111, 22 2, 33 3, 23 =324, 13=31 5, 12=21 6.,五. 其它压电方程,取决于边界条件 第二类压电方程：电学短路；机械夹持 矩阵分量形式： Xj=cjiExi-enjEn (32) Dm=emixi+mnxEn (33) 矩阵形式： X=cEx-etE (34) D=ex+xE (35) c-弹性刚度系数四阶张量；e-压电应力常数三阶张量。 机械夹持：边界上的应变为零。,第三类压电方程：电学开路；机械自由 矩阵分量形式： xj=sjiDXj-gmlDm (36) En=-gnjXj+nmXDm (37) 矩阵形式： x=sEX-gtD (38) E=-gX+xD (39) -介电隔离常数；g-压电电压常数三阶张量。 与，c与s互为逆矩阵。 电学开路：两电极间外电路的电阻比压电陶瓷的内电阻大很多，可以认为处于开路状态，电极上的自由电荷没有流失，使得D为常量。,第四类压电方程：电学开路；机械夹持 矩阵分量形式： Xj=cjiDxj-hmlEm (40) En=-hnixi+nmxDm (41) 矩阵形式： X=cDx-htD (42) E=-hx+xD (43) g-压电刚度常数三阶张量。,六. 各常数之间的关系,cEsE=sEcE=sDcD=cDsD=I XX= XX= xx= xx=I X-x=det=edt=dcEdt=esEet x-X=ght=hgt=gcDgt=hsDht sE-sD=dtg=gtd=dtXd=gtXg cD-cE=eth=hte=etxe=htxh d=esE=Xg e=dcE=xh g=hsD=Xd h=gcD=xe,七压电材料性能参数,机电耦合系数 正压电效应时：机械功=弹性贮存能电能 逆压电效应时：电功=极化电能机械能 并不能实现100%的能量转换 机电耦合系数用于描述压电体中机电耦合有效程度的参数 k=转换获得的能量输入的总能量 具体为与压电效应相联系的弹电相互作用能密度与弹性能密度和介电能密度的几何平均值之比。即 k=U12/(U1U2)1/2 (44) U1-弹性能密度，U2-介电能密度，U12-弹性与介电性相互的作用能密度,单位体积压电材料的内能 U=1/2xmXm+1/2DiEi (45) 将第一类方程(30),(31)代入，得到 U=1/2smjEXmXj+1/2dmnEnXm+1/2dijXjEi+ 1/2inXEiEn =U1+U12+U12+U2 (46) 其中 U1=1/2smjEXmXj (47) U2= 1/2inXEiEn (48) U12=1/2dmnEnXm (49) 将(47)-(49)代入(44)式就可求得总的机电耦合系数。 机电耦合系数不但与材料参数有关，还与具体的振动模式有关。,2. 机械品质因素衡量压电体(压电振子)在谐振时机械内耗大小的参数 m=2Wm/Wk Wm谐振时振子内贮存的最大机械能量 Wk-谐振时振子每周期内机械损耗的能量 m也是与压电振子的振动模式有关 Qm和k可以通过压电振子谐振时的频率特性计算得到。,3.2 压电振子,一，压电陶瓷的压电方程 压电陶瓷的对称性可用（mm）来表示。它与六方晶系(6mm)一致。压电方程为 x1=s11EX1+s12EX2+s13EX3+d31E3 x2=s12EX1+s11EX2+s13EX3+d31E3 x3=s13EX1+s13EX2+s33EX3+d33E3 x4=s44EX4+d15E2 x5=s44EX5+d15E1 x6=2(s11E s12E)X4 D1=d15X5+11XE1 D2=d15X4+11XE2 D3=d31X1+d31X2+D33X3+33XE3,四种压电振动类型： 长度伸缩振动模式：垂直于电场方向的振动 厚度伸缩振动模式：平行于电场方向的振动 面切变：垂直于电场的面内切变 厚度切变：平行于电场的面内切变 压电方程自变量的选取方法： 边界自由应力分量作为自变量 边界截止应变分量作为自变量 电场垂直于振动方向电场强度分量作为自变量 电场平行于振动方向电位移分量作为自变量,压电振子 电场垂直于长度方向的长度伸缩模式,压电方程 设晶片尺寸w,tl, l, 为声波波长。