2020版高考数学第二章函数、导数及其应用第12讲函数模型及其应用课时达标理新人教A版.docx

第12讲 函数模型及其应用课时达标一、选择题1某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100xBy50x250x100Cy502xDy100log2x100C解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得C项正确2世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 20.301 0,100.007 51.017)()A1.5% B1.6%C1.7% D1.8%C解析 设每年世界人口平均增长率为x，则(1x)402，两边取以10为底的对数，则40lg(1x)lg 2，所以lg(1x)0.007 5，所以100.007 51x，得1x1.017，所以x1.7%.3国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是()A560万元 B420万元C350万元 D320万元D解析 设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则根据题意，可以得到：y依题意有280p%(x280)(p2)%(p0.25)%，解得x320.4某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()Ax15，y12 Bx12，y15Cx14，y10 Dx10，y14A解析 由三角形相似得，得x(24y)，所以Sxy(y12)2180，所以当y12时，S有最大值，此时x15.检验符合题意5某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份()A甲食堂的营业额较高B乙食堂的营业额较高C甲、乙两食堂的营业额相同D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高A解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得m8am(1x)8，则5月份甲食堂的营业额y1m4a，乙食堂的营业额y2m(1x)4，因为yy(m4a)2m(m8a)16a20，所以y1y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高6某房地产公司计划出租70套相同的公寓房当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为()A3 000元 B3 300元C3 500元 D4 000元B解析 由题意，设利润为y元，租金定为3 00050x元(0x70，xN)则y(3 00050x)(70x)100(70x)(2 90050x)(70x)50(58x)(70x)502，当且仅当58x70x，即x6时，等号成立，故每月租金定为3 0003003 300(元)时，公司获得最大利润故选B二、填空题7某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为_个解析 当t0.5时，y2，所以2e，所以k2ln 2，ye2tln 2，当t5时，ye10ln 22101 024.答案 1 0248里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍解析 由lg 1 000lg 0.0016得此次地震的震级为6级因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9lg 0.0019，解得A9106，同理5级地震最大振幅A5102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍答案 610 0009某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时解析 (1)当l6.05时，F1 900，当且仅当v，即v11时，等号成立所以最大车流量F为1 900辆/小时(2)当l5时，F，所以F2 000，当且仅当v10时，等号成立. 所以最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 0001 900100辆/小时答案 (1)1 900(2)100三、解答题10如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4米，CD6米为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上(1)设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值解析 (1)作PQAF于点Q，所以PQ8y，EQx4，在EDF中，所以，所以yx10，定义域为x|4x8(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)xyx(x10)250，所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x10，所以当x4,8，S(x)单调递增，所以当x8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米11(2019会宁一中月考)某公司对营销人员有如下规定：年销售额x (单位：万元)在8万元以下，没有奖金；年销售额x (单位：万元)，x8,64时，奖金为y万元，且ylogax，y3,6，且年销售额越大，奖金越多；年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金(1)求奖金y关于x的函数解析式；(2)若某营销人员争取奖金y4,10 (单位：万元)，则年销售额x (单位：万元)在什么范围内？解析 (1)依题意，ylogax在x8,64上为增函数，所以解得a2，所以y(2)易知x8，当8x64时，要使y4,10，则4log2x10，解得16x1 024，所以16x64；当x64时，要使y4,10，则40x100，所以64x100.综上所述，当年销售额x16,100(单位：万元)时，奖金y4,10(单位：万元)12根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图1中的一条折线表示，销量Q与时间t的关系用图2中的线段表示(tN*)(1)分别写出图1表示的价格与时间的函数关系Pf(t)，图2表示的销售量与时间的函数关系Qg(t)(不要求计算过程)；(2)求这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间解析 (1)Pf(t)Qg(t)，t1,40，tN*.(2)当1t20时，S2.因为tN*，所以t10或11时，Smax176.当20t40时，S(t41)t228t为减函数；当t20时，Smax161.而161176，所以当t10或11时，Smax176.故当t10或11时，这种商品的销售额S最大，为176.13选做题(2019广州检测)某旅游景点预计2018年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似为p(x)x(x1)(392x)(xN*，且x12)已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的关系近似是q(x)(1)写出2018年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；(2)试问2018年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少万元？解析 (1)当x1时，f(1)p(1)37，当2x12，且xN*时，f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)x(x1)(412x)3x240x，经验证x1时也满足此式，所以f(x)3x240x(xN*，且1x12)(2)第x(xN*)个月的旅游消费总额为g