《代数系统一般性质》PPT课件.ppt

第3篇 代数系统,在普通代数里，计算的对象是数（自然数、实数、多项式、矩阵、命题、集合乃至图），计算的方法是运算（加、减、乘、除、与、或、非、并、交、差、补），然后讨论这些对象及其运算的相关性质。它们中不无雷同之处。如：数与多项式对于代数运算有相当一致的特性；命题对于与、或、非运算和集合对于交、并、补运算甚至可以做统一的描述。这就使人们自然地想到可以做进一步抽象的研究：不管对象集合的具体特性，也不管对象集合上运算的具体意义，主要讨论数学结构的一般特性，并按运算所遵循的一般定律（如结合律、交换律、分配律等）和特性，对这些数学结构进行分类研究。 在19世纪，一些数学家对这些事物及其运算的共同内容进行概括和综合研究，发现它们有着统一的形式：它们都是由集合和其上的运算所组成的系统。称这样的系统为代数系统。 代数系统是一种数学结构，它由集合、关系、运算、公理、定理、定义和算法组成。它采用抽象的手法，研究将要处理的数学对象集合上的关系或运算。事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称为代数结构。,代数的概念和方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。众所周知，在各种数学问题及许多实际问题的研究中都离不开数学模型，要构造一个现象或过程的数学模型，就需要某种数学结构，而代数结构就是最常用的数学结构之一。如描述机器可计算的函数、研究算数计算的复杂性、刻划抽象数据结构、程序设计语言的语义学基础、逻辑电路设计和编码理论等，都需要代数知识。因此有必要掌握它的重要概念和基本方法。 在现实生活中抽象出来的代数系统是满足某些固有性质的代数系统，对于具有某些性质的代数系统，没有必要分散地、个别地进行讨论，完全可以对具有相同性质的代数系统进行集中研究。利用这种方法来研究代数系统可以形成很多特定的代数系统，它们构成了代数系统的各个分支，如半群、群、环、域、格、布尔代数等。 在本篇中，首先将介绍代数系统的基本概念、代数系统的基本运算和性质及其同态和同构。在此基础上对典型的代数系统进行讨论，如半群、群、环、域、格、布尔代数等。,第六章 代数系统一般性质,在前面的章节中已经给出了集合和函数的概念，使用这些概念可以定义集合上的运算。一般来说，集合和它上面的运算都遵从某些规律算律，这就构成了代数系统。 本章主要介绍代数系统中的一些基本概念，如子代数、同态、同余、商代数与积代数等，以便对各种代数系统的共性有所了解。,第六章 代数系统一般性质,6.1 二元运算及其性质 6.2 代数系统的定义 6.3 代数系统的同态与同构 6.4 同余关系与商代数,6.1 二元运算及其性质,6.1.1 二元运算 6.1.2 二元运算律 6.1.3 二元运算特殊元 6.1.4二元运算实例,6.1.1 二元运算,二元运算是最常见的代数运算。 定义6.1.1 设S为集合，函数 f：SSS称为S上的一个二元运算，简称为二元运算。 例如， f：NNN，f() = x+y 就是自然数集合上的一个二元运算，即普通的加法运算。 但是普通的减法不是自然数集合上的二元运算，因为两个自然数相减可能得负数，而负数不属于N。这时也称集合N对减法运算不封闭。 验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： （1） S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算结果是唯一的； （2） S中任何两个元素的运算结果都属于S ，即S对该运算是封闭的。,类似于二元运算，对于任意的正整数 n 可以定义集合S上的 n 元运算。 定义6.1.2 设 S为集合，n为正整数，则函数 称为S上的一个 n 元运算，简称为 n 元运算。 例如，求一个数的相反数是实数集 R 上的一元运算，求一个数的倒数是 上的一元运算。在空间直角坐标系中求某一点 (x, y, z) 的坐标在 x 轴上的投影可以看作是实数集R上的三元运算，因为参加运算的是有序的三个实数，而结果也是实数。,对于有穷集 S 上的一元和二元运算，除了可以使用函数 f 的表达式给出以外，还可以用运算表给出。表6.1.1和表6.1.2所列是一元运算表和二元运算表的一般形式，其中 是 S 中的元素， 为算符。 