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小车载着质量为 m 物体以加速度 a 沿着斜坡上行，如果要使物体在不捆扎的情况下也不致于掉下，则物体与小车接触面的摩擦系数至少应为多少？,m,a,解：,取物体为研究对象，受力如下图所示。,mg,FN,F,a,y,x,解得,P229题11-2,将动力学基本方程向水平和铅垂方向分别投影得：,因为,所以,粉碎机滚筒半径R=1.6m，绕过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在=0 =5440时(如图)才掉下来，求滚筒每分钟的转数 n。,P230题11-8,视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧向上运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。铁球上升过程中，受到重力mg、筒壁的法向反力FN和切向反力FT 的作用。,解：,将质点动力学基本方程 ma = F 沿法向投影得：,铁球离开筒壁前的速度等于筒壁上与其重合点的速度。即,对上两式联合求解得,当=0 =5440时，铁球将落下，这时FN = 0，于是得滚筒转速为：,N,3,P246题12-8,因沿 x 向无外力作用，所以系统沿 x 轴动量守恒，又因初始静止，故质心坐标 xC 保持常值 xC0 。,解：以系统为对象，单摆B的运动可用滑块A的坐标 x 和摆杆摆动的角度确定。,所以：,解得滑块A的初始位置和任意位置的横坐标 x0 和 x,则滑块A的位移为,P246题12-8 图示单摆B的支点固定在一可沿光滑水平直线轨道平移的滑块A上，设A、B 的质量分别为mA、mB，运动初始， x=x0 ， ， ， 。杆质量不计，求滑块A的位移(和单摆B的轨迹方程)。,单摆B的坐标为,消去，即得到单摆B的轨迹方程：,可见单摆B的运动轨迹是 x = xC0 , y = 0 为中心的椭圆，故也称椭圆摆。,另解：由质心运动守恒的推论得,或,则,置于光滑水平面上的电机质量为 P1，长为2l、质量为 P2的匀质杆的一端与电机转轴垂直固结，另一端固结一质量为 P3 的重物，电机转动的角速度为，求 (1)电机的水平运动规律。 (2)若电机外壳用螺栓固定在水平基础上，作用于螺栓的最大水平力为多少？,l,t,O1,O2,x,y,O,x,P3,P2,P1,O3,l,解：,1. 电机在水平方向的运动方程,因电机不固定，故Fix 0，即水平向质心运动守恒，又因系统初时静止，所以,由图知质心横坐标为：,以整个电机为研究对象，设 y 轴过系统质心,将质心运动定理,由此求得电机在水平方向对螺栓的最大作用力为,向 x 轴投影：,2. 电机在水平方向对螺栓的最大作用力：,P246题12-10,所以电机定子中心在水平方向的运动方程为：,故电机受水平作用力,设y轴过定子即电机的质心。,则系统质心坐标为,匀质滑轮重W 、半径为R，对转轴的回转半径为，一绳绕在滑轮上，另端系一重为P的物体 A ，滑轮上作用一不变的转矩M ，绳质量不计，求重物上升的加速度和绳的拉力。,v,O,W,P,a,P276题13-8,M,解：,设圆轮角速度和角加速度为 和 ，重物速度和加速度为 v 和 a 。,系统对轴O的动量矩,逆钟向,以整个系统为研究对象。,应用动量矩定理,其中,a = R,得,解得,所以重物上升的加速度大小为：,再以重物为研究对象：,由质点动力学基本方程：,所以：,A,P,a,T,系统外力对O点之矩为： MO=MPR,重物在绳拉力T 和重力P 的作用下加速度为 a，,A,该系统对O轴的转动惯量为,一半径为R、质量为m1的匀质圆盘与一长为l、质量为m2的匀质细杆相固连，以角速度在铅垂面内转动。试求该系统对O轴的转动惯量和动量矩。,O,C,l,解:,转向为顺时针。,P277题13-13,系统做定轴转动，该系统对O轴的动量矩为,行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时，求杆的角速度 (和角加速度及轮II边缘所受切向力F)。,P312题14-14,1.求杆的角速度,由运动学条件知：,主动力系的功为：W=M,由动能定理得,解：,A,B,M,r1,r2,所以,所以,2. 求杆的角加速度,以机构为研究对象，机构在水平面内的外力有力矩M和铰A处约束力,系统动能为：,则,(1)式两边对时间求导得：,2,3. 求轮II边缘所受切向力F,取轮II为研究对象，画受力图。,由对质心的动量矩定理得,因为轮II作纯滚动，故有,P312题14-14,A,B,M,r1,r2,2,P313题1425,均质杆OA可绕水平轴 O转动，另一端铰接一均质圆盘，圆盘可绕铰 A在铅直面内自由转动，如图所示。已知OA杆长 l，质量为m1；圆盘半径为 R，质量为m2。摩擦不计，初始时杆 OA 水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成 角的瞬时，杆的角速度和角加速度。,由题意知，杆定轴转动，盘作平面运动。未知量为铰反力各2个及杆和盘的角加速度共6个；动力学方程数目：杆及盘各3个，为静定问题。,盘仅受铰反力与重力作用，对盘应用相对质心动量矩定理,A=常量，即A=0,A0=0，故盘平动,将盘与杆一起应用动能定理 T =W 得:,0.5m2(l)2+0