2020版高考数学一轮总复习第五单元平面向量与复数课时5复数的概念与运算教案文（含解析）新人教A版.docx

复数的概念与运算1理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法及其几何意义3了解两个具体复数相加、相减的几何意义，会进行复数代数形式的四则运算 知识梳理1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位，且满足i21，全体复数组成的集合C叫做复数集.(2)复数的分类：满足条件(a，bR)分类abi为实数_b0_abi为虚数_ b0_abi为纯虚数_a0，且b0_(3)复数相等的充要条件：abicdiac且bd(a，b，c，dR)特别地，abi0ab0(a，bR)2复数的几何意义(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴(2)复数zabi(a，bR)与复平面上的点Z(a，b)及平面向量(a，b)是一一对应关系(3)复数的模：对应复数z的向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|.|z|abi|.3共轭复数(1)定义：若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数，用表示(2)代数形式：abi与abi互为共轭复数(a，bR)，即zabiabi.(3)几何意义：非零复数z1，z2互为共轭复数它们的对应点Z1，Z2(或向量，)关于实轴对称4复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)运算运 算 法 则加减法z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i乘法z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i除法i(2)复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义若复数z1，z2对应向量，不共线，则复数z1z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是以连接，的终点所对应的向量，并指向被减数z1所对应的点Z1所对应的复数复平面内的两点间的距离公式d|z1z2|.其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1与Z2的距离 热身练习1实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(B)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限 实部为2，虚部为1的复数在复平面上对应点的坐标为(2,1)，位于第二象限2(2018长春二模) 已知复数zm23mmi(mR)为纯虚数，则m(B)A0 B3 C0或3 D4 由题意得所以m3.3(2016全国卷)设复数z满足zi3i，则(C)A12i B12iC32i D32i 由zi3i得z32i，所以32i.4(2017全国卷)复平面内表示复数zi(2i)的点位于(C)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限 因为zi(2i)12i，所以复数z12i所对应的复平面内的点为Z(1，2)，位于第三象限5已知z134i，z252i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则对应的复数为(B)A86i B86iC86i D22i 对应的复数为z1z2(34i)(52i)86i. 复数的概念下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2; p2：z22i；p3：z的共轭复数为1i; p4：z的虚部为1.其中的真命题为Ap2，p3 Bp1，p2Cp2，p4 Dp3，p4 z1i，因为|z|，所以p1是假命题；因为z2(1i)22i，所以p2是真命题；因为1i，所以p3是假命题；因为z的虚部为1，所以p4是真命题所以其中的真命题共有2个：p2，p4. C (1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复数乘、除等基本运算(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算把复数化为abi的形式，然后从定义出发，把复数问题转化为实数问题来处理1(1)(2016全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a(A)A3 B2C2 D3(2)是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z等于(D)A1i B1iC1i D1i (1)(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3，故选A.(2)设zabi(a，bR)，则abi，由条件z2，(z)i2，得2a2,2bii2，所以a1，b1.所以z1i. 复数的运算(1)(2017全国卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是()Ai(1i)2 Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)(2)(2018全国卷)设z2i，则|z|()A0 B.C1 D. (1)A项，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是纯虚数B项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数C项，(1i)212ii22i，是纯虚数D项，i(1i)ii21i，不是纯虚数(2)因为z2i2i2ii，所以|z|1. (1)C(2)C (1)复数的四则运算的解题策略：复数的加减乘法可类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数复数的乘、除运算可以互相转化，运算时，要根据题目特点合理转化(2)几个常用结论在进行复数的运算时，掌握以下结论，可提高计算速度(1i)22i，i，i.i(abi)bai.i21，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.2(1)(2017浙江卷)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b25，ab2.(2)(2018天津卷)i是虚数单位，复数4i. (1)(abi)2a2b22abi.由(abi)234i，得解得所以a2b25，ab2.(2)4i. 复数的几何意义(1)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2A5 B5C4i D4i(2)已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,32i，24i，如图，则：表示的复数为_；表示的复数为_；B点对应的复数为_ (1)z12i在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，因为z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，所以z2对应的点为(2,1)，所以z22i，所以z1z2(2i)(2i)i245.(2)，所以表示的复数为(32i)，即32i.，所以表示的复数为(32i)(24i)52i.，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.即B点对应的复数为16i. (1)A(2)32i52i16i (1)复平面内的点、向量与复数之间可以建立一一对应关系，这是复数的几何意义(2)复数加、减法的几何意义就是对应的向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则)在解题时，要充分理解几何意义的本质，明确向量对应的复数与某一点对应的复数的异同3(1)(2018北京卷)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(D)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)已知平行四边形ABCD中，顶点A，B分别与复数12i,32i对应，向量对应的复数为26i，则：向量对应的复数为42i；顶点D对应的复数为3. (1)，其共轭复数为，对应点位于第四象限(2)根据题意，画出示意图：因为，所以对应的复数为(26i)(32i)(12i)42i.因为，所以，所以D对应的复数为(12i)(42i)3.1把复数问题转化为实数问题来解决是处理复数问题的一种重要方法，利用两复数相等的充要条件是将复数问题转化为实数问题的重要途径但要注意：在两个复数相等的充要条件中，前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdi若忽略条件，则不能成立因此，在解决复数相等问题，一定要把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题2复数zabi (a，bR)与复平面内的点Z(a，b)及向量是一一对应的但要注意：(1)复平面上虚轴含有原点；(2)与模相等且方向相同，则它们表示同一复数，但是只有向量的起点在原点O时，此时向量才与它的终点表示同一复数3复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把i2换成1.复数除法可类比实数运算的分母有理化复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、