黄安基--第10章动量定理.pps

102 质点系动量定理,103 质心运动定理,101 质点动量定理,20120910第十章 动量定理,网上作业系统 1、告知作业网站的网址：222.18.54.19homework。 2、告知学生用户的初始密码都是：123。 3、开学三周之内改选过教学班的学生，需要同时利用作业系统的“选课”功能更改一下选课，使作业系统中的选课与教务处网站上的选课结果相同。 4、开学后才选课的学生，可先通过作业系统提交一份登录申请，并等候教师审批。,在前面一章讨论的是质点动力学基本方程，将其应用于整个质点系从而得到动力学普遍定理。,动力学普遍定理包括质点与质点系的动量定理、质心运动定理；质点与质点系的动量矩定理、相对质心的动量矩定理；质点与质点系的动能定理等。, 质点动量定理的微分形式,由动力学第二定律，有,（101）,上式表明质点动量的变化率等于作用在质点上的合力，此即为质点的动量定理。,101 质点动量定理,由于质量m为常量，所以,式中 质点的动量，其大小等于质点的质量m与它在某瞬时速度 的乘积，其单位 ，它是一个矢量。,写成微分形式,（102）,这是微分形式的质点动量定理。,称为元冲量, 质点动量定理的积分形式,考虑从t1到t2时间间隔内，,（103）,上式表明，在任一时间间隔内，质点动量的增量等于作用在质点上的力在同一段时间的冲量。这就是质点动量定理的积分形式。,（104）,称为力 （时间的函数）在时间间隔（ ）内的冲量。,冲量是矢量，在任一时间间隔内，合力的冲量等于各个分力的冲量的矢量和，单位N.s。,（105）, 质点动量守恒,在直角坐标轴上的投影形式为,若 ，则有 。,则质点动量在x轴方向分量保持不变。,由n个质点组成的质点系，对i质点，若其受到内力 、外力 作用。,由动量定理有：,将质点系中每个质点应用动量定理并相加，有,因内力成对出现，故内力和为零，即,故,20121126102 质点系的动量定理,一般简写为,各质点动量的矢量和，称为质点系的动量，用 表示。,（106）,于是有：,（107）,上式称为质点系动量定理的微分形式，即质点系的动量（矢量） 对时间的导数，等于作用于该质点系上所有力矢量和（或外力系的主矢） 。,投影在直角坐标轴上：,（108）,质点系动量的微分等于质点系所受外力系的元冲量的矢量和。,积分后有：,改写为：,（109）,将 改成,上述即为质点系动量定理的积分形式 。,质点系动量在某时间间隔内的改变量，等于各质点系所受全部外力在同一时间间隔内冲量的矢量和。,在坐标轴上投影有：,（1010）,上式表明：在某一时间间隔内，质点系动量在任一固定轴上投影的改变量，等于作用于质点系的外力冲量在同一轴上投影的代数和。, 质点系动量守恒,因此质点系的动量保持不变。,若 ，则有 。,则质点动量在x轴方向分量保持不变。,若作用于质点系上的外力矢量和为零（或外力系的主矢为零） ，则有 ，从而动量增量为零，即,【解 】,考虑小球，建立坐标轴oxy：,根据投影形式的质点动量定理,代入数值得：,Ix、Iy正值，实际方向与假设一致。,其方向：,多学时第一讲,1、质量中心,组成质点系各质点的质量及其在空间位置是不同的，,确定质心位置的方法与重心类似：,（1011）,20110907103 质心运动定理,表征质点系的各质点的质量及其位置分布情况的一个几何点称为质量中心，简称质心。,将其向各坐标轴投影得：,（1012）,质点系的动量是各质点动量的矢量和，因此,（1013）,投影在直角坐标轴上：,将式 两边对时间t求导，得：,对于刚体或刚体系统，由于刚体的质心位置容易确定，故采用（10-13）计算动量很方便。,（c）,【解】因为按图示机构，系统可分成3个刚块：OA、AB、和轮B。首先需找出每个刚块的质心速度：,（1）OA作定轴转动，其质心速度在图示瞬时只有水平分量 ，方向水平向左。,（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速度也只有水平分量 ，方向水平向左。