2020版高考数学第八章平面解析几何第七节抛物线学案理（含解析）新人教A版.docx

第七节抛物线2019考纲考题考情1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0注：抛物线上P点坐标为(x0，y0)。抛物线焦点弦的4个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2。(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)。(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)。一、走进教材1(选修21P72练习T1改编)过点P(2,3)的抛物线的标准方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y解析设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2,3)，解得k，m，所以y2x或x2y。故选A。答案A2(选修21P73A组T3改编)抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点P有()A0个B1个C2个D4个解析设P(x1，y1)，则|PF|x125，y8x1，所以x13，y12。故满足条件的点P有两个。故选C。答案C二、走近高考3(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6C7 D8解析根据题意，过点(2,0)且斜率为的直线方程为y(x2)，与抛物线方程联立消元整理得：y26y80，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，从而可以求得03248。故选D。解析：过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24。易知F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188。故选D。答案D4(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则|FN|_。解析抛物线y28x的焦点F(2,0)，设M(x1，y1)，N(0，y2)，由题意得又y8x1，解得y8，y4y32，故|FN|6。答案6三、走出误区微提醒：忽视p的几何意义；忽视k0的讨论；易忽视焦点的位置出现错误。5已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22xBy22xCy24xDy24x解析由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0)。设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x。故选D。答案D6设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_。解析Q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，l与抛物线有公共点；当k0时，64(1k2)0得1k0或00)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，在y22x中，p1，所以|P1F|P2F|P10F|x1x2x105p10。答案(1)A(2)10考点二抛物线的标准方程【例2】如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29xBy26xCy23xDy2x解析如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由抛物线定义得|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，因为|AE|AF|3，|AC|33a,2|AE|AC|，所以33a6，从而得a1，|FC|3a3，所以p|FG|FC|，因此抛物线的方程为y23x，故选C。答案C求抛物线的标准方程应注意以下几点1当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种。2要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系。3要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。【变式训练】(1)(2019湖北联考)已知抛物线y22px(p0)，点C(4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()Ay24xBy24xCy28xDy28x(2)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是()Ax216yBx28yCx2yDx2y解析(1)因为ABx轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|2p，所以SCAB2p24，解得p4或12(舍)，所以抛物线方程为y28x，所以直线AB的方程为x2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y28x。故选D。(2)因为双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，所以2。因为双曲线的渐近线方程为bxay0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，所以2，解得p8，所以抛物线C2的方程是x216y。答案(1)D(2)A考点三抛物线的几何性质【例3】(2019洛阳高三统考)已知F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x3y2p0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则()A16 B4CD解析因为直线4x3y2p0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|CF|，所以。由抛物线的定义得|AF|xA，|DF|xD。由整理得8x217px2p20，即(8xp)(x2p)0，可得xA2p，xD，故16。故选A。解析：同上面解法得。过A，D作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，D1，该直线AF交准线于点E，准线交x轴于点N，则由FNAA1得，由直线AF的斜率为得tanA1AF，故。又|AA1|AF|，故，所以|AF|AA1|NF|p。同理可得，又|DD1|DF|，所以，故|DF|DD1|NF|p，故16。故选A。答案A过抛物线的焦点的直线与抛物线相交时，首先要想到利用抛物线的定义寻找相等关系，实现条件的转化。【变式训练】(2019西安八校联考)如图，抛物线W：y24x与圆C：(x1)2y225交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则PQC的周长的取值范围是()A(10,12) B(12,14)C(10,14) D(9,11)解析由题意得，抛物线W的准线l：x1，焦点为C(1,0)，由抛物线的定义可得|QC|xQ1，圆(x1)2y225的圆心为(1,0)，半径为5，故PQC的周长为|QC|PQ|PC|xQ1(xPxQ)56xP。联立，得得A(4,4)，则xP(4,6)，故6xP(10,12)，故PQC的周长的取值范围是(10,12)。故选A。解法一：平移直线PQ，当点A在直线PQ上时，属于临界状态，此时结合|CA|5可知PQC的周长趋于2510；当直线PQ与x轴重合时，属于临界状态，此时结合圆心坐标(1,0)及圆的半径为5可知PQC的周长趋于2(15)12。综上，PQC的周长的取值范围是(10,12)。故选A。解法二：准线x1，焦点(1,0)，由抛物线定义知|QC|xQ1，所以PQC周长为|QC|PQ|PC|xQ1xPxQ56xP，由y24x和(x1)2y225，得交点横坐标为4，所以xP(4,6)，所以6xP(10,12)，故选A。答案A考点四直线与抛物线的位置关系【例4】(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8。(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)。设A(x1，y1)，B(x2，y2)。由得k2x2(2k24)xk20。16k2160，故x1x2。所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)。由题设知8，解得k1(舍去)，k1。因此l的方程为yx1。(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5。设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144。(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p(或|AB|y1y2p)，若不过焦点，则必须使用一般的弦长公式；(2)求圆的方程主要是确定圆心坐标与半径；(3)涉及直线与圆相交所得弦长问题通常是利用公式L2来求解，其中R为圆的半径，d为圆心到直线的距离。【变式训练】(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点。若AMB90，则k_。解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，所以k，取AB中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B。因为AMB90，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)。因为M为AB的中点，所以MM平行于x轴，因为M(1,1)，所以y01，则y1y22，即k2。解析：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21。由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24，由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2。答案21(配合例1使用)设抛物线y22x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|4|BF|的最小值为_。解析易知抛物线y22x的焦点为F 。当ABx轴时，|AF|4|BF|145；当直线AB斜率存在时，可设直线AB的方程为yk ，代入抛物线方程得4k2x2(4k28)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2，所以|AF|4|BF|x14x14x22，当且仅当x14x21，即x11，x2时，|AF|4|BF|取得最小值。答案2(配合例2使用)已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MNy轴于点N。若四边形CMNF的面积等于7，则抛物线E的方程为()Ay2xBy22xCy24xDy28x解析由题意，得F，直线AB的方程为yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立yx和y22px得，y22pyp20，则y1y22p，所以y0p。故N(0，p)，又因为点M在直线AB上，所以x0，即M，因为MCAB，所以kABkMC1，故kMC1，从而直线MC的方程为yxp，令y0，得xp，故C，四边形CMNF是梯形，则S四边形CMNF(|MN|CF|)|NO|pp27，所以p24，又p0，所以p2，故抛物