2020届高考数学第八单元立体几何第56讲空间向量的应用（一）练习理新人教A版.docx

第56讲空间向量的应用(一)1已知PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PAAD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：(1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PDC. 建立空间直角坐标系A(O)xyz如图：设|PA|AD|b，|AB|a，则B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0，b,0)，P(0,0，b)，因为M、N分别为AB、PC的中点，所以M(，0,0)，N(，)(1)因为(0，)，显然，所以与、共面，因为MN平面PAD，所以MN平面PAD.(2)因为(a,0,0)，(0，b，b)所以0，0，即MNDC，MNDPMN平面PDC，又MN平面PMC，所以平面PMC平面PDC.2如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点(1)求证：AM平面BDE；(2)求证：AM平面BDF. (1)建立如图所示的空间直角坐标系设ACBDN，连接NE，则点N、E的坐标分别是(，0)、(0,0,1)，所以(，1)，又点A、M的坐标分别是(，0)，(，1)，所以(，1)所以，且NE与AM不共线，所以NEAM.又因为NE平面BDE，AM平面BDE，所以AM平面BDE.(2)由(1)知(，1)，因为D(，0,0)，F(，1)，所以(0，1)，所以0，所以，所以AMDF，同理AMBF.又DFBFF，所以AM平面BDF.3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论 设正方体的棱长为1，如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系，依题意，得B(1,0,0)，A1(0,0,1)，E(0,1，)，所以(1,0,1)，(1,1，)，设n(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n0，n0得所以xz，yz，令z2得，n(2,1,2)，设F是棱C1D1上的一点，则F(t,1,1)(0t 1)，又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)，而B1F平面A1BE，于是，B1F平面A1BEn0(t1,1,0)(2,1,2)0，所以2(t1)10，得t，故F是C1D1的中点，这说明在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.4如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)求证：ACBC1；(2)在AB上是否存在点D，使AC1CD?(3)在AB上是否存在点D，使得AC1平面CDB1? 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3，0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)(1)证明：(3,0,0)，(0，4,4)，因为0，所以.所以ACBC1.(2)假设在AB上存在点D，使得AC1CD，则(3，4，0)，其中01，则D(33，4，0)于是(33，4，0)由于(3,0,4)，且AC1CD，所以990，得1.所以在AB上存在点D，使得AC1CD，且这时点D与点B重合(3)假设在AB上存在点D，使得AC1平面CDB1，则(3，4，0)，其中01，则D(33，4，0)(33，44，4)又(0，4，4)，