2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理课件理北师大版201805104137.ppt

4.6 正弦定理和余弦定理,第四章 三角函数、解三角形,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.正弦定理、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,知识梳理,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin Bsin C,2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况,3.三角形常用面积公式,(1)S aha(ha表示边a上的高)； (2)S absin C ； (3)S r(abc)(r为三角形内切圆半径).,1.三角形内角和定理 在ABC中，ABC；,【知识拓展】,2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；,3.三角形中的射影定理 在ABC中，abcos Cccos B； bacos Cccos A； cbcos Aacos B.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.( ) (3)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形.( ) (4)在ABC中， ( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_ .,答案,解析 由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B， 即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B， 即AB或AB ， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.,解析,角三角形,等腰三角形或直,1,2,3,4,5,6,3.在ABC中，A60，AC4，BC2 ，则ABC的面积为 .,解析,答案,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcos A，则ABC为 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形,答案,解析,解析 由已知得sin C0，cos B0，B为钝角， 故ABC为钝角三角形.,1,2,3,4,5,6,5.(2018桂林质检)在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定,解析,答案,1,2,3,4,5,6,角B不存在，即满足条件的三角形不存在.,6.(2018包头模拟)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c. 若bc2a,3sin A5sin B，则角C .,解析,答案,解析 由3sin A5sin B，得3a5b.又因为bc2a，,1,2,3,4,5,6,题型分类 深度剖析,1.(2016山东)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A等于,解析 在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A， bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)， cos Asin A，tan A1，,解析,答案,题型一 利用正、余弦定理解三角形,自主演练,2.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等于,解析 8b5c，由正弦定理，得8sin B5sin C. 又C2B，8sin B5sin 2B， 8sin B10sin Bcos B.,解析,答案,解析,答案,1,(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.,典例 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B. (1)证明：A2B；,证明 由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B， 于是sin Bsin(AB). 又A，B(0，)，故0AB， 所以B(AB)或BAB， 因此A(舍去)或A2B，所以A2B.,证明,题型二 和三角形面积有关的问题,师生共研,(2)若ABC的面积S ，求角A的大小.,解答,(1)对于面积公式 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,答案,解析,(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26， C ，则ABC的面积是 .,解析,答案,解析 c2(ab)26，c2a2b22ab6. ,由得ab60，即ab6.,命题点1 判断三角形的形状 典例 (1)在ABC中， 则ABC一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定,又0A，B，AB，ABC为等腰三角形.,解析,答案,题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用,多维探究,(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,解析 由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A， sin(BC)sin2A， 即sin(A)sin2A，sin Asin2A. A(0，)，sin A0，sin A1， 即A ，ABC为直角三角形.,解析,答案,1.本例(2)中，若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状.,解 2sin Acos Bsin Csin(AB)， 2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B， sin(AB)0. 又A，B为ABC的内角. AB，ABC为等腰三角形.,解答,2.本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状.,又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB， 故ABC为等边三角形.,解答,命题点2 求解几何计算问题 典例 (1)如图，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC 7，DC3，则AB .,解析,答案,解析 在ACD中，由余弦定理可得,(2)(2018吉林三校联考)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是 .,解析,答案,解析 如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE. 在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，,在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，,(1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系. 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论. (2)求解几何计算问题要注意： 根据已知的边角画出图形并在图中标示； 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.,跟踪训练 (1)(2018安徽六校联考)在ABC中， (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形,解析,答案,2a2a2c2b2， a2b2c2， ABC为直角三角形.,(1cos B)cac，,解析,答案,审题路线图,二审结论会转换,审题路线图,规范解答,审题路线图,规范解答,课时作业,1.(2017长沙模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a ，b3，A60，则边c等于 A.1 B.2 C.4 D.6,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 a2c2b22cbcos A， 13c292c3cos 60， 即c23c40，解得c4或c1(舍去).,解析,答案,2.在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A ，a2， b ，则B等于,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2017哈尔滨模拟)在ABC中，AB AC1，B30，ABC的面 积为 ，则C等于 A.30 B.45 C.60 D.75,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,sin A1， 由A(0，180)，A90，C60.故选C.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c2a，则cos B的值为,解析 因为sin A，sin B，sin C成等比数列， 所以sin2Bsin Asin C，由正弦定理得b2ac，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2016全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A ，cos C ，a1，则b .,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2018成都模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2 c2b2)tan B ac，则角B的值为 .,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B ， C ，则ABC的面积为 .,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018长春质检)E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF .,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，设AB6，则AEEFFB2. 因为ABC为等腰直角三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018珠海模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A. (1)证明：sin Bcos A；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,a2Rsin A，b2Rsin B，代入abtan A得,(2)若sin Csin Acos B ，且B为钝角，求A，B，C.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 (1)求sin Bsin C；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由余弦定理，得b2c2bc9，,技能提升练,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由正弦定理，得sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C， sin(AB)sin C2sin Ccos C，,c2a2b22abcos C416812，,14.(2018大理模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B bcos A.若a4，则ABC周长的最大值为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12,由余弦定理得a216b2c22bccos A,则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)， ABC周长abc4bc12，即最大值为12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.在ABC中，若AB4，AC7，BC边的中线AD ，则BC .,拓展冲刺练,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9,解析 如图所示，延长AD到E，使DEAD，连接BE，EC. 因为AD是BC边上的中线，所以AE与BC互相平分， 所以四边形ACEB是平行四边形，所以BEAC7. 又AB4，AE2AD7， 所以在ABE中，由余弦定理得， AE249AB2BE22ABBEcosABE AB2AC22ABACcosABE. 在ABC中，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos(ABE)， 49BC22(AB2AC2)2(1649)， BC281，BC9.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2018贵阳质检)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c