,（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的速度方向恒为水平，在图示瞬时 ，方向水平向左。,所以,所以,方向水平向左,例104,已知：均质圆盘在OA杆上纯滚动，m20kg， R100mm， OA杆的角速度为 ，圆盘相对于OA杆转 动的角速度为 ， 。,求：此时圆盘的动量。,解：,2、质心运动定理,对式（1013）求导数：,（1013）,（1014）,结合质点系动量定理，式（107）：,有,（1015）,（107）,上式称为质心运动定理。即，质点系的总质量与质心加速度的乘积等于质点所受外力的矢量和。,对于刚体或刚体系统，由于刚体的质心位置容易确定，故用式（1016）求解问题比较方便。,式（1015）、 （1016）投影形式为,质心运动定理表明：质心的运动只取决于外力，而与内力无关，也与外力是否作用在质心无关。, 质心运动守恒定理,由 ，若 ，则 ， 常矢量。,即若作用于质点系的外力系主矢恒等于零，则质心作惯性运动(保持静止不动或作匀速直线运动状态)，,若质心的初始速度也等于零 ，则 常矢量，即质心位置静止。,若 ，则 ， 常量，即质心在x轴上守恒；,上述的质心运动守恒和质心位置守恒，通常称为质心运动守恒定理。,又若v0在x轴上投影也为零，则 常量，质心在x轴方向静止。,作业： 今天交上次：全部交作业 布置本次： P351,思考题10-9，求动量。,【解】,20120917例105 在静止的小船中间站着两个人，其中甲m150kg，面向船首方向走动1.5m。乙m260kg，面向船尾方向走动0.5m。若船重M150kg，求船的位移。水的阻力不计。,受力有三个重力和一个水的浮力，因无水平力，水平方向质心运动守恒，又因初始静止，即,把坐标原点放在船的质心的初始位置：,设当经过t时间后，船向右移动x，则：,把坐标原点放在船的左侧位置：,设当经过t时间后，船向右移动x，则：,例106 质量为M的大三角形柱体，放于光滑水平面上，斜面上另放一质量为m的小三角形柱体，求：（1）小三角形柱体由静止滑到底时，大三角形柱体的位移；（2）若两三角柱斜面夹角均为，求运动过程中大三角柱加速度、20121128二者速度关系。,解：,选两物体组成的系统为研究对象。,受力分析，,水平方向质心运动守恒,由水平方向初始静止；则,大三角柱、小三角柱都作平动，小三角柱的斜边始终与初始位置平行,质量不计，长为l的杆AB的一端铰接一质量为m的小球A（小球的尺寸可以略去不计），另一端与质量也为m的物块B光滑铰接。物块B放在光滑的水平地面上，初始时系统静止，杆AB铅垂，系统由于微小扰动而运动，求杆AB运动至水平位置时：（1）物块B的位移； （2）地面对物块B的约束力； （3）杆AB的角加速度。,作业： 今天交上次：全部交作业 布置本次：课后习题 10-14、10-16。,作业： 今天交上次：全部交作业 布置本次：课后习题 10-14、10-16。,质点系动量守恒,因此质点系的动量保持不变。,若作用于质点系上的外力矢量和为零（或外力系的主矢为零） ，则有 ，从而动量增量为零，即,质心运动守恒,由 ，若 ，则 ， 常矢量。,即若作用于质点系的外力系主矢恒等于零，则质心作惯性运动(保持静止不动或作匀速直线运动状态)，,若质心的初始速度也等于零 ，则 常矢量，即质心位置静止。,质点系动量定理,质点系质心运动定理,例107 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1，转子质量为m2 ，转子的轴通过定子的质心O1，但由于制造误差，转子的质心O2到O1的距离为e 。求（1）转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力；（2）若电动机的外壳没有固定在水平基础上，求电动机外壳由静止开始运动的水平运动规律。,根据动量定理，有,可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。,系统动量,解: （1）取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图示。