概率论第一章随机事件及其概率.ppt

概率论与数理统计,统计学院 汪家义,二、 随机现象,四、 随机事件,一、 概率论的诞生及应用,三、 随机试验和样本空间,1.1随机事件,第一章 随机事件及其概率,五、 事件的集合表示,六、 事件的关系与运算,七、 事件运算的性质,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念,一、概率论的诞生及应用,1. 概率论的诞生,2. 概率论的应用,概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、 地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,二、随机现象,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.,2. 随机现象,“函数在间断点处不存在导数” 等.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,确定性现象的特征,条件完全决定结果,结果有可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.,实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.,结果: 弹落点会各不相同.,实例4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,其结果可能为:,正品 、次品.,实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.,实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.,实例7 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨.,随机现象的特征,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果,2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,1. 可以在相同的条件下重复地进行;,2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果;,3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,定义,三、随机试验和样本空间,（一）随机试验,说明,1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.,实例 “抛掷一枚硬币,观 察字面,花面出现的情况”.,分析,2. 随机试验通常用 E 来表示.,(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;,1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.,同理可知下列试验都为随机试验.,(2) 试验的所有可能结果:,字面、花面;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,样本点e,现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .,（二）样本空间,例1 将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:,S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),(H,T)：,(T,H):,(T,T)：,(H,H):,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,则样本空间,实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例3 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.,实例4 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.,实例5 记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.,2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同.,例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为,若观察出现正面的次数 , 则样本空间为,说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同.,所以在具体问题的研究 中 , 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.,随机事件 在一个随机试验中，可能发生也 可能不发生的结果称为随机事件，简称为事件。 通常以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件。,试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, ,“出现6点”,“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.,四、随机事件,例如 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件.,必然事件 随机试验中必然会出现的结果.,不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.,例如 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.,例如 “出现1点”, “出现2点”, , “出现6点”.,基本事件:对于一个随机试验来说，它的每 一个结果（样本点）是一个最简单的随机事件， 称为基本事件。,(相对于观察目的不可再分解的事件),五、事件的集合表示,随机事件是样本空间中具有相同特征的样本 点构成的集合，它可以看成是样本空间的一个子 集合。当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生。,（1）当且仅当集合A中的一个样本点出现时, 称事件A发生.,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .,事件 B=掷出奇数点,两点说明：,(2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,复合事件,两个特殊事件,六、事件的关系及其运算,1. 事件的包含：如果事件A的发生必然导致事 件B的发生，即属于A的每个样本点也都属于B， 则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B， 记作 或 。,如 A=“长度不合格” ，B= “产品不合格”,所以 A 包含于B. 即,B,因为“长度不合格” 必然导致 “产品不合格”,2. 事件的相等：如果事件A包含事件B，且事 件B也包含事件A，则称事件A与事件B相等。即事 件A与事件B的样本点完全相同。记作A=B 。,3. 事件的并(或和)：“事件A和B至少有一个发 生”是一个随机事件，这一事件称作事件A与B的 并(或和)，记作 或 。,例如 设某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,记A= “产品不合格”，B=“长度不合格”，C=“直径不合格”.则,A,事件 A 与 B 的并的文示图,4. 事件的交(或积): “事件A和B都发生”是一 个随机事件，这一事件称作事件A与B的交(或积)， 记作 或 。,A,B,AB,例如 设某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,记A= “产品合格”，B=“长度合格”，C=“直径合格”.则,事件 A 与 B 的积事件的文(Venn)图,同样，事件交运算也可以推广到有限个或可列无穷个事件上去。,和事件与积事件的运算性质：,注：类似集合的证明方法可证明上述事件 的运算性质。,5. 事件的差 : “事件A发生而事件B不发生”是 一个随机事件，这一事件称作事件A与B的差。它是 由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合。记作 A-B 。,A,B,例如 记C=“长度合格但直径不合格” ，A= “长度合格”，B=“直径合格”.则 C = A - B。可以证明：,6. 互不相容事件: 如果事件A与B不能同时发生， 即 ，则称事件A与B是互不相容的（或称事 件A与B是互斥的）。显然，任意两个基本事件是 互不相容的。,例如 抛掷一枚硬币, 记A=“出现花面”，B= “出现字面” 则，A、B是互不相容（互斥）的两个事件.,互斥事件 的文氏图,7. 对立事件 : “事件A不发生”是一个随机事件， 这一事件称作事件A的对立事件（或A的逆事件）。 记作 。由于A也是 的对立事件，因此，称A 与 互为对立事件。,例如 “骰子出现1点” “骰子不出现1点”,B,若 A 与 B 互逆,则有,显然有：,8. 完备事件组 :若n个事件 , 满足以下两个条件： (1) (2) 则称事件 构成一个完备事件组。,例如 掷一枚骰子，记Ai = “骰子出现 i 点” (i= 1,2, ,6) 则A1, A2 , ,A6 构成一个完备事件组.,化整为零 各个击破,完备事件组在简化事件概率的计算中有重要应用。,七、事件运算的性质,注意：（1）事件的运算与数的运算的区别。,设A、B、C是随机事件举例说明下列 命题或等式不成立。,1）若A+B=A+C，则B=C；,2）若AB=AC，则B=C；,3）A-(B-C)=A-B+C；,4）(A+B)-B=A+(B-B)=A;,5）(A-B)+B=A。,正确结论是 (A+B)-B=A-B,正确结论是 (A-B)+B=A+B,（2）对立事件与互斥事件的区别。,B,A、B 对立,A、B 互斥,互 斥,对 立,请自举一例说明互斥但不对立（不互逆）。,(1) A 出现 , B, C 不出现;,(5) 三个事件都不出现;,(2) A, B都出现, C 不出现;,(3) 三个事件都出现;,(4) 三个事件至少有一个出现;,(6) 不多于（至多有）一个事件出现;,该事件的等价描述是“至少有两个事件不出现”。,例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A, B, C 表示出来.,总个数3-1,所以该事件也可表示为,(7) 不多于（至多有）两个事件出现;,该事件的等价描述是“至少有1个事件不出现”。,该事件也可以描述为“三个事件不都出现”。,该事件的逆事件是“三个事件都出现”。,(8) 三个事件至少有两个出现;,(9) A, B 至少有一个出现, C 不出现;,(10) A, B, C 中恰好有两个出现.,该事件的等价描述是“三个事件至多有1个事件 不出现”。,该事件的另一种表示法是,注意：这种表示法中的三个事件并非两两互斥的事件,例2 设事件A表示“甲产品畅销，乙产品 滞销”，如何表述A的逆事件？,解 记B= “甲产品畅销”，C=“乙产品滞销”，,则A=BC，由摩根律,所以， A的逆事件表述为“甲产品滞销或乙产品,畅销”。,例3 向一目标射击三次，用事件A表示,“至多有一次击中目标”，则A的逆事件可表述为：,解 设Bi （i=1,