线性代数之第1章.行列式.ppt

第1章 行列式,2,第1章 行列式,n阶行列式的定义及性质 n阶行列式的计算 克拉默(Cramer)法则,3,1.1 n阶行列式的定义及性质,二阶行列式,4,1.1 n阶行列式的定义及性质,二阶行列式 我们把D称为二阶行列式,5,1.1 n阶行列式的定义及性质,三阶行列式 对于由9个元素aij排成的三行三列的式子，定义 并称D为三阶行列式。,6,1.1 n阶行列式的定义及性质,三阶行列式 沙路法,7,1.1 n阶行列式的定义及性质,三阶行列式 当系数行列式,8,1.1 n阶行列式的定义及性质,三阶行列式 用消元法可以求得,9,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的定义 当n3时，如果按照沙路法的方式定义，行列式与二、三阶行列式没有统一的运算性质，而且对于n元线性方程也得不到类似的求解公式，因此对于一般的n阶行列式要用另外的方法来定义。 在代数中，可以用三种不同的方法来定义行列式(Determinant)： 1）递归法 2）逆序法 3）公理化法,10,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的定义 从二、三阶行列式的展开式中，我可以发现一个共同的规律：可以按第一行展开，即,11,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的定义,12,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的定义 M1j是D中去掉第1行第j列全部元素后，按原顺序排成的n-1阶行列式，即,13,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的定义,14,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的定义 n阶行列式这个算式是由n2个元素构成的n次齐次多项式（称作展开式）： 1）行列式的展开式中共有n!项， 2）其中每一项都是不同行不同列的n个元素的乘积， 3）在全部n!项中，带正号和带负号的项各占一半。,15,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的定义 例1：证明n阶下三角行列式（当ij时，aij=0，即主对角线以上元素全为0）,16,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的定义 证：按n阶行列式公式逐步展开,17,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的定义 例2：计算n阶行列式（副对角线以上元素全为0）,18,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的定义 解：,19,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的性质 性质1：行列式的行与列（按顺序）互换，其值不变,20,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的性质 性质2：行列式对任意一行按下式展开，其值相等,21,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的性质 性质3：线性性质,22,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的性质 性质3：线性性质,23,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的性质 推论1：某行元素全为0的行列式其值为0,24,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的性质 性质4：行列式中两行对应元素全相等，其值为0，即当ail=ajl (ij, l=1,2,.,n)时，有,25,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的性质 推论2：行列式中两行对应元素成比例（即ail=kajl (ij, l=1,2,.,n)时，其值为0,26,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的性质 性质5：在行列式中，把某行各元素分别乘非0常数k，再加到另一行的对应元素上，行列式的值不变（简称：对行列式做倍加行变换，其值不变），即,27,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的性质 性质6（反对称性质）：行列式的两行对换，行列式的值反号,28,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的性质 性质7：行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于0，即,29,1.1 n阶行列式的定义及性质,n阶行列式的性质 我们可以将行列式的定义、性质2和性质7统一起来，写成： 其中,30,1.2 n阶行列式的计算,主要方法 1）化为上三角行列式 2）降阶计算,31,1.2 n阶行列式的计算,例题 例1：对于上三角行列式（当ij时，aij=0），有,32,1.2 n阶行列式的计算,例题 例2：计算4阶行列式,33,1.2 n阶行列式的计算,例题 解：对行列式做倍加行变换和两行对换，将其化为上三角行列式：,34,1.2 n阶行列式的计算,例题 例3：计算4阶行列式,35,1.2 n阶行列式的计算,例题 解：利用倍加行变换把行列式某行（列）元素化为只剩下一个非零元素，然后把行列式按该行（列）展开，从而降阶计算。