设除晶片两端外其余表面均自由，因而，X10, X2=X3=X4=X5=X6=0. 并且E3 0,E1=E2=0.用第一类压电方程比较方便.简化方程为 x1=s11EX1+d31E3, (50) D3=d31X1+11XE3. (51),式中k31为机电耦合系数. 二. 压电振子的波动方程 另一方面，考虑压电振子为一运动物体，根据牛顿第二定律，有 . (52) 即 . (53) 由(50)式得到 . (54) . (55) 因E3沿z方向分布,在x方向等电位,即E3/x=0,把(55)代入(53)得到 . (56) 或者写为 (57),式中 . (58) 三. 满足边界条件的解 在简谐振动时,电场和位移都是时间的正弦函数,即E3=E0eit, =0eit, 代入(57)式,得到 . (59) 这是波速为的波动方程,其通解为 . (60) 系数A,B可以通过边界条件(机械自由X1=0)求得 (61) . (62) 当x=0 和x=l时, X1=0. 从而 . (63) 由此得到方程的解为 (64),或写为本 . (65) t=0时, .x=0, ;x=l/2, =0; x=l, . t=/时, . X=0, ; x=l/2, =0; x=l, . 由此可以写出压电振子的应变,应力以及电位移与x,t的关系,四. 通过压电振子的电流 . (66) 电极面上的电荷Q3为 (67) 将D3表达式代入式(67)中, 可得到 (68) 进一步得到通过压电振子电极面的电流 (69),五. 压电振子的等效导纳 G=1/Z=I3/V3 (70) 两电极面上的电压V3为 (71) 将(69)和(71)式代入 (70)式中, 可得到压电振子的等效导纳为 (72) 下面讨论压电振子在不同频率时导纳的性质. 频率很低时 0, . 代入(72)式,可得等效导纳 (73) 其中低频电容传 (74),可见低频时压电振子等效为一个电容. 可以通过测量电容来确定自由介电常数 . 这里低频是指外加交变电场的频率f(=2f)远小于压电振子的谐振频率fr(r=2fr). 为什么低频时测量的是自由介电常数而不是夹持介电常数呢? 看看低频时的应力X1和应变x1. 因此,低频时应力为零,应变不为零.即边界条件为应力自由.所以测量的介电常数为自由介电常数.,(2) 谐振频率时 当外加电场的频率等于谐振频率时,=r=/l, 根据(72)式可知,压电振子的导纳G|r=. 阻抗=0,电流=.可见谐振时,通过的电流最大,阻抗最小.实验中,通过谐振频率的测量来确定弹性柔顺系数 . (75) 谐振频率的值为 . (76) (3) 反谐振频率时 当外加电场的频率稍高于谐振频率时,=r+=(+)/l, 并且0, 于是,tan(l/2)=tan(+)/2)0 (因为(+)/2在第二象限).因此,一定存在某个频率fa (a),使得 (77),此时,压电振子的等效导纳为零,等效阻抗为,通过压电振子的电流为零. 实验中,可通过阻抗最大值时的频率来确定反谐振频率fa.通过谐振频率和反谐振频率来得到机电耦合系数.,(77)式可以改写为 (78) 把 , a=2fa, 及 代入(78)式, 可得 (79) 因为反谐振频率略大于谐振频率,故可将反谐振频率写为 .同时, fr=/(2l), frl/=/2, . 将这些关系式代入到(79)式, 得到,六. 机电耦合系数与谐振频率和反谐振频率的关系,由于f/fr很小, 可将 展开为幂级数, 代入上式, 整理后得到机电耦合系数与谐振频率和反谐振频率的关系为 . (80) 考虑到f/fr很小, 上式中的高次项可以忽略,(80)式可写为 . (81) 因此,只要测得压电振子的谐振频率fr和反谐振频率fa,就可以利用(81)式计算机电耦合系数k31. 