2020版高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第三节二项式定理学案理（含解析）新人教A版.docx

第三节二项式定理2019考纲考题考情1二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)。2二项展开式的通项第k1项为：Tk1Cankbk。3二项式系数二项展开式中各项的二项式系数为C(k0,1,2，n)。4二项式系数的性质5.二项式系数和的性质(1)(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CCCC2n。(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1。1二项式定理中，通项Tk1Cankbk是展开式的第k1项，不是第k项。2(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk1Cankbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关。(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关。当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。一、走进教材1(选修23P37A组T5(2)改编)8的展开式中常数项为()A.B.C.D105解析二项展开式的通项为Tk1C()8kkkCx4k，令4k0，解得k4，所以T54C。故选B。答案B2(选修23P35练习T1(2)改编)化简：CCC_。解析因为CCCC22n，所以CCC(CCC)22n1。答案22n1二、走近高考3(2018全国卷)5的展开式中x4的系数为()A10 B20C40 D80解析由题可得Tr1C(x2)5rrC2rx103r。令103r4，则r2，所以C2rC2240。故选C。答案C4(2018浙江高考)二项式8的展开式的常数项是_。解析该二项展开式的通项为Tr1CxrCrx。令0，解得r2，所以所求常数项为C27。答案7三、走出误区微提醒：混淆“二项式系数”与“系数”致误；配凑不当致误。5在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_。解析由题意得2n32，所以n5。令x1，得各项系数的和为(12)51。答案16已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8_。解析因为(1x)102(1x)10，所以其展开式的通项为Tr1(1)r210rC(1x)r，令r8，得a84C180。答案1807(x1)5(x2)的展开式中x2的系数为_。解析(x1)5(x2)x(x1)52(x1)5，展开式中含有x2的项为20x25x215x2，故x2的系数为15。答案15考点一求二项展开式的特定项或系数【例1】(1)(2018天津高考)在5的展开式中，x2的系数为_。(2)在二项式5的展开式中，若常数项为10，则a_。解析(1)5的展开式的通项Tr1Cx5rrrCx，令5r2，得r2，所以x2的系数为C2。(2)5的展开式的通项Tr1C(ax2)5rrCa5rx，令100，得r4，所以Ca5410，解得a2。答案(1)(2)2求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤1利用通项将Tk1项写出并化简。2令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k。3代回通项得所求。【变式训练】(1)6的展开式中，常数项是()AB.CD.(2)10的展开式中所有的有理项为_。解析(1)Tr1C(x2)6rrrCx123r，令123r0，解得r4，所以常数项为4C。(2)二项展开式的通项为Tk1Ckx，由题意Z，且0k10，kN。令r(rZ)，则102k3r，k5r，因为kN，所以r应为偶数。所以r可取2,0，2，即k可取2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，x2。答案(1)D(2)x2，x2考点二二项式系数与各项系数和问题【例2】(1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为641，则x3的系数为()A15 B45 C135 D405(2)若(1x)9a0a1xa2x2a9x9，则|a1|a2|a3|a9|()A1 B513 C512 D511解析(1)由题意知64，得n6，展开式的通项为Tr1Cx6rr3rCx，令63，得r2，则x3的系数为32C135。故选C。(2)令x0，得a01，令x1，得|a1|a2|a3|a9|1(1)91291511。答案(1)C(2)D“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法。对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可。【变式训练】(1)n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A6B.C4xD.或4x(2)(2018湖南湘潭三模)若(1x)(12x)8a0a1xa9x9，xR，则a12a222a929的值为()A29 B291 C39 D391解析(1)令x1，可得n的展开式中各项系数之和为2n，即82n0，则a_。解析展开式的通项为Tr1Cxx5rrarCx，由得因为a0，所以a。答案4(配合例5使用)5的展开式中常数项是_(用数字作答)。解析55