2020版高考数学第三单元导数及其应用课时5导数的综合应用——导数与方程教案文（含解析）新人教A版.docx

导数的综合应用导数与方程1能利用导数研究一般函数的单调性、极值与最值，获得对函数的整体认识2会利用导数研究一般函数的零点及其分布 知识梳理1函数零点的有关知识(1)零点的概念：函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)几个常用结论：f(x)有零点yf(x)的图象与x轴有交点方程f(x)0有实数解.F(x)f(x)g(x)有零点yf(x)与yg(x)的图象有交点方程f(x)g(x)有实数解.零点存在定理：f(x)在a，b上连续，且f(a)f(b)0，故选项D正确2函数f(x)x34x4的零点个数为(D)A0B1C2 D3 因为f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增由此可得到f(x)的大致图象(如下图)由图可知f(x)有3个零点3若方程x34x4a0有3个不同的解，则a的取值范围为(B)A(，) B(，)C， D， x34x4a0有3个不同的解f(x)x34x4与g(x)a有3个不同的交点利用第2题图可知，a，即a.4若函数g(x)x34x4a的图象与x轴恰有两个公共点，则a(B)A.或 B或C或 D或 g(x)x34x4a与x轴恰有两个公共点方程x34x4a0有2个不同的解f(x)x34x4与(x)a有2个不同的交点利用第2题图可知，a或a，所以a或a.5已知函数f(x)ex2xa有零点，则实数a的取值范围是(C)A(，ln 2) B(ln 2，)C(，2ln 22 D2ln 22，) (方法一)因为f(x)ex2，令ex20得，ex2，所以xln 2，当x(，ln 2)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当xln 2时，f(x)取最小值f(x)min22ln 2a.要f(x)有零点，所以a2ln 22.(方法二)函数f(x)ex2xa有零点，即关于x的方程ex2xa0有实根，即方程a2xex有实根令g(x)2xex(xR)，则g(x)2ex.当x0；当xln 2时，g(x)0，a160，当a16时，f(x)的图象与x轴有2个交点；当a16时，f(x)的图象与x轴只有1个交点所以f(x)的零点个数为1或2.(方法二：从方程角度出发，利用函数与方程的思想)f(x)x312xa的零点个数方程x312xa的解的个数g(x)x312x与h(x)a的交点个数画出g(x)x312x与h(x)a的图象由g(x)3x2120，得x2，当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)g(x)00g(x)单调递增16单调递减16单调递增所以g(x)的图象如右图所示：因为a16，所以ya16.由图可知直线ya与yx312x的图象有1个或2个交点 B 利用导数研究函数的零点的基本思路：(1)研究yf(x)的图象，利用数形结合的思想求解；(2)研究f(x)0有解，利用函数与方程的思想求解1(经典真题)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围为(B)A(2，) B(，2)C(1，) D(，1) 当a0时，不符合题意a0时，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x10，x2.若a0，由图象知f(x)有负数零点，不符合题意若a0知，此时必有f()0，即a310，化简得a24，又a0，所以a2. 利用导数研究超越方程的根及其分布已知函数f(x)xaex(aR)，xR.已知函数yf(x)有两个零点x1，x2，且x10在R上恒成立，可得f(x)在R上单调递增，不合题意(2)a0时，由f(x)0，得xln a.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln a)ln a(ln a，)f(x)0f(x)ln a1这时，f(x)的单调递增区间是(，ln a)；单调递减区间是(ln a，)于是，“函数yf(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立：f(ln a)0；存在s1(，ln a)，满足f(s1)0；存在s2(ln a，)，满足f(s2)0，即ln a10，解得0ae1，而此时，取s10，满足s1(，ln a)，且f(s1)a0；而当x(ln a，)时，由于x时，ex增长的速度远远大于x的增长速度，所以一定存在s2(ln a，)满足f(s2)0.另法：取s2ln，满足s2(ln a，)，且f(s2)(e)(lne)0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，取x0e，则f(e)1(e)20，(或：因为0x0且x0时，所以f(x0) aln x0 x aln x0aaln a0.)因为f(1)1，所以f(x0)f(1)0，此时函数f(x)有一个零点当a0时，令f(x)0，解得x.当0x时，f(x)时，f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增要使函数f(x)有一个零点，则f()aln0，即a2e.综上所述，若函数f(x)恰有一个零点，则a2e或a0. 利用导数研究两函数图象的交点问题已知函数f(x)x(aR)，g(x)ln x若关于x的方程f(x)2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根，求a的值 由f(x)2e，得x2e，化为x22exa.问题转化为函数h(x)与m(x)x22exa有一个交点时，求a的值由h(x)，得h(x).令h(x)0，得xe.当0x0；当xe时，h(x)0.所以h(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减所以当xe时，函数h(x)取得最大值，其值为h(e).而函数m(x)x22exa(xe)2ae2，当xe时，函数m(x)取得最小值，其值为m(e)ae2.所以当ae2，即ae2时，方程f(x)2e只有一个实数根 (1)利用f(x)g(x)的解yf(x)与yg(x)的图象交点的横坐标，可将方程的解的问题转化为两函数图象的交点问题，从而可利用数形结合的思想方法进行求解(2)在具体转化时，要注意对方程f(x)g(x)尽量进行同解变形，变到两边的函数是熟悉的形式或较简单的形式，以便于对其图象特征进行研究3(经典真题)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0，当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)，h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点1利用导数研究函数的零点及其零点分布问题的基本步骤：(1)构造函数，并确定定义域；(2)求导，确定单调区间及极值；(3)作出函数的草图；(4)根据草图直观判断函数的零点的情况或得到零点所满足的条件2处理函数yf(x)与yg(x)的图象的交点问题，常用方法有：(1)数形