并且,通过低频电容Clow,可以进一步得到压电常数d31和夹持介电常数 . (82) . (83),七. 压电振子的等效电路 压电振子的等效导纳为 . (1) 当外加电场的频率很低时,等效导纳为 . 此时,压电振子等效为一纯电容(见图3.3). (2) 当外加电场的频率等于谐振频率时, 等效导纳为,阻抗为0, 电流为. 这与LC串联谐振的现象相同.可以认为谐振时,压电振子起着一个串联的电容和电感的作用, 等效电路为串联的电容和电感(图3.4). (3)当外加电场的频率等于反谐振频率时, 等效导纳为0,本阻抗为, 电流为0. 这与LC并联谐振的现象相同.可以认为谐振时,压电振子起着一个由电容C0和电容C1和电感L1相并联的作用, 等效电路为并联的电容C0和电容C1和电感L1(图3.5).,八. 压电振子的一般等效电路 压电振子的等效导纳可以改写为 其中, 为分路电容, 为分路阻抗.Z1为动态阻抗. 将Z1在谐振频率附近展开,得到 所以, Z1可进一步写为 (84) 同样地把LC串联阻抗在串联谐振频率 附近展开, 得到,(85) 比较(84)和(85)式,可以看出在谐振频率附近,动态阻抗和LC串联阻抗等效,因而 (86) (87) (86)和(87)两式给出了压电振子的等效电容和等效电感同压电常数,弹性常数及机电耦合系数之间的关系. 有损耗的压电振子的等效电路 有损耗时, 等效电路的L1C1之路将出现一个等效电阻R1, 如图3.6所示. 总阻抗可以表示为Z=R+X 其中电阻分量和电抗分量分别为,L1C1R1支路的电抗为 当频率变化时,R, X, Z和XL1C1R1都随之变化.在频率特性曲线上,可以得到6个特征频率, 即 fr: 谐振频率, X=0, 电路呈纯电阻性,电阻很小; fa:反谐振频率, X=0, 电路呈纯电阻性,电阻很大; fs:串联谐振频率, X1=0; fp:并联谐振频率, R达到极大; fm: 最小阻抗频率, |Z|达到极小; fn:最大阻抗频率, |Z|达到极大. 六个频率的关系: fmfsfr, fnfpfa. 没有损耗时, fm=fs=fr, fn=fp=fa,fm=68.3 kHz fs= 68.4 kHz fr= 68.6 kHz fn=73.3 kHz fp=73.3 kHz fa=74.0 kHz,PZT 陶瓷的6个 频率:,3.3 压电滤波器,一.压电滤波器的概念 滤波器是一种对信号频率有选择性的电路和器件.压电滤波器是把压电振子与电感，电阻和电容按一定的设计组合起来，得到的具有频率选择性的器件. 二. 压电滤波器的分类 1. 低通滤波器,高通滤波器,带通滤波器,带阻滤波器,三. 压电滤波器的类型 晶体滤波器： 石英晶体，铌酸锂晶体，钽酸锂晶体 陶瓷滤波器 四. 压电陶瓷滤波器的历史 20世纪70年代以前: 采用金属外壳,含有6个以上压电陶瓷振子. 70年代后期: 梯形模式千赫陶瓷滤波器出现. 80年代: 含有4个或6个压电陶瓷振子的陶瓷滤波器被开发出来. 1991年: 村田(Murata)制造公司推出CFUCG系列4.0mm树脂外壳,由4个梯形压电陶瓷振子组成的表面安装用陶瓷滤波器. 1993年: 村田推出CFUCH系列3.0mm树脂外壳,由4(及8)个梯形压电陶瓷振子组成的表面安装用陶瓷滤波器. 随后,村田用CFWC系列由6个梯形GAE振子元件组成的全兼容表面安装陶瓷滤波器取代了CFZC系列表面安装陶瓷滤波器. 经过对振子,陶瓷材料和结构的评估后,村田开发了CFUXC系列化,2.0mm, 4个梯形振子元件组成的表面安装滤波器. 村田新型CFUXC系列陶瓷滤波器外形尺寸: 6.56.51.9 mm3, 特点是侧面棱小于2.0 mm. 