n维向量,向量间的线性关系.ppt

,3.2 向量间的线性关系,3.3 向量组的秩,3.1. n维向量,3.4 向量空间,第 3 章 向量与向量空间,3.1 n维向量,3.1.1 n维向量的定义 3.1.2 n维向量的运算,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,例如：,2 n维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：,分量全为零的向量 称为零向量。,由定义可知，两个向量只有维数相同时才有相等 或不相等的概念，换句话说维数不同的两个向量是不 能进行比较的。例如，维数不同的两个零向量是不相 等的。,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.,由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,3、向量、向量组与矩阵,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,3.1.2 n 维向量的运算,向量相等：如果 n 维向量,的对应分量都相等，即,就称这两个向量相等，记为,向量加法：向量,称为向量,的和，记为,3.1.2 n 维向量的运算,向量加法：向量,称为向量,的和，记为,负向量：向量,称为向量 的负向量,向量减法：,注意：两个向量只有维数相同时，才能进行加法和减法运算！,数乘向量：设 k 是一个数，向量,称为向量,与数 k 的数量乘积。,向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算。,记为,显然，向量的加法与数乘去处是矩阵的加法与数乘运算的特例。因此向量的两种运算满足以下去处规律。,向量的运算律：,向量的运算律：,注意：两个向量只有维数相同时，才能进行加法和减法运算！,3.2 向量间的线性关系,3.2.1 线性组合与线性表示 3.2.2 线性相关与线性无关,定义1,3.2.1 线性组合与线性表示,向量之间除了运算关系还存在着各种关系，其中最主要的关系是向量组的线性相关与线性无关。,定义2,3.2.1 线性组合与线性表示,向量之间除了运算关系还存在着各种关系，其中最主要的关系是向量组的线性相关与线性无关。,叫做 n 维单位坐标向量。,由此可见,有的向量可由某一向量组线性表示，而有的则不行.那么如何判断一个向量能否由某一个向量组线性表示呢?,关于向量的线性表示，有以下明显的事实：,由此可见,有的向量可由某一向量组线性表示，而有的则不行.那么如何判断一个向量能否由某一个向量组线性表示呢?,关于向量的线性表示，有以下明显的事实: 课本P80,解： 因为,解： 因为,解： 因为,解： 因为,例 判断向量1=(4,3,-1,11)与2=(4,3,0,11)是否各为向量组a1=(1, 2, -1, 5), a2=(2, -1, 1, 1)的线性组合. 若是, 写出表达式.,因此b1可由a1,a2线性表示, 且由上面的初等变换可知k1=2, k2=1使b1=2a1+a2.,定义 3,1、线性相关的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,3.2.2 线性相关与线性无关,注