表6.1.1 一元运算表一般形式 表6.1.2 二元运算表一般形式,6.1二元运算及其性质,6.1.1 二元运算 6.1.2 二元运算律 6.1.3 二元运算特殊元 6.1.4二元运算实例,定义6.1.3 设 为 S 上的二元运算，如果对任意的 x, y S，都有 x y = y x 则称 运算在 S 上是可交换的，或者说 在 S 上满足交换律。 例如，实数集合上的加法和乘法都是可交换的，但减法不是可交换的。幂集上的、 都是可交换的，但相对补不是可交换的。 n 阶（n2）实矩阵集合 上的矩阵加法是可交换的，但矩阵乘法不是可交换的。 上函数的复合运算不是可交换的，因为一般地 f g g f 定义6.1.4 设 为 S 上的二元运算，如果对任意的x, y, zS都有 (x y ) z = x (y z) 则称运算 在 S 上是可结合的，或者说 在 S 上满足结合律。 普通的加法和乘法在N、Z、Q、R上都是可结合的。矩阵的加法和乘法也是可结合的，集合的 、 运算也是可结合，还有函数的复合运算也是可结合的。,定义6.1.5 设 为 S 上的二元运算，如果对于xS有 x x = x 则称 x 为运算 的幂等元。若 S 中的任意元素都是运算 的幂等元，则称 S 对运算 满足幂等律。 例如，幂集 上的和运算适合幂等律，但对称差运算不适合幂等律（除非 ）。因为对任意集合A，如果A，则 ，只有空集满足 ，可以说运算 不适合幂等律，但是运算 的幂等元。 定义6.1.6 设 和 * 为 S 上的两个二元运算，如果对任意的 x, y, zS都有 则称运算 *对 是可分配的，也可以说 * 对 满足分配律。 例如，在实数集上普通乘法对加法是可分配的，在 n 阶实矩阵集合 上矩阵乘法对矩阵加法是可分配的。而在幂集 上 和运算是互相可分配的。 在讲到分配律时应指明哪个运算对哪个运算可分配，因为往往一个运算对另一个运算可分配，但反之不对。例如，普通乘法对加法可分配，但普通加法对乘法不是可分配的。,使用归纳法不难证明，若 * 对 运算分配律成立，则 * 对 运算广义分配律也成立，即 有 成立。 定义6.1.7 设 和 * 为 S 上的两个二元运算，如果对任意的 x, yS都有 则称运算 * 和 满足吸收律。 例如，在幂集 上和是满足吸收律的，即 有,6.1二元运算及其性质,6.1.1 二元运算 6.1.2 二元运算律 6.1.3 二元运算特殊元 6.1.4二元运算实例,定义6.1.8 设 为 S 上的二元运算，如果存在 （或 ）S 使得对任何 xS 都有 （或 ） 则称 （或 ）是 S上关于 运算的一个左幺元（或右幺元）。若eS关于 既是左幺元又是右幺元，则称 e 为 S 上关于 运算的幺元。 在自然数集 N 上加法的幺元是0，乘法的幺元是1。在 上，全 0 的 n 阶矩阵是关于矩阵加法的幺元，而 n 阶单位矩阵是关于矩阵乘法的幺元。在幂集 上运算的幺元是，运算的幺元是 S。 对于给定的集合和运算有的存在幺元，有的不存在幺元。例如， 是非零实数集， 是 上的二元运算，任取 ，有 a b = a 那么不存在 使得对所有的 ，都有 所以运算 没有左幺元。但对任意的 ，对所有的 ，都有 b a = b 所以任意 的元素 a 都是运算 的右幺元。 中有无数多个右幺元，但是没有幺元。,定理6.1.1 设 为 S 上的二元运算， 、 分别是运算 的左幺元和右幺元，则有 且 e 为 S 上关于 运算的唯一的幺元。 证明： （ 为右幺元） （ 为左幺元） 所以 。 把 记作 e 。假设 S 中存在幺元 e，则有 e= e e = e 所以 e 是 S 上关于 运算的唯一的幺元。,定义6.1.9 设 为S上的二元运算，如果存在 （或 ）S使得对任何xS，都有 (或 ） 则称 （或 ）是S上关于 运算的一个左零元（或右零元）。若 S关于 既是左零元又是右零元，则称 为S上关于运算 的零元。 例如，自然数集合上普通乘法的零元是0，而加法没有零元。 上矩阵乘法的零元是全0的 n 阶矩阵，而矩阵加法没有零元。在幂集 上运算的零元是S，运算的零元是。 在 上定义二元运算 ，使得对任意 满足 a b = a 那么 的任何元素都是关于 运算的左零元， 中没有右零元，也没有零元。,定理6.1.2 设 为 S 上的二元运算， 、 分别是运算 的左零元和右零元，则有 且 为 S 上关于 运算的唯一零元。 