而普通6个振子元件组成的小型表面安装陶瓷滤波器的外形尺寸为: 6.511.53.0 mm3. CFUXC系列陶瓷滤波器重225mg,而用6个振子元件组成的CFWC系列陶瓷滤波器重675mg. 例子: CFUXC陶瓷滤波器的外形尺寸与频率特性.,五. 滤波器的特性： (一). 阻抗特性 输入阻抗和输出阻抗 滤波器输入端连接的器件,作为信号 源,其内阻为Zi; 与滤波器输出端相连的器件,看作负载,其阻抗为ZL. Zi和ZL都称为滤波器的终接阻抗. 如图所示, 输入阻抗Z入定义为Z入=U1/I1. 输出端开路, 对滤波器测得的阻抗称为输出阻抗(Z出). Z入,Z出都与频率有关. 特性阻抗 特性阻抗是一个特别的终接阻抗,它使被研究的那一端的输入阻抗正好等于该端的负载阻抗. Zc1: 输入端的特性阻抗; Zc2: 输出端的特性阻抗 (85) (86) 其中, Z01表示输出端短路时,输入端的输入阻抗. Z1表示输出端开,路时,输入端的输入阻抗. Z02表示输入端短路时,输出端的输入阻抗. Z1表示输入端开路时,输出端的输入阻抗. 滤波器某一端的特性阻抗,就是该端的短路输入阻抗与开路输入阻抗的几何平均值. 如果滤波器的终接阻抗等于其特性阻抗,滤波器可获得最佳工作状态. 当一个滤波器一端的终接阻抗等于其特性阻抗时,从另一端看进去的输入阻抗就等于该端的特性阻抗. (二). 衰耗特性 也称衰减特性或损耗特性.它随频率而变化.可分为传输衰耗,介入衰耗(插入衰耗),工作衰耗. 1.传输衰耗 b (87) P1-输入视在功率, P2-输出视在功率. 2.介入衰耗(插入衰耗) B,滤波器的介入损耗是反映滤波器在介入电源和负载之间以及从它们之间取出时,负载所得到的功率的变化. (88) P0-负载直接与电源连接而得到的功率; P2-介入滤波器后负载得到的功率; I0, U0-滤波器介入前负载得到的电流, 电压; I2, U2-滤波器介入后负载得到的电流, 电压. 3.工作衰耗bp 将等于电源内阻抗的负载直接与电源连接,负载所接收到的视在功率为P0, 将任意负载经滤波器与电源连接时,负载所接收到的视在功率为P2. 工作衰耗定义为 (89) 或 (90) 工作衰耗与插入衰耗的关系为 (91),式中, , Zi电源内阻抗, ZL负载电阻. (三). 相位特性 滤波器的相位随频率变化的特性称为相位特性. 滤波器的输出信号相对于输入信号由于相移产生的时间延迟,称为时延. 若正弦信号的角频率为i,相移为i, 则滤波器在该频率下的时延为ti=i/i, 所以它又被称为”相位时延”. 群时延定义为相位相对于频率的变化率,即群时延=d/d. 群时延与调幅波的包络关系极为密切,所以有时也称群时延为包络时延. 六. 滤波器的主要参数和定义 用于判定一个实际滤波器质量的优劣. 相对衰耗 给定频率的衰耗与通带内规定频率(参考频率)点的衰耗之差,称为相,对衰耗. 2. 参考频率f, 最大输出频率fm, 中心频率f0和截止频率fc 参考频率f即为通带内取作参考标准的那个频率. 通带内衰耗最小的那个频率为最大输出频率fm. 在通带边界上相对衰耗达到规定值的那个频率即为截止频率fc. 带通或带阻滤波器的上,下截止频率的几何平均值为中心频率f0, 即 . 实际上常用截止频率的算术平均值作为几何平均值的近似值, 即 . 3. 通带宽度f 两个截止频率之差称为通带宽度f. f=fC2-fC1, (fC2fC1). 4. 匹配阻抗 在使用滤波器时,应要求终接负载尽量与特性阻抗相匹配而获得最满意的衰耗特性. 5. 介入损耗(插入损耗) 用通带内某一频率点的介入损耗来表示. 6. 防卫度BZ(或称阻带抑制度),用防卫度来表示滤波器在阻带内的抑制能力.防卫度的大小就是在规定的阻带频率范围内的最小相对衰耗值. 7. 通带波动B 定义为在规定的通带范围内衰耗的最高波峰和最低波谷之差. 8. 反射系数r和反射衰耗Br 反射系数r和反射衰耗Br的引入是为了定量说明滤波器因负载阻抗失配引起的衰耗大小.