2020版高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定及性质教案理新人教A版.docx

第5讲直线、平面垂直的判定及性质基础知识整合1直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的判定定理(2)直线与平面垂直的性质定理2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定定理(2)平面与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直1设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m，下列结论正确的是()A若l，则 B若，则lmC若l，则 D若，则lm答案A解析根据线面垂直的判定定理知A正确；当，l，m时，l与m可能平行、垂直或异面，故B错误；当l，l时，与可能平行，也可能相交，故C错误；当，l，m时，l与m可能平行，也可能异面，故D错误故选A.2(2019浙江模拟)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()Aml Bmn Cnl Dmn答案C解析l，l，n，nl.故选C.3设m，n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是()A若m，则mB若m，m，则C若mn，m，则nD若m，n，则mn答案B解析对于A，m可以在内，故A错误；对于C，n可以在内，故C错误；对于D，m与n可以平行，故D错误4(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC答案C解析如图，A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，B，D错误；A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错误故选C.(空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0，0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(0,1,1)，(1，1，0)，(1,0,1)，(1,1,0)，0，0，0，0，A1EBC1.故选C.5如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线CA上DABC内部答案A解析CAAB，CABC1，ABBC1B，CA平面ABC1.平面ABC平面ABC1.过C1作垂直于平面ABC的直线在平面ABC1内HAB.6(2019沈阳模拟)已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的个数是_答案3解析如图所示PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC，PCAB.但AB不一定垂直于BC.核心考向突破考向一有关垂直关系的判断例1(1)已知平面及外的一条直线l，下列命题中不正确的是()A若l垂直于内的两条平行线，则lB若l平行于内的一条直线，则lC若l垂直于内的两条相交直线，则lD若l平行于内的无数条直线，则l答案A解析由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B，D正确，选项C是直线和平面垂直的判定定理，而A中，直线l也可以是与平面斜交或平行的直线，故选A.(2)(2019福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()AMNABBMN与BC所成的角为45COC平面VACD平面VAC平面VBC答案D解析依题意，MNAC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；注意到ACBC，因此MN与BC所成的角是90，B错误；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直，C错误；由于BCAC，BCVA，因此BC平面VAC.又BC平面VBC，所以平面VBC平面VAC，D正确故选D.触类旁通判断垂直关系需注意的问题(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.即时训练1.(2018北京东城模拟)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A，且m Bmn，且nC，且m Dmn，且n答案B解析因为，m，则m，的位置关系不确定，可能平行、相交、m在面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若，m，则m，的位置关系也不确定，故C错误；若mn，n，则m，的位置关系也不确定，故D错误故选B.2(2019银川模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAH平面EFH BAG平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF答案A解析由平面图形得AHHE，AHHF，又HEHFH，AH平面HEF，故选A.考向二直线与平面垂直的判定与性质角度利用线线垂直证明线面垂直例2(1)(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点证明：PO平面ABC；若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离解证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB，因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知OPOB.由OPOB，OPAC，ACOBO，知PO平面ABC.作CHOM，垂足为H.又由可得OPCH，所以CH平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OCAC2，CMBC，ACB45.在OCM中根据余弦定理可求得OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.(2)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，AB1A1BE，D为AC上的点，B1C平面A1BD.求证：BD平面A1ACC1；若AB1，且ACAD1，求三棱锥ABCB1的体积解证明：如图，连接ED，平面AB1C平面A1BDED，B1C平面A1BD，B1CED，E为AB1的中点，D为AC的中点，ABBC，BDAC，由A1A平面ABC，BD平面ABC，得A1ABD，又A1A，AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，BD平面A1ACC1.由AB1，得BCBB11，由知ADAC，又ACAD1，AC22，AC22AB2BC2，ABBC，SABCABBC，VABCB1VB1ABCSABCBB1 1.角度利用线面垂直证明线线垂直例3(1)(2019四川模拟)如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，以AE为折痕将DAE向上折起，D变为D，且平面DAE平面ABCE.求证：ADEB；求点E到平面ABD的距离解证明：AEBE2，AB4，AB2AE2BE2，AEEB.取AE的中点M，连接MD，则ADDE2MDAE，平面DAE平面ABCE，MD平面DAE，MD平面ABCE，MDBE，AEDEM，从而EB平面ADE，ADEB.由知MD平面ABCE，且MD，SAEB4，易知BM，BD2，AD2，AB4，SABD2.设点E到平面ABD的距离为d，由VEABDVDABE，得2d4，d.(2) (2019江苏模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N分别是AC，B1C1的中点求证：MN平面ABB1A1；ANA1B.证明取AB的中点P，连接PM，PB1.因为M，P分别是AC，AB的中点，所以PMBC，且PMBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，BCB1C1.因为N是B1C1的中点，所以PMB1N且PMB1N.所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MNPB1，而MN平面ABB1A1，PB1平面ABB1A1，所以MN平面ABB1A1.因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1.又因为BB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1B1C1.又因为A1B1C1ABC90，所以B1C1B1A1.又平面ABB1A1平面A1B1C1B1A1，B1C1平面A1B1C1，所以B1C1平面ABB1A1.又因为A1B平面ABB1A1，所以B1C1 A1B，即NB1A1B.连接AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，ABAA1，所以AB1A1B.又因为NB1AB1B1，且AB1，NB1平面AB1N，所以A1B平面AB1N，而AN平面AB1N，所以A1BAN.触类旁通证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直有时需借助线面垂直的性质.即时训练3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，PAPDAD2，点M在线段PC上，且PM2MC，N为AD的中点(1)求证：AD平面PNB；(2)若平面PAD平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积解(1)证明：连接BD.PAPD，N为AD的中点，PNAD.又底面ABCD是菱形，BAD60，ABD为等边三角形，BNAD.又PNBNN，AD平面PNB.(2)PAPDAD2，PNNB.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PNAD，PN平面ABCD，PNNB，SPNB.AD平面PNB，ADBC，BC平面PNB.又PM2MC，VPNBMVMPNBVCPNB2.4(2017全国卷) 如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.从而AC平面DOB，又BD平面DOB，故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.考向三面面垂直的判定与性质例4(1)(2018全国卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧C所在平面垂直，M是上异于C，D的点证明：平面AMD平面BMC；在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由解证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点连接OP，因为P为AM的中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.(2)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA2ED2.证明：平面PAC平面PCE；若ABC60，求三棱锥PACE的体积解证明：如图，连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.易知O为AC的中点，所以OFPA，且OFPA.因为DEPA，且DEPA，所以OFDE，且OFDE，所以四边形OFED为平行四边形，所以ODEF，即BDEF.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.因为PAACA，所以BD平面PAC.因为BDEF，所以EF平面PAC.因为EF平面PCE，所以平面PAC平面PCE.解法一：因为ABC60，所以ABC是等边三角形，所以AC2.又PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.所以SPACPAAC 2.因为EF平面PAC，所以EF是三棱锥EPAC的高易知EFDOBO，所以三棱锥PACE的体积V三棱锥PACEV三棱锥EPACSPACEF2.解法二：因为底面ABCD为菱形，且ABC60，所以ACD为等边三角形取AD的中点M，连接CM，则CMAD，且CM.因为PA平面ABCD，所以PACM，又PAADA，所以CM平面PADE，所以CM是三棱锥CPAE的高易知SPAE2，所以三棱锥PACE的体积V三棱锥PACEV三棱锥CPAESPAECM2.触类旁通在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.即时训练5.(2018江苏高考)在平行六面体ABCDA1