关于零元和幺元还有以下的定理。 定理6.1.3 设 为 S 上的二元运算， e 和 分别是 运算的幺元和零元，如果 S 至少有两个元素，则 e 。 证明：用反证法。 假设e =，则 ，有 这与 S 中至少含有两个元素矛盾。,定义6.1.10 设 为 S 上的二元运算，eS为运算 的幺元，对于xS，如果存在 （或 ）使得 （或 ） 则称 （或 ）是 x 的左逆元（或右逆元）。若 yS既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y 为 x 的逆元。 例如，自然数集 N 关于加法运算只有 0N 有逆元0，其他的自然数都没有加法逆元。在整数集 Z 中，加法幺元为0，对任何整数 x，它的加法逆元都存在，即它的相反数 - x。因为 x +(- x) = 0, (- x) + x = 0 在 n 阶（ n 2）实矩阵集合 上，对于矩阵乘法只有可逆矩阵 存在逆元 ，使得 和 成立，其中 E为n 阶单位矩阵。而在幂集 上运算的幺元是，所以只有有逆元，就是它自己，其他的元素都没有逆元。类似地，对于运算，S为幺元，也只有 S 有逆元，即 S 自己，其他元素都没有逆元。,定理6.1.4 设 为 S 上可结合的二元运算， 是该运算的幺元，对于 ，如果存在左逆元 和右逆元 ，则有 且 y 是 x 的唯一的逆元。 证明：由 和 ，得 令 ， y 是 x 的逆元。假若 也是 x 的逆元，则 所以 y 是 x 的唯一的逆元。 由定理6.1.4可知，对于可结合的二元运算来说，可逆的元素 x 只有唯一的逆元，通常把它记作 。,定义6.1.11 设 为S上的二元运算，如果对于任意的 x, y, zS满足以下条件：（1）若 x y = x z且 x ，则 y = z，此时称 S 对 满足左消去律。（2）若 y x = z x且 x ，则 y = z，此时称 S 对 满足右消去律。若 S 对 既满足左消去律又满足右消去律，则称 S 对 满足消去律。 例如，在整数集合上加法是满足消去律的。因为对任意的整数x, y, z由 x + y = x + z 或 y + x = z + x 可得 y = z 消去了 x。类似地，对乘法也有消去律。但在幂集 上，取 ，由AB = AC不一定能得到B = C，所以运算不满足消去律。但是对称差运算 满足消去律。 在使用消去律时要注意，消去的元素不能是该运算的零元。例如普通乘法满足消去律，但是不能由 得到 5 = 6，因为0是乘法的零元。,6.1二元运算及其性质,6.1.1 二元运算 6.1.2 二元运算律 6.1.3 二元运算特殊元 6.1.4二元运算实例,第六章 代数系统一般性质,6.1 二元运算及其性质 6.2 代数系统的定义 6.3 代数系统的同态与同构 6.4 同余关系与商代数,定义6.2.1 非空集合S和S上k个运算 f1, f2, , fk（其中fi为n i元运算，i=1,2, , k）组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作 。称S为该代数系统的定义域。若S为有穷集，则称为有限代数系统，并称|S |为该代数系统的阶。 例如， 都是代数系统，其中+为普通加法， 为普通乘法。 是代数系统，其中+和 分别表示矩阵加法和矩阵乘法。 也是代数系统，它包含两个二元运算和一个一元运算。,在某些代数系统中，对于给定的二元运算存在幺元或零元，并且它们对该系统的性质起着重要作用，称之为该系统的特异元素或代数常数。 为了强调这些特异元素的存在，有时把它们列到有关的代数系统的表达式中。 例如， 的幺元是0，也可以记为 。 中和的幺元分别为、S，同样可以记为 。具体采用那一种记法要看所研究的问题是否与这些代数常数有关。,定义6.2.2 设V= 是代数系统，BS，且B。如果 B对f1, f2, , fk都是封闭的，则称是V 的子代数系统，简称子代数。 特别地，当B是S 的真子集，则称是V 的真子代数系统，简称真子代数。 例如，是 的真子代数，因为N 对加法封闭。且N是Z的真子集。 对任何代数系统V= ，其子代数一定存在。最大的子代数就是 V 本身。如果令V 中所有的代数常数构成的集合是B，且B对V 中所有的运算都是封闭的，那么B 就构成了V 的最小的子代数。这种最大与最小的子代数称为V 的平凡子代数。,定义6.2.3 设V1=，V2= 是代数系统， 和*为二元运算。