它们分别定义为 (92) (93) 或 (94) 其中, Zi滤波器输入端或输出端的终接阻抗, Zb为滤波器的输入或输出阻抗. 9. 矩形系数和过渡带 矩形系数定义为: 在规定的两个衰耗峰上,其相应的带宽之比.通常用相对衰耗为BZ时的带宽fBZ与相对衰耗为3dB时的带宽f3dB(或f6dB)之比表示, 即 或 (95),10. 滤波器的激励电平(功率,电压或电流) 有些滤波器如压电陶瓷滤波器的特性不仅与负载有关,而且也与加在滤波器上的激励电平有关.随着激励电平的加大,谐振频率下降.过高的激励电平会使陶瓷振子衰老和产生非线性失真.在给出滤波器的电气特性时,一般应指出测试时所用的测试电平以及使用时允许的最高激励电平. 七. 压电陶瓷滤波器的原理 陶瓷滤波器是利用压电陶瓷振子的谐振特性而设计的.如下图所示, 当一个压电陶瓷振子串联在信号源和负载之间时, 它具有如右下图所示的衰耗特性. 可以看出,在谐振频率时, 阻抗最小,输出信号最大, 或者说信号的衰耗最小. 即压电振子有滤波的性质. 但衰耗特性很差.,可以将两个振子按图3.9所示的方式连接成四端滤波器. 其中片1与信号源和负载ZL串联,称为串臂振子(简称”串片”),片2与信号源和负载ZL并联, 称为并臂振子(简称”并片”).可以得到两个衰耗很小的频率fa2, fr1. 如果fa2=fr1, 就可以得到如图3.11的衰耗特性.显然这是一个简单的带通滤波器. 实际使用的陶瓷滤波器就是根据要求 采用多个陶瓷振子按上述原理经过串、 并联组合而成的.,2,八. 压电陶瓷滤波器的电气特性 梯形滤波器(链型滤波器)： 型，型，型 桥型滤波器： 桥型，差接桥型 具体结构见下图.,二端振子组成的各种滤波器结构 (a) L型; (b) T型; (c) 型; (d) 桥型; (e) 差接桥型.,L形陶瓷滤波器的电气特性 假定: (1) 陶瓷振子没有损耗; (2) 振子无杂波;(3) 不考虑泛音和其它振动模式的影响. 设串臂振子的谐振频率fr1等于并臂振子的反谐振频率fa2,即串臂振子等效二端网络的串联谐振频率fs1等于并臂振子等效二端网络的并联谐振频率fp2, 要求其滤波器的衰耗,相移和阻抗特性. 已知 , ,并且, , , , 又因为串臂振子的等效阻抗为Z1/2, 并臂振子的等效阻抗为2Z2,所以有, (96) (97) 式中, C01为串片1的静态电容;C02为串片2的静态电容;f1代表高端衰耗为无穷大的频率,它等于串片1的反谐振频率fa1; f2代表低端衰耗为无穷大的频率, 它等于并片2的谐振频率fr2. 根据滤波器的传通条件Z1=-4Z2, 可求出滤波器的衰耗特性的截止频率fc1和fc2, 其结果为 . (98) . (99),式中: , , , L节滤波器的传输常数为 (100) (101) 特性阻抗 输入端(1-1端)为 输出端(2-2端)为 其中 所以 (102) (103),式中 在通带内中心频率f0处的特性阻抗ZCT0=ZC0=RC, 则有 (104) 如果以中心频率f0处的特性阻抗RC作为滤波器的终接匹配阻抗,则滤波器各等效参数计算公式如下:,有了以上的计算公式,就可以分析理想梯形陶瓷滤波器的几个特性. 1). 衰耗特性曲线对称性问题 压电陶瓷振子的相对带宽为 故有 (105) 在设计制造滤波器时,一般有fr1=fa2=f0. 已知滤波器的衰耗峰有两个无穷大的衰耗峰,下阻带内的衰耗峰是由于并臂振子发生谐振而产生的,上阻带的衰耗峰是由于串臂振子发生反谐振而产生的.于是有fa1=f1, fr1=f0. 所以, (106) 又因为 fr2=f2, fa2=f0, 所以, (107) 若串、并臂振子的相对带宽相等, 即 则, (108) 这说明,当用相对带宽相同的振子来制作滤波器时,滤波器的衰耗特,性对于频率f0=fr1=fa2是几何对称的, 而不是算术对称(中心对称)的. F0称为几何中心频率. 