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第71讲 不等式的证明课时达标1已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2.证明 (a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因为a，b都是正数，所以ab0.又因为ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.2(2019襄阳四中质检)设a，b，c，d均为正数，且abcd.证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd得()2()2.因此.(2)(必要性)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.(充分性)若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd矛盾，故.(2)(充分性)假设|ab|cd|，则有(ab)24ab(cd)24cd，由此得4ab4cd,22，()2()2，于是，这与矛盾，从而|ab|cd|，充分性得证(必要性)假设，则有()2()2，即abcd.又abcd，故(ab)2(cd)2，即|ab|cd|，与|ab|.必要性得证综上，是|ab|cd|的充要条件3(2019绍兴中学质检)若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解析 (1)由，得ab2，当且仅当ab时，等号成立故a3b324，当且仅当ab时，等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.4(2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，.解析 (1)f(x)当x时，由f(x)2得2x1，即1x；当x时，f(x)2，即x；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，即x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明 (1)(ab)(a5b5) a6ab5b6a5b(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.6(2019东北三校二模)已知a，b，c0，abc1.求证：(1)；(2).证明 (1)因为由柯西不等式得()2(111)2(121212)()2()2()23，当且仅当，即abc时，等号成立，所以.(
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