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文档简介

第2讲 数列的求和问题,专题四 数列、推理与证明,热点分类突破,真题押题精练,热点一 分组转化求和 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并.,例1 (2017届安徽省合肥市模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足S424,S763. (1)求数列an的通项公式;,解答,解 an为等差数列,,解答,思维升华,(2)若 求数列bn的前n项和Tn.,解 ,22n1(1)n(2n1) 24n(1)n(2n1),,思维升华 在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个公式.,(1)求证:数列bn为等差数列;,则bn1bn2(n1)12n12. 所以数列bn是以1为首项,2为公差的等差数列.,证明,(2)设cnanb2n,求数列cn的前n项和Tn.,解答,解 由(1)知,b2n4n1, 则数列b2n是以3为首项,4为公差的等差数列.,热点二 错位相减法求和 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列.,例2 (2017河南省夏邑一高模拟)已知an是等差数列,其前n项和为Sn,bn是等比数列,且a1b12,a4b427,S4b410. (1)求数列an与bn的通项公式;,解答,解 设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q, 由a1b12,得a423d,b42q3,S486d,,故an3n1,bn2n (nN*).,(2)求Tna1b1a2b2anbn的值.,解 Tn22522823(3n1)2n, 2Tn222523824(3n1)2n1, ,得Tn2232232332n(3n1)22(3n1)2n1,(43n)2n18, Tn8(3n4)2n1.,解答,思维升华,思维升华 (1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和,其中an为等差数列,bn为等比数列. (2)所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分求等比数列的和,此时一定要查清其项数. (3)为保证结果正确,可对得到的和取n1,2进行验证.,跟踪演练2 (2017江西省赣州市十四县(市)联考)等差数列an的前n项和为Sn,已知a27,a3为整数,且Sn的最大值为S5. (1)求an的通项公式;,解答,解 由a27,a3为整数知,等差数列an的公差d为整数. 又SnS5,故a50,a60,,因此d2, 数列an的通项公式为an112n(nN*).,(2)设bn ,求数列bn的前n项和Tn.,解答,热点三 裂项相消法求和 裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后,某些项可以相互抵消从而求和的方法,主要适用于 (其中an为等差数列)等形式的数列求和.,例3 (2017届湖南省郴州市质量检测)已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*),a33,且Snanan1,在等比数列bn中,b12,b3a151. (1)求数列an及bn的通项公式;,解答,思维升华,解 Snanan1,a33, a1a1a2,且(a1a2)a2a33a2, a2,a1a2a33, 数列an是等差数列, a1a32a2, 即2a2a13, 由得a11,a22, ann,2, b14,b316,则bn2n1或bn(2)n1(nN*).,思维升华 裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1,kN*)的形式,从而在求和时达到某些项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式,使之符合裂项相消的条件.,解答,思维升华,思维升华 常用的裂项公式,跟踪演练3 (2017吉林省吉林市普通高中调研)已知等差数列an的前n和为Sn,公差d0,且a3S542,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列an的通项公式;,解答,解 设数列an的首项为a1,因为等差数列an的前n和为Sn,a3S542,a1,a4,a13成等比数列.,又公差d0, 所以a13,d2, 所以ana1(n1)d2n1.,解答,则Tnb1b2b3bn,真题体验,1.(2017全国)等差数列an的前n项和为Sn,a33,S410,则 _.,答案,解析,1,2,解析 设等差数列an的公差为d,则,1,2,2.(2017天津)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2b312,b3a42a1,S1111b4. (1)求an和bn的通项公式;,1,2,解答,解 设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. 由已知b2b312,得b1(qq2)12,而b12, 所以q2q60. 又因为q0,解得q2,所以bn2n. 由b3a42a1,可得3da18, 由S1111b4,可得a15d16, 联立,解得a11,d3,由此可得an3n2. 所以数列an的通项公式为an3n2,数列bn的通项公式为bn2n.,1,2,(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*).,1,2,解答,解 设数列a2nb2n1的前n项和为Tn, 由a2n6n2,b2n124n1,得a2nb2n1(3n1)4n,故 Tn24542843(3n1)4n, 4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1, ,得3Tn2434234334n(3n1)4n1,(3n2)4n18,,1,2,押题预测,答案,解析,押题依据 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容,也是考试大纲中明确提出的知识点,年年在考,年年有变,变的是试题的外壳,即在题设的条件上有变革,有创新,但在变中有不变性,即解答问题的常用方法有规律可循.,1,2,1.已知数列an的通项公式为an ,其前n项和为Sn,若存在M Z,满足对任意的nN*,都有SnM恒成立,则M的最小值为_.,1,押题依据,1,2,2.已知数列an的前n项和Sn满足Sna(Snan1) (a为常数,且a0),且4a3是a1与2a2的等差中项. (1)求an的通项公式;,解答,押题依据 错位相减法求和是高考的重点和热点,本题先利用an,Sn的关系求an,也是高考出题的常见形式.,1,2,押题依据,解 当n1时,S1a(S1a11),所以a1a, 当n2时,Sna(Snan1), Sn1a(Sn1an11), ,1,2,故an是首项a1a,公比为a的等比数列, 所以anaan1an. 故a2a2,a3a3. 由4a3是a1与2a2的等差中项,可得8a3a12a2,,即8a3a2a2, 因为a0,整理得8a22a10,

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