江苏专用2018版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值课件文苏教版.pptx

2.2 函数的单调性与最值,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,知识梳理,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间I上是 或 ，那么就说函数yf(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做yf(x)的单调区间.,单调增函数,单调减函数,2.函数的最值,f(x)f(x0),f(x)f(x0),函数单调性的常用结论,(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数. ( ) (2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，). ( ) (3)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).( ) (4)所有的单调函数都有最值.( ),(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( ) (6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( ),考点自测,1.(教材改编)下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是_.(填序号) y ； y2x1； y1x； y(2x1)2.,y 在(0，2)上为减函数； y2x1在(0，2)上为增函数； y1x在(0，2)上为减函数； y(2x1)2在(， )上为减函数，在( ，)上为增函数.,答案,解析,2.(教材改编)函数y 的单调增区间为_；单调减区间 为_.,当x0时，yx为增函数； 当x0时，yx2为减函数.,答案,解析,0，),(，0),几何画板展示,3.(教材改编)已知函数f(x)x22ax3在区间1，2上是增函数，则实数a的取值范围为_.,函数f(x)x22ax3的图象开口向上， 对称轴为直线xa， 画出草图如图所示. 由图象可知函数f(x)的单调递增区间是a，)， 由1，2a，)，可得a1.,答案,解析,(，1,4.(2016盐城模拟)函数yx22x3(x0)的单调增区间为_.,函数的对称轴为x1， 又x0， 所以函数f(x)的单调增区间为(0，).,答案,解析,(0，),几何画板展示,5.(教材改编)已知函数f(x) ，x2，6，则f(x)的最大值为_， 最小值为_.,答案,解析,2,题型分类 深度剖析,题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性 例1 (1)(2016连云港模拟)函数f(x) (x24)的单调递增区间是 _.,因为y t，t0在定义域上是减函数， 所以求原函数的单调递增区间， 即求函数tx24的单调递减区间， 结合函数的定义域，可知所求区间为(，2).,答案,解析,(，2),(2)yx22|x|3的单调增区间为_.,由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24； 当x0时，yx22x3(x1)24， 二次函数的图象如图. 由图象可知，函数yx22|x|3在(，1，0，1上是增函数.,答案,解析,(，1，0，1,命题点2 解析式含参数的函数的单调性 例2 已知函数f(x) (a0)，用定义法判断函数f(x)在(1，1)上的 单调性.,解答,设1x1x21，,1x1x21，,又a0，f(x1)f(x2)0， 函数f(x)在(1，1)上为减函数.,几何画板展示,引申探究 如何用导数法求解例2？,解答,a0，f(x)0在(1，1)上恒成立， 故函数f(x)在(1，1)上为减函数.,确定函数单调性的方法 (1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法； (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”； (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接.,思维升华,跟踪训练1 (1)已知函数f(x) ，则该函数的单调递增区间为_.,设tx22x3，则t0，即x22x30， 解得x1或x3. 所以函数的定义域为(，13，). 因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1， 所以函数t在(，1上单调递减， 在3，)上单调递增. 所以函数f(x)的单调递增区间为3，).,答案,解析,3，),(2)函数f(x)(3x2)ex的单调递增区间是_.,(3，1),答案,解析,f(x)2xexex(3x2)ex(x22x3)ex(x3)(x1). 当30， 所以函数y(3x2)ex的单调递增区间是(3,1).,题型二 函数的最值 例3 (1)函数f(x) 的最大值为_.,当x1时，函数f(x) 为减函数， 所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1； 当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2. 故函数f(x)的最大值为2.,答案,解析,2,又x1，)，,解答,几何画板展示,若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.,f(x)x 2，x1，). () 当a0时，f(x)在1，)内为增函数. 最小值为f(1)a3. 要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，所以30，a3，所以0a1. 综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，,解答,因为x1，)，所以f(x)0，,所以f(x)minf(1)a3，,a的取值范围是(3，1.,求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.,思维升华,跟踪训练2 (1)函数yx 的最小值为_.,易知函数yx 在1，)上为增函数， x1时，ymin1.(本题也可用换元法求解),答案,解析,1,(2)函数f(x) (x1)的最小值为_.,答案,解析,8,方法一 (基本不等式法),令f(x)0，得x4或x2(舍去).,当14时，f(x)0， f(x)在(4，)上是递增的， 所以f(x)在x4处取到极小值也是最小值， 即f(x)minf(4)8.,题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小 例4 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af( )，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为_.,根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称， 且在(1，)上是减函数，,答案,解析,bac,命题点2 解函数不等式 例5 (2017苏州月考)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上递增，且 f( )0，则 满足 0的x的集合为_.,答案,解析,命题点3 求参数范围 例6 (1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实 数a的取值范围是_.,当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的， 故在(，4)上单调递增； 当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x ， 因为f(x)在(，4)上单调递增，,答案,解析,几何画板展示,答案,解析,由已知条件得f(x)为增函数，,几何画板展示,函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.,思维升华,(3)利用单调性求参数. 