03-第三章_补充内容和线性系统

第三章 图象信号分析基础,3.1 图象信号的数学表示 3.2 图象的运算 3.3 线性系统 3.4 图象的卷积计算 3.5 图象的统计特性,一. 象素的邻域和邻接,（一） 象素的邻域 1. 4-邻域 N4(p) 象素p(x, y)的左右上下4个象素。,2. D-邻域 ND(p) 象素p(x, y)的4个对角邻近象素。,3. 8-邻域 N8(p) 象素p(x, y)的左、右、上、下、左上、右上、左下、右下8个象素。,（二） 象素的邻接 1. 定义 若qN4(p) 或者pN4(q) 则称p与q 4-邻接 若qN8(p) 或者pN8(q) 则称p与q 8-邻接 2. 关系： 4-邻接必8-邻接，反之不然,二、象素间的连通性,（一） 连接 1.两个象素p和q连接的条件： 邻接 灰度值相近 ， 其中V=v1,v2 , 为连接的灰度值集合 称为灰度相近(似)准则，即若pV且qV则称为p和q灰度值相似（相近或相等）。,2.连接分类 ： 4-连接：p, qV且p, qN4(p) 则p和q为4-连接； 8-连接： p, qV且p, qN8(p)则p和q为8-连接； m-连接（混合连接）： p, qV且 (1) qN4(p) 或 (2) qND(p)且N4(p)N4(q)= ( V ),二. 象素间的连通性,（二） 毗邻 1. 两象素毗邻p-q：若象素p与q相连接，则称它们相毗邻。 据不同种类的连接，分为4-毗邻，8-毗邻或m-毗邻。 2. 两象素子集毗邻S-T （S与T连通） 若piS, qiT且pi qi 则S-T，也称S和T连通。,（三）通路L p(x,y)与q(s,t)间通路L(p,q)： 若(xi ,yi)与( xi-1 ,yi-1 )毗邻(1in)，则称L(p,q)为p与q间的一条通路，n为通路长度。 通路也分为4-通路(L4)、 8-通路(L8)和m-通路(Lm),二. 象素间的连通性,（四）连通 若p,qT且存在一条由T中象素组成的从p到q的通路，则称p在T中与q连通。 由不同通路形成不同种类的连通：4-连通，8-连通， m-连通。,三.距离度量,常用的三种距离 1. 欧氏距离： 2. 街区距离： 3. 棋盘距离： 这里D4=1的象素就是（x,y）的4-邻域象素， D8=1的象素就是（x,y）的8-邻域象素。,一. 算术运算,一般用于灰度图象，逐个象素进行，每次只涉及一个空间象素位置。 2个象素p和q之间的算术运算有： 加法：记为p+q； 减法：记为p-q； 乘法：记为p*q (也可写为pq和pq)； 除法：记为pq,只用于二值图象，逐个象素进行，每次只涉及一个空间象素位置。 与(AND)，记为p AND q (也可写为pq) 或(OR)，记为p OR q (也可写为p+q) 补(COMPLEMENT)，记为NOT q (也可写为 ),二. 逻辑运算,算术和逻辑运算,三. 邻域运算,算术和逻辑运算也可用于邻域运算。 邻域处理：以模板（样板、窗和滤波器也常用来代表模板）运算的形式实现。 模板运算：将赋予某个象素的值作为它本身灰度值和其相邻象素灰度值的函数。,图象中目标物边缘（边界）往往是一种闭合曲线。在数字图象中，线条或边界是一串由离散象素点组成（如下图）。 若用一网络覆盖图象，并是象素点位于网络的交点上，则表示数字图象的线条可看作是由短的线段组成的链。这些短的线段正好是相邻交点的连线。这样就可以用链码来描述任意曲线或闭合的边界。,边界(边缘线)的链码表示,B.边界的链码表示 1). 方法：从边界(曲线)起点S开始，观察每一线段走向，并用相应的指向符表示，结果形成一序列。闭合边界时，会回到起点。,边界(边缘线)的链码表示,A. 链码定义 1). 定义： 一系列具有特定长度和方向的相连的直线段。 2). 常用两类 (a) 4(-方向)链码, (b) 8(-方向)链码,B.边界的链码表示 2). 举例：以4链码为例 M4=S10103322 封闭时可省去S 3). 起点归一化链码与差分链码 (a) 归一化链码,边界(边缘线)的链码表示,(b)差分码和归一化差分码 差分码（微分码） 设原码 MN=a0a1a2an-1 则差分码定义为： MN=b0b1b2bn-1 其中：b0=( a0-an-1) MODN，bi=(ai-ai-1),边界(边缘线)的链码表示,1 0 1 0 3 3 2 2,左转90o，差分链码不变,3 3 1 3 3 0 3 0,2 1 2 1 0 0 3 3,3 3 1 3 3 0 3 0,差分链码,(2),(3), 归一化差分码：对差分码进行起点归一化(值最小的差分码) 特点：具有旋转归一化(不变性)，也具有平移不变性。