2020版高考数学一轮总复习第五单元平面向量与复数课时3平面向量的数量积教案文（含解析）新人教A版.docx

平面向量的数量积1理解和掌握平面向量的数量积及其几何意义2掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 知识梳理1两向量的夹角与垂直已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a，b的夹角，特别地，当a与b夹角为90时，我们说a与b垂直，记作ab.2向量数量积的定义已知两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos .规定0与任一向量的数量积为0.3ab的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影设是向量a与b的夹角，则|a|cos 叫做a在b方向上的投影，|b|cos 叫做b在a方向上的投影(2)ab的几何意义：ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积4向量数量积的性质a，b是两个非零向量，它们的夹角为.(1)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；特别地，aaa2|a|2或|a|.(2)ab0ab.(3)cos .(4)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(R)(3)(ab)cacbc.6向量数量积的坐标表示(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(2)若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，|a|.(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|，此时为两点间的距离公式(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(5)a，b是两个非零向量，它们的夹角为，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .1两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线2平面向量数量积的常用公式(1)(ab)2a22abb2.(2)(ab)2a22abb2.(3)(ab)(ab)a2b2. 热身练习1在边长为1的等边ABC中，设a，b，c，则abbcca等于(A)A B0C. D3 因为a，b120，所以ab11cos 120，同理，bcca，所以abbcca.2若a(4,2)，b(4,3)，则a在b方向上的投影是(D)A5 B.C. D2 设a，b的夹角为，因为ab|a|b|cos ，所以a在b上的投影为|a|cos 2.3已知a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a(C)A1 B0C1 D2 由题意可得a22，ab3，所以(2ab)a2a2ab431.4(2018北京卷)已知向量a(1,0)，b(1，m)若a(mab)，则m1. 因为a(1,0)，b(1，m)，所以mab(m1，m)又a(mab)，所以a(mab)0，即m10，解得m1.5(2016北京卷)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为. 由题意得|a|2，|b|2，ab112.设a与b的夹角为，则cos .因为0，所以. 向量的数量积、模已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，则：(1)(2ab)(a3b)_；(2)|ab|_. 因为|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，所以ab|a|b|cos 12023()3.(1)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25ab3|b|28152734.(2)|ab|. (1)34(2) (1)求平面向量的数量积的基本方法：利用定义；利用坐标运算；利用运算律(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：a2aa|a|2或|a|；|ab|；若a(x，y)，则|a|.1(1)(经典真题)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则2.(2)(经典真题)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab (A)A1 B2C3 D5 (1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，所以(1,2)，(2,2)，所以1(2)222.(2)因为|ab|，所以a22abb210，又|ab|，所以a22abb26.得4ab4，所以ab1. 向量的夹角(2017山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_ (方法一)由题意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos 60，解得.(方法二)因为e1，e2是互相垂直的单位向量，故可将e1，e2作为两个单位正交基底，建立直角坐标系，所以ae1e2(，1)，be1e2(1，)，所以|a|2，|b|，ab，因为a与b的夹角为60，所以cos 60，所以. (1)本题考查向量的模、数量积的计算以及两个向量的夹角公式的应用，考查运算求解能力(2)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角公式，尤其对|a|要引起足够重视，它能实现模与数量积的转化，是求距离的常用方法2(2018石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为(A)A. B.C. D. (方法一)因为|ab|ab|，所以|ab|2|ab|2，所以ab0，又|ab|2|b|，所以|ab|24|b|2，所以|a|23|b|2，所以|a|b|，所以cosab，a，所以ab与a的夹角为.(方法二)设a，b，ab，由|ab|ab|，知平行四边形OACB为矩形，|ab|ab|2|b|知，所以sinab，a，所以ab与a的夹角为. 向量数量积的综合运用(2016天津卷)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B.C. D. 先把，分别用基底，表示出来，再计算其数量积 (方法一)如图，由条件可知，所以()()22.因为ABC是边长为1的等边三角形，所以|1，BAC60，所以.(方法二)以BC为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(0，)，B(，0)，D(，)，C(，0)，由2，得(，)2(xF，yF)，则F(，)，所以(，)(1,0). B (1)本题考查平面向量的基本定理、向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力(2)与几何背景相关的数量积计算问题，其基本思路有：基向量法；坐标法(3)当几何图形是特殊三角形或四边形时，一般采用坐标法，即通过建立直角坐标系的方法，将其转化为向量的坐标运算3(2018安徽模拟)在平行四边形ABCD中，AB4，AD3，DAB，点E，F分别在BC，DC边上，且2，则(C)A B1 C2 D. 以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，F(，)，E(5，)，所以(5，)，(，)，所以(5，)(，)5()2.1平面向量a与b的数量积为ab|a|b|cos ，它是一个实数，而不是向量，其中是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180.2计算数量积一般有三种方法：定义