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2.2 等差数列(一),1理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,深化认识并能运用,1如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做_数列,这个常数叫做等差数列的_,公差通常用字母d表示 答案:等差 公差 2若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫做a与b的_,并且A_.,自学导引,3若等差数列的首项为a1,公差为d,则其通项an_. 答案:a1(n1)d,自主探究,2如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系?,可见,等差数列的意义用符号语言表示,即a1a,anan1d(n2),其本质是等差数列的递推公式,1等差数列a2d,a,a2d,的通项公式是 ( ) Aana(n1)d Bana(n3)d Cana2(n2)d Dana2nd 解析:an(a2d)(n1)2da2(n2)d. 答案:C,预习测评,2ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则角B等于 ( ) A30 B60 C90 D120 答案:B 3等差数列1,3,5,7的通项公式是_ 解析:因为a11,公差d312, 所以其通项公式为an1(n1)2, 即an2n1. 答案:an2n1 43与15的等差中项是_ 解析:3与15的等差中项是9. 答案:9,1等差数列的定义 (1)一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示,要点阐释,特别提示:(1)注意定义中“同一常数”这一要求, 这一要求可理解为:每一项与前一项的差是常数且是同一常数,否则这个数列不能称为等差数列,(2)注意定义中“从第2项起”这一要求,这一要求可理解为:首先是因为首项没有“前一项”,其次是如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项起,每一项与前一项的差是同一个常数(即an1and,nN*,且n2),那么这个数列不是等差数列,但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列,2等差数列的通项公式 公式ana1(n1)d也可以用以下方法(累差法)导出:,将以上n1个等式两边分别相加,可得ana1(n1)d,移项得通项公式ana1(n1)d.“累差法”是推导给出形如an1anf(n)(nN*)递推公式的数列的通项公式的一种重要方法 由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以求出通项公式,反过来,在a1,d,n,an四个量中,只要知道其中任意三个量,就可以求出另一个量,3等差中项及等差数列的判定 判断一个数列为等差数列的常见方法有:,(3)等差中项经常作为数列题目中的题设或结论出现,所以要引起重视,题型一 等差数列的通项公式,典例剖析,方法点评:关于a1,an,n,d之间的运算称为基本量的运算,这是等差数列中最简单、最重要、必须熟练掌握的知识,1已知数列5,3,1,1,是等差数列,判断52,2n7(nN*)是否为该数列的某项?若是,是第几项?,解:根据所给数列,可得等差数列的通项公式为 an5(n1)22n7. 而2n72(n7)7(nN*),所以2n7是该数列的项,是第n7项,题型二 等差数列的判断 【例2】 已知a,b,c成等差数列,那么a2(bc),b2(ca),c2(ab)是否成等差数列? 证明:a,b,c成等差数列,ac2b, a2(bc)c2(ab)2b2(ca) a2cc2aab(a2b)bc(c2b) a2cc2a2abcac(ac2b)0, a2(bc)c2(ab)2b2(ca), a2(bc),b2(ca),c2(ab)成等差数列,方法点评:如果a,b,c成等差数列,常转化成ac2b的形式去运用;反之,如果求证a,b,c成等差数列,常改证ac2b.有时应用概念解题,需要运用一些等值变形技巧,才能获得成功,误区解密 对等差数列的定义理解不透彻,错因分析:以特殊代替一般,用验证几个特例作为证明是不正确的,必须用定义或与定义等价的命题来证明,纠错心得:要说明一个数列为等差数列,必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数,即anan1d(n2)恒成立,而不能只验证有限个相邻两项之差相等,公差是从第二项起,每一项减去它前一项的差,即danan1(n2),或dan1an(nN*); 要证明一个数列是等差数列,必须对任意nN*,an1and,或anan1
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