设计滤波器时,一般都是给定中心频率f0,并且要求f0成为中心对称频率.这时就不能选用相对带宽相同的振子,所选用的并臂振子其相对带宽应大于串臂振子的相对带宽才能满足要求.串臂振子以fr为基准计算相对带宽,并臂振子以fa为基准 计算相对带宽.当两个相对带宽相同时, 衰耗特性就以f0为中心.如下图3.14所示. 2. 振子相对宽度wf和电容比C02/C01对衰耗 特性的影响 上面已经证明,如果串、并臂振子的相对带宽 相同, 并且f0=fr1=fa2,有 (109) 在一般情况下有,(110) 当 时,则有 (111) 对两个相同结构的L形单节滤波器,如果振子的相对带宽相同, C02/C01越大,滤波器的阻带衰耗就越大,通带就越窄,从截止频率到衰耗峰频率的过渡带被拉宽,矩形系数变小.入图3.15所示. 在满足fr1=fa2的条件下, C02/C01不可能很大, 所以,单节滤波器的阻带衰耗不大.为使阻带 衰耗满足要求,须把单节滤波器连接起来组 成多节滤波器,其衰耗等于各单节的衰耗之 和. 当滤波器串并臂振子的静电容比C02/C01相 同时,振子的相对带宽大, 则fC2-fC1就大,作出,来的滤波器通带就宽. 3. 特性阻抗 L形滤波器的两个特性阻抗ZCT和ZC都 是频率的函数,且和静电容比C02/C01有关. 当f=fC1和f=fC2时,均有ZCT=0, ZC=. 离开衰耗峰,滤波器的串、并臂阻抗都是呈现电容性,所以特性阻抗也是电容性的,因此,在f=0时,ZCT=ZC=, 当f=时, ZCT=ZC=0.由于 f2是并臂振子阻抗的零点, f1是串臂振子的极点,因此,当f=f0时, ZCT=ZC=RC. 特性阻抗与频率的关系示于 图3.17中. 4. 相移特性 L节的传输常数为gL, 则,按梯形滤波器的传通条件,在通带内Z1和Z2性质相反,sinhgL为虚数,所以sinhbLcosL=0,通带内bL=0, sinhbL=0, coshbL=1, 所以有 (112) 在阻带内,Z1/4Z20, singL的虚部等于零,故sinL=0, L=0.在截止频率上, Z1/4Z2=-1, sinL=1, 故有L=/2. 在匹配状态下,T型节的相移T和型节的相移等于其半节(L节)电路的两倍,即T=. 在中心频率f0处, L=T=0. 在f2fC1和fC2f1的频率范围内,Z1和Z2的电抗性质相反, singL的实部等于零,因为bL0, sinhbL 0,只有coshbL=0,所以L=/2,故有T= =2L=.T型和型滤波器的相移特性 如图3-18所示.,九. 压电陶瓷滤波器的设计计算 压电陶瓷滤波器的设计就是根据给定的压电陶瓷滤波器的性能指标如中心频率f0,带宽f,矩形系数K,插入损耗Bon,防卫度BZ,和匹配阻抗Z,通过理论计算来选择陶瓷材料的机电耦合系数,振动模式,振子的几何尺寸以及滤波器的节数和结构等,从而使制造出来的滤波器性能满足指标要求. 设计方法: 分析法: 理论基础是网络分析,出发点是影射参数,适用于高通,低通,和带宽较大的滤波器; 综合法: 理论基础是网络综合,出发点是工作参数, 适用于带宽小于2%的窄带滤波器. 下面以梯形滤波器为例来说明分析法设计的计算步骤. fC1, fC2, f1, f2的确定 由已知的滤波器的中心频率f0,带宽f,可以定出截止频率fC1, fC2, 再由截止频率和矩形系数K,确定衰耗峰的位置,即可定出f1, f2的值. 因为 , , 所以可求出 (113),(114) 由定义,矩形系数K为 则有 又知 故可得 (115) (116) 2. 机电耦合系数的选择 由f1, f2和f0可求出振子的相对带宽: ,由此选用合适的振动模式,从而确定陶瓷材料的机电耦合系数. 前面已经知道: , 所以 (117) (118) 如果要将f0设计成中心对称频率, 则可求出 , .