V1和V2的积代数V1V2是含有一个二元运算的代数系统，即V1V2 = ，其中S= S1S2，且对任意的, S1S2有 = 例如，设V1=，V2=，其中+和 分别表示整数加法和矩阵乘法。那么V1V2是 V1V2= 对任意的， ZM3(R)，都有 = 例如,类似地，可以定义3个代数系统的积代数。 例如， ，那么有： 并且对任意的 有 不难证明，如果 和 中的二元运算都是可交换的（可结合的或幂等的），则积代数中相应的二元运算也是可交换的（可结合的或幂等的）。如果 、 分别为 和 的幺元，那么 就是积代数 的幺元。如果 在 中的逆元为 ， 在 中的逆元为 ，那么在积代数 中， 就是 的逆元。,第六章 代数系统一般性质,6.1 二元运算及其性质 6.2 代数系统的定义 6.3 代数系统的同态与同构 6.4 同余关系与商代数,6.3代数系统的同态与同构,同态是近世代数中最基本的，也是最重要的概念之一。代数系统的同态与同构就是在两个代数系统之间存在着一种特殊的映射。它是研究两个代数系统之间关系的强有力的工具。借助同态，可以把两个似乎完全不同的代数系统加以比较，并进而找出它们本质上的一致性。,6.3代数系统的同态与同构,6.3.1 同态与同构 6.3.2 同态与同构实例 6.3.3 同态与同构的性质,定义6.3.1 设 ， 是代数系统， 和 为二元运算。如果存在映射 满足对任意的 有 则称 是 到 的同态映射，简称同态。 例如， ， ，其中+为普通加法， 为模 加法。即 有 这里 。令 则 是 到 的同态。因为对任意 有 又比如令 ， ，那么 是 到 的同态，因为对任意的 ，下式成立：,定义6.3.2 设是 到 的同态，则称 是 在 下的同态像。 定义6.3.3 设是 到 的同态， （1）如果是满射的，则称是 到 的满同态，记作 。 （2）如果是单射的，则称是 到 的单同态。 （3）如果是双射的，则称是 到 的同构映射，记作 ，并称 和 是同构的。 （4）如果 ，则称是 到 的自同态。 （5）如果 ，且 是双射的，则称是 到 的自同构。,6.3代数系统的同态与同构,6.3.1 同态与同构 6.3.2 同态与同构实例 6.3.3 同态与同构的性质,定义6.3.1的同态概念可以推广到一般的代数系统中。先考虑具有两个二元运算的代数系统。 设 ， 是代数系统，其中 都是二元运算。如果 满足以下条件： 有 （1） （2） 则 是 到 的同态映射，简称同态。 例如， ， ，其中 为普通的加法和乘法， 为模 加法和模 乘法，即对 有 令 ， ，那么易证 所以 是 到 的同态，且是满同态。,类似地，还可以把同态的概念推广到两个具有 k 个运算的代数系统中。 下面考虑除了二元运算以外还具有一元运算的代数系统。设 ， 是代数系统，其中 、 是二元运算， 和 是一元运算。如果映射 满足以下条件 （1） ，有 。 （2） ，有 。 则 是 到 的同态。 例如， ， ，其中+， 是普通加法和乘法， 表示求 的相反数， 表示求 的倒数。令 ，那么有 所以 是 到 的同态。,最后考虑具有代数常数的代数系统之间的同态。 设 ， 是代数系统，其中 、 是二元运算， ， 是代数常数。如果映射 满足以下条件 （1） ，有 。 （2） 。 则 是 到 的同态。 例如， ， ，其中+是普通加法， 为模加法，令 ， ， 又由 ，则 所以 是 到 的同态。,6.3代数系统的同态与同构,6.3.1 同态与同构 6.3.2 同态与同构实例 6.3.3 同态与同构的性质,定理6.3.1 设 是从 到 的同态， 是从 到 的同态，则是从 到 的同态。 定理6.3.2 设 是从 到 的同构，则 是从 到 的同构。 定理6.3.3 设 和 同态，且 为满同态映射，则 （1）如果 满足结合律，则 也满足结合律。 （2）如果 满足交换律，则 也满足交换律。 （3）如果 满足幂等律，则 也满足幂等律。 （4）若 是 中关于运算 的幺元，那么 是关于运算 的幺元。 （5）若 是 中关于运算 的零元，那么 是关于运算 的零元。 （6）如果 ， 是关于 运算可逆的，即有逆元 ，则是 关于运算 的逆元。,定理6.3.4 设 ， 是具有两个二元运算的代数系统，其中 都是二元运算， 是 到 的同态，则 （1）若 （或 ）是可交换的（可结合的或幂等的），则（或 ）在 中也是可交换的（可结合的或幂等的）。 （2）若 对 是可分配