,边界(边缘线)的链码表示,边界的形状数表示,A. 定义：形状数是基于链码的一种边界形状描述符。它定义为归一化差分码，即取值最小的差分码。 B. 举例(8链码表示) C. 形状数的阶 形状数序列的长度定义为阶，也可近似为周长。 闭合曲线的4-链形状数阶为偶数。,边缘线（边界）的链码跟踪 以8链码为例,A. 方法：从起点开始，按顺时钟方向向左看跟踪，可得到与起点8连通的最长边缘曲线； 若最终能回到起点，则为一闭合曲线，即目标物边界。 对4链码(4连通)也类似。 B. 举例,C. 用途 目标物边界检测 参数(几何特征)获得 曲线长度(边界周长) 闭合边界内面积,第三章 图象信号分析基础,3.1 图象信号的数学表示 3.2 图象的运算 3.3 线性系统 3.4 图象的卷积计算 3.5 图象的统计特性,3.3 线性系统,3.3.1 线性系统的性质 3.3.2 线性平移不变系统 3.3.3 二维线性平移不变系统的频率响应,系统,从形式上看，系统的功能是 施行一种运算，它把一个信号(输入)映射成另一个信号(输出)。 如果把体现这种运算的映射函数记为T，则有y=Tx 式中的映射函数T表示：输入信号映射成输出信号的一种（或一组）规则，或者一个对应表格。 对于图像处理系统，输入和输出都是二维信号，映射函数T是二维函数。,3.3.1 线性系统的性质,一个系统是线性系统的充分必要条件： 同时满足叠加原理与齐次原理。 叠加原理：如果输入信号是两个序列之和，则输出信号也为两个对应的输出信号之和。 若y1=Tx1，y2=Tx2，则有y1+ y2=Tx1+Tx2。 齐次原理：如果y=Tx，则有ay=Tax=aTx。 综合上述两个原理，线性系统对于所有输入信号x1，x2以及所有复常数a和b，皆有：ay1+by2=Tax1+ bx2 线性系统服从叠加原理，所以线性系统对于输入信号的加权和的响应等于单个输入信号响应的加权和。,3.3.2 线性平移不变系统,平移不变系统：指如果输入序列进行移位， 则输出序列进行相应的移位。 对于二维系统，如果y(i, j)=Tx(i, j)，则平移不变条件是： 当且仅当对所有序列x(i, j)及所有整数移位(m,n)，皆有 y(i-m, j-n)=Tx(i-m, j-n) 系统的平移不变和线性是两个独立的特性，一个特性成立并不意味着另一个特性也一定成立。 E.g.系统Tx(i, j)= x(i, j)2是平移不变的，但不是线性的； 系统Tx(i, j)= k(i, j) x(i, j)（其中k(i, j)是增益）是线性的，但不是平移不变的。 线性平移不变系统：指既满足线性条件又满足平移不变条件的系统。,3.3.2 线性平移不变系统,式中(i-m, j-n)是移位单位冲激。,输入：,二维离散线性系统：L,输出：,式中 是系统对位于(m,n)点的单位冲激的响应（注意：不是单位冲激本身）,如果对每个(m,n)点空间变化冲激响应 都是已知的，则线性系统对任意输入的响应可利用叠加原理求得。 如果系统还是平移不变的，则可进一步简化。 由于 故在(m =0,n =0)的特殊情况下，有 利用平移不变性质，应有 这样一来，空间变化冲激响应变成了空间不变（坐标原点处）冲激响应的移位序列。若定义 则可把输出序列写成：,3.3.2 线性平移不变系统,一个空间线性平移不变系统的输出就是该系统的空间不变冲激响应h (i, j)的加权和。而所加的“权”就是系统的输入f(i, j)。 一个线性平移不变系统完全可以用它的空间不变冲激响应h(i, j)来表征。 是一个离散二维卷积，i.e. 线性平移不变系统的输出等于系统的输入与它的空间不变冲激响应的卷积。,3.3.2 线性平移不变系统,单位冲激响应为h (i, j)的线性平移不变系统对正弦输入的响应 输入信号是复正弦：f(i, j)=exp(jui+jvj) 式中u, v是实数，分别称为水平频率(分量)与垂直频率(分量)；u, v后面的i, j是坐标值（注意：不要混淆了虚数记号j与位置坐标记号j),3.3.3 二维线性平移不变系统 的频率响应,输出信号,输出信号与输入信号有相同频率的复正弦，而它的幅度和相位则由复增益H(u,v)的影响而产生变化。 