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； 需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.,跟踪训练3 (1)(2016徐州模拟)已知函数f(x)x(ex )，若f(x1)x2； x1x20； x1x2； ,f(x)x( ex)f(x)，,答案,解析,f(x)在R上为偶函数，,当x0时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数， 由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，,(2)(2016宿迁模拟)要使函数y 与ylog3(x2)在(3，)上具有相 同的单调性，则实数k的取值范围是_.,由于ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数， 故函数ylog3(x2)在(3，)上是增函数. 因其在(3，)上是增函数，故4k0，得k4.,答案,解析,(，4),典例 (14分)函数f(x)对任意的m，nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.,(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小. (2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.,思维点拨,解抽象函数不等式,答题模板系列1,规范解答,答题模板,(1)证明 设x1，x2R且x10， 当x0时，f(x)1，f(x2x1)1. 3分 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1， 5分 f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)， f(x)在R上为增函数. 7分 (2)解 m，nR，不妨设mn1， f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1， 9分 f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，,f(1)2，f(a2a5)2f(1)， 11分 f(x)在R上为增函数， a2a513a2， 即a(3，2). 14分,返回,解函数不等式问题的一般步骤 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.(2016南京模拟)下列函数中，在区间(1，)上是增函数的是_. yx1； y ； y(x1)2； y31x.,中，函数在(1，)上为减函数， 中，函数在(1，)上为减函数， 中，函数在(1，)上为减函数.,答案,解析,2.(2016无锡二模)已知函数f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，则a的取值范围是_.,因为函数f(x)在(，a)上是单调函数， 所以a1，解得a1.,答案,解析,(，1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于_.,由已知得，当2x1时，f(x)x2， 当1x2时，f(x)x32. f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数， f(x)的最大值为f(2)2326.,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.已知f(x) 是R上的单调递增函数，则实数a的取值 范围是_.,答案,解析,4，8),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.(2016兰州模拟)已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该 区间上单调递增，则满足f(2x1)f( )的x的取值范围是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.已知函数ylog2(ax1)在(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是_.,要使ylog2(ax1)在(1，2)上单调递增， 则a0且a10，a1.,答案,解析,1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.函数f(x) xlog2(x2)在区间1，1上的最大值为_.,由于y x在R上递减，ylog2(x2)在1，1上递增， 所以f(x)在1，1上单调递减， 故f(x)在1，1上的最大值为f(1)3.,答案,解析,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.(2017江苏天一中学月考)对a，bR，记maxa，b 函数f(x) max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*10.(2016连云港调研)已知a0且a1，设函数f(x) 的 最大值为1，则a的取值范围为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,f(x)在(，3上是增函数，则f(x)max1. f(x)在R上的最大值为1，,11.(2016江苏新海中学期中)已知函数f(x)4x24ax4aa2(a0)在区 间0，1内有一个最大值5，则a的值为_.,答案,解析,ymaxf(1)4a2.,令4a25，a12(舍去).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.(2016江苏泰州中学月考)已知t为常数，函数y|x22xt|在区间0，3上的最大值为2，则t_.,二次函数yx22xt图象的对称轴为x1， 函数y|x22xt|的图象是将二次函数yx22xt的图象在x轴下方的部分翻到x轴上方(x轴上方部分不变)得到的. 由区间0，3上的最大值为2，知ymaxf(3)|3t|2，解得t1或5； 检验t5时，f(0)52不符，而t1时满足题意.,答案,解析,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,13.已知f(x)是定义在(0，)上的减函数，且满足f(x)f(y)f(xy). (1)求证：f(x)f(y)f( )；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7