,解法一，利用动量定理求解。运动分析：定子质心速度v1=0，转子质心O2的速度v2=e，方向垂直于O1O2。,根据质心运动定理，有,解法二，利用质心运动定理求解。,系统质心坐标,（2）取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图示。,解法一：系统水平方向不受力的作用，水平方向质心运动守恒。,由水平方向初始静止（vC=0）；则,建立O1xy：并令y轴通过初始位置质心，则,（2）,将（2）式积分有：,（3）,代入（3）式得：,解法二：本题也可用质点系动量在水平方向守恒求解：,（1）,转子从铅垂向下位置开始逆时针转动，故,【解】取杆OA为研究对象，受力如（b）图所示。,方向如图所示。则：,建立坐标系oxy，杆OA质心加速度为：,由质心运动定理计算约束反力,【解】,因此，沿x轴方向质心位置应守恒，质心C始终在y轴上，A点的坐标可表示为：,消去 ，得：,即A点的轨迹为椭圆。,建立oxy：并令y轴通过质心，则,，且有AB杆初始静止，,运动分析，设经过时间后，流体AB 运动到位置ab，,例 流体作定常流动（流体速度在管内分布不随时间而变）流过变截面弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体不可压缩，流动稳定，体积流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。,受力分析如图示。,由质点系动量定理；得,流动稳定（定常流动）,静反力 ， 动反力,计算 时，常采用投影形式,与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力,即,压缩性是流体的基本属性。任何流体都是可以压缩的，只不过可压缩的程度不同而已。液体的压缩性都很小，随着压强和温度的变化，液体的密度仅有微小的变化，在大多数情况下，可以忽略压缩性的影响，认为液体的密度是一个常数。 D/DT=0的流体称为不可压缩流体，而密度为常数的流体称为不可压均质流体。 气体的压缩性都很大。从热力学中可知，当温度不变时，完全气体的体积与压强成反比，压强增加一倍，体积减小为原来的一半；当压强不变时，温度升高1体积就比0时的体积膨胀1/273。所以，通常把气体看成是可压缩流体，即它的密度不能作为常数，而是随压强和温度的变化而变化的。我们把密度随温度和压强变化的流体称为可压缩流体。 把液体看作是不可压缩流体，气体看作是可压缩流体，都不是绝对的。在实际工程中，要不要考虑流体的压缩性，要视具体情况而定。例如，研究管道中水击和水下爆炸时，水的压强变化较大，而且变化过程非常迅速，这时水的密度变化就不可忽略，即要考虑水的压缩性，把水当作可压缩流体来处理。又如，在锅炉尾部烟道和通风管道中，气体在整个流动过程中，压强和温度的变化都很小，其密度变化很小，可作为不可压缩流体处理。再如，当气体对物体流动的相对速度比声速要小得多时，气体的密度变化也很小，可以近似地看成是常数，也可当作不可压缩流体处理。,1.选择题,D,（1）设刚体的动量为 ，其质心的速度为 ，质量为M，则式 。（ ）,A、只有在刚体作平动时才成立；,B、只有在刚体作直线运动时才成立；,C、只有在刚体作圆周运动时才成立；,D、刚体作任意运动时均成立；,C,（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ ）,A、无变化；,B、动量大小有变化，但方向不变,C、动量大小无变化，但方向有变化,D、动量大小、方向都有变化,【思考题】,C,（3）一均质杆长为 ，重为P，以角速度 绕O轴转动。试确定在图示位置时杆的动量。（ ）,A、杆的动量大小 ，方向朝左,B、杆的动量大小 ，方向朝右,C、杆的动量大小 ，方向朝左,D、杆的动量等于零,C,A、质点动量没有改变,B、质点动量的改变量大小为 ，方向铅垂向上,C、质点动量的改变量大小为 ，方向铅垂向下,D、质点动量的改变量大小为 ，方向铅垂向下,（4）将质量为m的质点，以速度 v 铅直上抛，试计算质点从开始上抛至再回到原