系统的频率响应,第三章 图象信号分析基础,3.1 图象信号的数学表示 3.2 图象的运算 3.3 线性系统 3.4 图象的卷积计算 3.5 图象的统计特性,3.4 图象的卷积计算,3.4.1 卷积积分 3.4.2 二维卷积 3.4.3 离散二维卷积的矩阵运算 3.4.4 卷积与滤波,3.4.1 卷积积分,卷积(convolution) (积分)是图像处理中十分重要的基本计算法则，就像算术中的四则运算一样。 卷积积分(卷积) ： h(t)是表征线性平移不变系统特性的一个函数，叫做该系统的冲激响应，是指当系统的输入是单位冲激时得到的输出。 线性平移不变系统的输出 可通过 输入信号 与 该系统的冲激响应的 卷积 得到。 卷积积分可以简化为：g=h*f 运算符合“*”代表前后两个函数的卷积。下页图描述了两个函数的卷积过程。卷积积分的结果是图中的阴影部分的面积，最后的结果g(t)是t的函数。,3.4.1 卷积积分,3.4.1 卷积积分, 卷积积分：如果函数 g(t) 满足下列关系式,则称函数 g(t) 为函数 f(t) 和 h(t) 的卷积, 卷积积分的图解表示：,1,1, 卷积积分的图解表示（续）：,位移,h(t1- ),2,g(t),1,t,积分,卷积积分的步骤,1 折迭：把 h() 相对纵轴作出其镜像,2 位移：把 h(-) 移动一个 t 值,3 相乘：将位移后的函数 h(t-) 乘以 f(),4 积分： h(t-) 和 f() 乘积曲线下的面积即为 t 时刻的卷积值,卷积积分的性质： 交换律 h*f =f*h 分配律 f*(l + h )=f*l + f*h 结合律 ( f*h) *l = f* (h * l ) 求导,3.4.1 卷积积分, 包含脉冲函数的卷积：即 f(t) 或 h(t) 中有一个为脉冲函数，则它们的卷积是一种最简单的卷积,-T0,T0,h(t)*f(t),t,A,A, 卷积定理：如果 f(t) 和 h(t) 的富里叶变换分别为 f(f) 和 H(f) ,则f(t) * h(t) 的富里叶变换为 H(f)f(f)。即, 卷积定理的简单推导：,相关, 相关积分的计算步骤：,1 位移：把 h() 移动一个 -t 值,2 相乘：将位移后的函数 h(t+) 乘以 f(),3 积分： h(t+) 和 f() 乘积曲线下的面积即为 t 时刻的相关值, 相关定理：如果 f(t) 和 h(t) 的富里叶变换分别为 F(f) 和 H(f) ,则f(t) 和 h(t) 的相关积分为 F(f)H*(f)。即,其中，F*(f) 为 F(f) 的复共轭,3.4.2 二维卷积,设f和h分别是二元连续函数，即f(x,y)和h(x,y)，则它们的卷积积分为 式中的h是一个卷积函数 用在图像处理之中，这个卷积函数就是一个表征图像处理系统性质的函数。 二维连续函数的卷积过程与一维卷积相似，也是反转平移直（点）积积分的过程。二维卷积的结果g(x,y)是一个体积。,3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算,二维卷积过程如下： 由h(i, j)产生序列h(i-m, j-n)。首先把h(m, n)对m和n轴进行反转，然后进行平移，使得抽样h(0, 0)处于(i, j)点上。 计算f(m,n)h(i-m, j-n)乘积序列。 将乘积序列的各非零抽样值相加，得到卷积输出值g(i, j) 当m、n变化时，则序列h(i-m, j-n)移到(m,n)平面的另一个位置，得到另一个卷积输出值。,3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算,二维卷积卷积运算比较复杂，不能用两个二维序列的矩阵形式直接运算。要对它们进行适当的构造以通过矩阵相乘的运算得到卷积的结果。 首先认为两个序列f(i, j)与h(i, j)都是在x和y方向上周期至少为N和M的无限长周期序列的一部分。 将它们用矩阵形式描述，则为F与H，它们的卷积为G=F*H=H*F 设F的大小为(mfnf)，H的大小为(mhnh)。由于卷积运算是两个序列之间展转相乘求和的过程，所以在运用矩阵形式时要把F和H加以扩展。扩展后的矩阵大小为MN（其中Mmf+ mh-1, Nnf+ nh-1）用”0”元素填充扩展区的行、列，把扩展后的矩阵命名为Fp和Hp。为了方便起见，令M=N。,3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算,3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算,扩展后分别为：,构造Fp：按行堆叠方法将它构