高中数学第三章三角恒等变换3.2.1两角差的余弦函数3.2.2两角和与差的正弦余弦函数课件2北师大版必修.ppt

3.2 两角和与差的三角函数 3.2.1 两角差的余弦函数 3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数,【知识提炼】 两角和与差的正弦、余弦函数,sin cos -cos sin ,cos cos +sin sin ,sin cos +cos sin ,cos cos -sin sin ,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)cos 60-cos 30=cos(60-30)成立吗? 提示:不成立. (2)cos-cos=cos(-)成立吗? 提示:不一定.,(3)两角和与差的正弦、余弦公式与诱导公式有什么关系? 提示:和差角公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差角公式的特例. 如sin(2-)=sin2cos-cos2sin=0cos-1sin= -sin.当或中有一个角是 的整数倍时,通常使用诱导公式较 为方便.,2.cos(-15)的值是 ( ) 【解析】选C.cos(-15)=cos(30-45)=cos 30cos 45+ sin 30sin 45=,3.化简cos(45-)cos(+15)-sin(45-)sin(+15)的结果为 ( ) 【解析】选A.原式=cos（45-）+（+15）=cos 60= .,4.sin 14cos 16+sin 76cos 74=_. 【解析】原式=sin 14cos 16+cos 14sin 16 =sin(14+16)=sin 30= . 答案:,5.cos 165=_. 【解析】cos 165=cos(45+120)=cos 45cos 120- sin 45sin 120= 答案:-,【知识探究】 知识点 两角和与差的正弦、余弦公式 观察如图所示内容,回答下列问题:,问题1:两角和与差的正弦、余弦公式各有什么特点? 问题2:根据公式C的识记规律,你能总结出公式S的记忆规律吗?,【总结提升】 1.公式的记忆 (1)对于两角和与差的余弦公式C可以简记为:“余余正正,和差相反”. (2)对于两角和与差的正弦公式S可以简记为:“正余余正,和差相同”.,2.公式的适用条件 公式中的,不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,如 cos 中的“ ”相当于公式中的角“”,“ ” 相当于公式中的角“”.因此对公式的理解要注意结构形式,而不要 局限于具体的角.,3.公式的作用 (1)正用:把sin(),cos()从左向右展开. (2)逆用:公式的右边化简成左边的形式.当结构不具备条件时,要用相关公式调节后再逆用. (3)变形应用:它涉及两个方面,一是公式本身的变用;二是角的变用,也称为角的拆分变换,如=(+)-,2=(+)+(-).,【题型探究】 类型一 给角求值问题 【典例】1.cos 105+sin 195的值为_. 2. 的值为_.,【解题探究】1.典例1中105与195的关系是什么? 提示:195=105+90. 2.典例2中如何处理20? 提示:20=30-10.,【解析】1.cos 105+sin 195=cos 105+sin(90+105) =cos 105+cos 105=2cos 105=2cos(135-30) =2(cos 135cos 30+sin 135sin 30) 答案:,2.原式= 答案:,【方法技巧】解决给角求值问题的策略 解这类题目的关键是将非特殊角转化为特殊角,充分地拆角、凑角转化为角的正弦、余弦、正切公式,同时灵活运用两角和与差的正弦、余弦及正切公式.,【变式训练】(2015全国卷)sin20cos10-cos160sin10 =( ),【解题指南】由cos160=-cos20,利用两角和的正弦公式求解. 【解析】选D.原式=sin20cos10+cos20sin10 =sin30= .,【补偿训练】sin 347cos 148+sin 77cos 58的值为_. 【解析】原式=sin(-13+360)cos(180-32)+ sin 77cos 58 =sin(-13)(-cos 32)+sin 77cos 58 =-sin 13(-cos 32)+sin 77cos(90-32) =cos 77cos 32+sin 77sin 32=cos(77-32) =cos 45= . 答案:,类型二 给值(式)求值 【典例】1.已知 则cos =_. 2.已知 求sin 的值.,【解题探究】1.典例1中sin的值是什么? 提示:由 2.典例2中+ 与已知+,- 的关系是什么? 提示:观察发现,【解析】1.因为 所以 答案:,2.因为 故 所以,【延伸探究】 1.(改变问法)典例2中条件不变如何求 的值? 【解析】由典例2解析知 又,2.(改变问法)典例2中条件不变如何求cos2的值? 【解析】由典例解析知 又 所以 由【延伸探究】1知,【方法技巧】给值(式)求值的策略 解决这类问题的关键在于从整体上把握所求的角与已知条件中角的运算关系,具体有以下几种情况: (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.,【补偿训练】已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),|a-b|= ,求cos(-). 【解析】因为a=(cos,sin),b=(cos,sin), 所以a-b=(cos-cos,sin-sin).因为|a-b|= , 所以 所以2-2cos(-)= .所以cos(-)= .,类型三 辅助角公式的应用 【典例】1.函数f(x)=(1+ tanx)cosx的最小正周期为( ) A.2 B. C. D. 2. 的值是_.,【解题探究】1.典例1中求f(x)的最小正周期的关键是什么? 提示:关键是利用三角变换公式将f(x)化成Asin(x+)的形式. 2.典例2中哪一个角的 提示:=60.,【解析】1.选A.f(x)= 所以最小正周期T= =2. 2.原式=cos 60cos 15+sin 60sin 15 =cos(60-15)=cos 45= . 答案:,【延伸探究】若典例1中函数f(x)变为“f(x)= ”, 则最小正周期如何? 【解析】f(x)= 所以最小正周期T= =.,【方法技巧】asinx+bcosx的化简步骤 (1)提常数,即把asinx+bcosx提出 得到 (2)定角度,由 我们不妨设 sin= ,则得到 (cossinx+sincosx). (3)化简,逆用两角和的正弦公式可得asinx+bcosx= sin(x+).,【变式训练】(2015四川高考)sin15+sin75的值是_. 【解析】sin15+sin75 =sin15+cos15= sin(15+45)= 答案:,【补偿训练】1.求y= 的最大值和周期. 【解题指南】把函数的解析式化为y=Asin(+)的形式,然后求其最大值和周期.,【解析】y= 当 (kZ)时, 所以函数的最大值是 ,周期为.,2.函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是_. 【解析】f(x)= 最小正周期是2. 答案:2,3.函数y=2sinx-cosx的最大值为_. 【解析】y=2sinx-cosx= = sin(x-)(其中 ). 当sin(x-)=1时,ymax= . 答案:,易错案例 求三角函数的值 【典例】在三角形ABC中, 则cosC=_.,【失误案例】,【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是忽视角的范围导致错误,实际上本题中由 cosB=- 可知B为钝角,则角A为锐角,故cosA的值是正值.,【自我矫正】因为cosB=- ,所以B为钝角, 所以sinB= 所以A为锐角,cosA= 又