有了中心频率f0和相对带宽,就可以选用合适的振动模式,从而确定材料的机电耦合系数. 3. 求串,并臂振子的静电容C01, C02,根据给定的终接电阻RC和中心频率f0, 上,下截止频率fC1, fC2, 上,下衰耗峰频率f1, f2, 求出串,并振子的静电容C01和C02. 如果以在中心频率f0处的特性阻抗作为滤波器的终接阻抗, 则电容C01和C02的计算公式为 (119) (120) 式中 (121) 4. 计算滤波器的节数n 由静电容比C02/C01可求单节滤波器的阻带衰耗b,然后在根据阻带防卫度的要求,确定滤波器的节数n. 确定节数时,要考虑阻带内由于失配可能使衰耗减少0.69,所以 (122) 式中, b的求法为 (123) B0为通带内的衰耗值, BZ为阻带防卫度.,5. 通带最小插入衰耗Bon和振子Qm的确定 如果滤波器采用n节单节滤波器连接而成,则滤波器的通带最小衰耗为Bon=nB0. 假设由带宽和Qm相同的振子组成单节滤波器,则通带的最小衰耗B0由下式确定 (124) 6. 振子几何尺寸的确定 根据振子的相对带宽和中心频率可以选定振动模式和机电耦合系数.根据相对带宽和通带内最小插入衰耗可确定Qm. 当机电耦合系数Qm确定后,瓷料也就基本确定, 因此相应的频率常数N也就确定了.于是根据中心频率就可以确定振子的几何尺寸.,十压电陶瓷滤波器的例子 低频(124kHz)滤波器的网络结构,中频(465kHz)滤波器的电路结构,高频(30MHz)滤波器的电路结构,十一压电陶瓷滤波器的特点: 元件数目大为减少(对于长条伸缩振子=L+2C) 可靠性大为提高 温度稳定性：晶体滤波器：极佳 陶瓷滤波器：优于 质量因数：比LC高个数量级 用于窄带滤波器时，比LC窄23数量级,普通晶体滤波器的带宽和频率范围：,单晶体滤波器的带宽和频率范围,陶瓷滤波器的带宽和频率范围,3.4 压电声表面波器件,一固体的声表面波 声体波与声表面波： 在外力或外电场作用下,固体原子(又称为声子)能围绕其平衡位置作往复运动, 并在体材料中有一定的规律,像波的传播一样,这种波就称为声波. 在压电体内部产生的波动称为声体波在压电体表面产生的波动现象,称为声表面波如果质点的位移方向与声波的传播方向一致,称为声纵波.如果质点的位移方向与声波的传播方向垂直,称为声横波. 声表面波的特点： 声波一般是平面波.其运动方程为 , (125) 式中, u为为质点的位移, u0为质点的最大位移值, c为波的传播速度, 为角速度, /c=k为波矢. 声表面波的传播速度比固体中传播的纵波( )和横波( 段) 的传播速度都要慢 随传播距离的衰减远比纵波或横波的要小,声表面波的分类： 取决于激发状态的不同和所用材料性能的差异 瑞利(Rayleigh)波(研究最充分): 在固体的自由表面上传播.它由传播速度相同的一个声纵波和一个声横波线性组合而成.两者相位差90,因此质点位移的轨迹是一个椭圆. 兰伯(Lamb)波: 在厚度为几个波长的薄板中传播的弹性波. 薄板两个表面上质点的位移类似于瑞利波. 有对称的和反对称的两种波形.波速与频率有关,是一种色散波. 波长为0.11微米. 斯东尼莱(Stoneley)波: 这是在两个半无限介质交界面上传播的弹性波.这种波在边界两侧的质点位移和穿透深度的情况与瑞利波相似,但它要求两种介质的密度和刚度要在一定的范围内.由于它在两种介质中,不便于提取能量,因此目前很少用来作信号处理. 乐浦(Love)波: 在薄片或薄膜紧贴在半无限固体表面时,其分界面处可传播的两种波: 一种是广义瑞利波,其质点的位移是与分界面相垂直的切变位移和与传播方向平行的压缩位移线性迭加,且它们的相位差为90,因此质点位移的轨迹是椭圆;另一种是乐浦波,它是一种纯横波,质点的位移平行于分界面,垂直于传播方向,可以,用来制作某些器件,如脉冲压缩器等. 二.声表面波的