,36,1.2 n阶行列式的计算,例题 例4：如果行列式D的元素满足aij=-aji (i,j=1,2,.,n)，就称D是反对称行列式（其中aij=-aji aii =0）。 证明奇数阶反对称行列式的值为0。,37,1.2 n阶行列式的计算,例题 证：,38,1.2 n阶行列式的计算,例题 例5：证明,39,1.2 n阶行列式的计算,例题 证：方法1,40,1.2 n阶行列式的计算,例题 证：方法2,41,1.2 n阶行列式的计算,例题 例6：计算n阶行列式,42,1.2 n阶行列式的计算,例题 解：注意到该行列式每行元素之和相等，可以把各列都加到第1列，然后提取公因子，再将第1行乘-1分别加到其余各行，就化为上三角行列式：,43,1.2 n阶行列式的计算,例题 例7：如果xyz0，计算三阶行列式,44,1.2 n阶行列式的计算,例题 解：方法一,45,1.2 n阶行列式的计算,例题 解：方法二,46,1.2 n阶行列式的计算,例题 例8：证明范德蒙 (Vandermonde)行列式,47,1.2 n阶行列式的计算,例题 证：从第n行起，依次将前行乘-x1加到后一行，得 按第1列展开，并提取公因子，得,48,1.2 n阶行列式的计算,例题 证：重复类似的步骤，从第n行起，依次将前行乘-xi (i=2,3,.,n)加到后一行，得,49,1.2 n阶行列式的计算,例题 例9：证明,50,1.2 n阶行列式的计算,例题 证：记 对|A|的阶数k作数学归纳法。 1）当k=1时，对D的第一行展开得D= a11|B|=|a11|B|，结论成立； 2）假设|A|为k-1阶时结论成立； 3）当|A|为k阶时,51,1.2 n阶行列式的计算,例题 命题得证。,52,1.2 n阶行列式的计算,例题 实际上D可以简记为分块行列式 其结果可以将|A|所在的列依次与其前面的m列逐列对换（共对换km次）得到分块下三角行列式。,53,1.2 n阶行列式的计算,例题 例10：求解方程D(x)=0的根，其中,54,1.2 n阶行列式的计算,例题 解：将第1列乘-1加到2、3、4列；再将变换后的第2列加到第4列 所以方程有两个根：0与-1。,55,1.2 n阶行列式的计算,例题 例11：计算n阶三对角行列式,56,1.2 n阶行列式的计算,例题 解：把D按第1行展开，再将第2项中的行列式对第1列展开得,57,1.2 n阶行列式的计算,例题 将上式改写成 其中 记 则,58,1.2 n阶行列式的计算,例题 由递推公式得 即 将 带入上式，得 即,59,1.2 n阶行列式的计算,例题 由递推公式得,60,1.2 n阶行列式的计算,例题 例如，当a=3,b=2,c=1时，可以计算出k=1,l=2，或者k=2,l=1，此时,61,1.3 克拉默(Cramer)法则,克拉默(Cramer)法则 n个未知变量n个线性方程组，在系数行列式不等于0时的行列式解法，通常称为克拉默(Cramer)法则。,62,1.3 克拉默(Cramer)法则,克拉默(Cramer)法则 定理（克拉默法则）：设线性非齐次方程组 或简记为 当其系数行列式,63,1.3 克拉默(Cramer)法则,克拉默(Cramer)法则 方程有唯一解,64,1.3 克拉默(Cramer)法则,克拉默(Cramer)法则的证明 证明：1）先证xj是方程的解，将xj带入方程左边，得 固xj是方程的解。,65,1.3 克拉默(Cramer)法则,克拉默(Cramer)法则的证明 2）再证方程组的解也必是如xj所示，设c1,c2,.,cn是一组解，则 将上面n个等式两端分别乘以A1j, A2j,., Anj ，得,66,1.3 克拉默(Cramer)法则,克拉默(Cramer)法则的证明 然后再将这n个等式的两端相加，得,67,1.3 克拉默(Cramer)法则,克拉默(Cramer)法则的证明 得证。,68,1.3 克拉默(Cramer)法则,克拉默(Cramer)法则的推论 推论：若齐次线性方程组,69,1.3 克拉默(Cramer)法则,克拉默(Cramer)法则的意义 用克拉默法则求解系数行列式不等于0的n元非齐次线性方程组，需要计算n+1个行列式，它的计算工作量很大。实际上关于数字系数的线性方程组一般都是用高斯消元法来求解。 克拉默法则主要是在理论上具有重要的意义，特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系。,70,1.3 克拉默(C