概率统计综合复习题及答案.pdf

高二数学练习 一、选择题 1已知，则（ ） A B C D 2某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每 个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐名同学（乘同一辆车的 名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车 的名同学中恰有名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ） A种 B种 C种 D种 3已知一组数据X1，X2，X3，,Xn的方差是S2,那么另一组数据2X1- 1，2X2-1，2X3-1，,2Xn-1 的方差是（ ） A B C D 4高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行 郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安 排方式有多少种（ ） A B C D 5已知复数，若，则的概率为（ ） A B C D 6若的展开式中常数项为，则的值为 A B C或 D或 7设随机变量的概率分布列为 则（ ） （A） （B） （C） （D） 8已知（），设展开式的二项式系数和为，（），与的大小关系是（ ） A B C为奇数时，为偶数时， D 9某校在一次期中考试结束后，把全校文、理科总分前10名学生的数 学成绩（满分150分） 抽出来进行对比分析，得到如图所示的茎叶图若从数学成绩高于120 分的学生中抽取3人，分别到三个班级进行数学学习方法交流，则满足 理科人数多于文科人数的情况有（ ）种 A3081 B1512 C1848 D2014 10向边长分别为5，6， 的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1 的概率为 （ ） A B C D 11设k是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数y=x2与 y=kx的图像所围成的阴影部分为S，任取x0,4，y0,16，则点（x,y) 恰好落在阴影区域内的概率为（ ） （A） （B） （C） （D） 122015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导 人、除与、与不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤 现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次 会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有 A48种 B36种 C24种 D8种 二、填空题 13设（，）是的展开式中x的一次项系数，则 14如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M，则点M恰好取自 阴影部分的概率是 15某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其 数学成绩分成五段：，它的频率分布直方图如图所示，则该批学生中 成绩不低于90分的人数是_ 16给出下列结论: 扇形的圆心角，半径为2，则扇形的弧长； 某小礼堂有25排座位，每排20个，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学 生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测 试，这里运用的是系统抽样方法； 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“两 次都不中靶”互为对立事件； ； 其中正确结论的序号为 （把你认为正确结论的序号都填 上） 三、解答题 17设有关于x的一元二次方程 （1）若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中 任取的一个数，求上述方程有实根的概率 （2）若是从区间任取得一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程 有实根的概率 18在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸 出一球，若是红球记分，白球记分，黄球记分现从这个盒子中，有放 回地先后摸出两球，所得分数分别记为，设为坐标原点，点的坐标 为，记 （1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率； （2）求随机变量的分布列和数学期望 19（本题满分12分）为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况，对某 班M名学生暑期参加体育锻炼的次数进行了统计，得到如下的频率分布 表与直方图： 组别锻炼次 数 频数 （人） 频率 12004 211022 316 415030 5 62004 合计100 （1）求频率分布表中、及频率分布直方图中的值； （2）求参加锻炼次数的众数（直接写出答案，不要求计算过程）； （3）若参加锻炼次数不少于18次为及格，估计这次体育锻炼的及格 率。 20（本小题满分12分）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算 从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动。这10名教 师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人 求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率； （2）选出的3人中，语文教师人数的分布列和数学期望 21已知二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比 为8：3 （1）求n的值； （2）求展开式中项的系数 （3）计算式子的值 22（本小题满分12分） 为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学 生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取名 学生进行问卷调查，根据问卷取得了这名同学每天晚上学习时间（单 位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组 ， ， ， ， ， ， ， ，得到频率分布直方图如下，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少 于60分钟的人数为5人： （1）求的值并补全下列频率分布直方图； （2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间 的标准，对抽取的名学生，完成下列列联表： 利用时间充 分 利用时间不充 分 总计 走读生 住宿生 10 总计 据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？ （3）若在第组、第组、第组中共抽出3人调查影响有效利用时间 的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为，求的分布列及 期望； 参考公式： 参考答案 1D 【解析】 试题分析：，因此其展开式的通项为，令，得，故答案为D 考点：二项式定理的应用 2A 【解析】 试题分析：由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两 个学生要来自不同的年级，从三个年级中选两个为，然后从选择的两个 年级中再分别选择一个学生，为，剩下的4人乘坐乙车 故有种； 第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的三个年级中选择同一 个年级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个年级中分别选择 一人，为，这时共有种 因此共有种不同的乘车方式，故选A 考点：排列组合 【易错点晴】本题主要考查的是排列组合，属于容易题解题时一定要 弄清楚是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理，否则很容易出 现错误 3D 【解析】 试题分析：由已知条件可得，另一组数据方差为 考点：方差 4D 【解析】 试题分析：1班、2班的安排方式有种，剩余4个班的安排方式有种，所 以共有各安排方式，故选D 考点：计数原理 5A 【解析】 试题分析：，这表示以为圆心，半径为1的圆及其内部， 如下图所示，即可知所求概率为，故选A 考点：1复数的性质；2条件概率 6C 【解析】 试题分析：，而根据二项式定理可知，展开式的通项公式为，的展开式 中常数项由三部分构成，分别是与展开式中各项相乘得到，令，则， 则；令，则，则；令，则，则，所以，即，解得：或 考点：二项式定理 7B 【解析】 试题分析：根据概率分布的定义得出：随机变量X的概率分布列为 ，故选：B 考点：离散型随机变量及其分布列 8C 【解析】 试题分析：令得，令得，所以， 所以当为偶数时，当为奇数时， 故选C. 考点：二项式定理. 9C 【解析】 试题分析：成绩高于分的学生共有理科8人，文科9人，从中抽取人，满 足理科人数多于文科人数的有三理零文和二理一文，所以有种情况，故 选C 考点：排列组合综合题 10A 【解析】 试题分析：设所对的角为，以三角形的三个顶点分别为圆心做半径为1 的圆，圆与三角形相交部分的面积等于，三角形的面积是，所以概率等 于 考点：几何概型 11C 【解析】 试题分析：根据题意得 解得：k=4或 （舍去），解方程组 ，解得： x=0或4 阴影部分的面积为 ， ，所以点（x,y)恰好落在阴影区域内的概率 为. 考点：1.二项式定理；2.几何概型. 12A 【解析】 试题分析：五国领导人单独会晤的有AB、AC、AD、AE、BC、BD、CD、 CE，共八场,现在将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行，每个 半天安排两场会晤同时进行因为能同时会晤的共有（AB，CD）， （AC，BD），（AD，CE），（AE，BC）和（AB，CE）、（AC，BD）， （AD，BC），（AE、CD）两种情况，故不同的安排方法共有 考点：排列与组合 1317 【解析】 试题分析：（，）是的展开式中x的一次项系数， ， 故答案为：17 考点：二项式系数的性质；数列的求和 14 【解析】 试题分析： ，所以 则所求概率为 考点：1定积分；2几何概型概率 1565 【解析】 试题分析：根据频率分布直方图，得该批学生中成绩低于90分的概率 是，所以该批学生中成绩不低于90分的概率是1-035=065，所以该 批学生中成绩不低于90分的人数是。 考点：频率分布直方图 16 【解析】 试题分析：因为扇形的圆心角为，半径为2，所以扇形的弧长，所以 正确；符合系统抽样的定义，所以正确；一个人打靶时连续射击两 次，所有基本事件为：两次都不中，中一次，中二次，而“至少有一次 中靶”包括中一次和中二次，所以和“两次都不中靶”互为对立事件， 所以正确；的方差为，所以错误；当有三角函数线可得，所以正 确，故正确的有 考点：1弧长公式；2系统抽样定义；3对立事件概念；4方差性 质；5三角函数线 17（1）；（2） 【解析】 试题分析：（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数 和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计 算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举 出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总 数较多时，注意去分排列与组合；（3）注意判断是古典概型还是几何 概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性 (4)在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形 试题解析：（1）先从四个数中任取一个数为，再从三个数中任取一个 数，记为，共有种选法，其中能使一元二次方程有实数根必须满足， 即为，共有，共9种选法，因此所求的概率 记事件“方程有实根”，由得， 所以当时，方程有实根， 全部结果构成的区域为，其面积为， 构成事件的区域为如图阴影部分，其面积， 考点：1、古典概型求随机事件的概率；2、几何概型求随机的概率 【思路点睛】本题考查的是古典概型的概率计算公式和几何概型的概率 计算公式，属于中档题解题的关键是理解题目的实际意义，把实际问 题转化为概率模型，把相关的知识点转化为事件，列举基本事件，求出 基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计 算；注意判断是古典概型还是几何概型，与面积有关的几何概型，其基 本事件与两个连续的变量有关，先求试验全部结果构成的区域面积，再 求所求的基本事件构成的区域面积，从而求解 18（1）随机变量的最大值为5； ；（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）根据的取值，可得的范围，从而可得的范围根据古 典概型概率公式可求得所求概率（2）根据的取值可分别求得的所有 取值为0，1，2，5时的概率，从而可得其分布列，根据期望公式可求得 其期望值 试题解析：解：（1），可能的取值为1，2，3， ， ， ，且当，或，时， 因此，随机变量的最大值为5 有放回地摸两球的所有情况共有种， （2）的所有取值为0，1，2，5 时，只有，这一种情况； 时，有，或，或，或，四种情况； 时，有，或，两种情况 ， ， 则随机变量的分布列为： 考点：1古典概型概率；2分布列，期望 【易错点晴】本题主要考查的是古典概型概率，属中档题本题的易错 点在于容易忽略有放回地先后摸出两球即的取值可以相同而出错结题 时应加以注意 19（1）50，4，008，008；（2）12；（3）12% 【解析】 试题分析：（1）利用频数/样本容量=频率，求得M；再求得d，e，f的 值；（2）根据众数是最高小矩形底边中点的横坐标求解；（3）及格率 为第五组第六组的频率之和 试题解析：（1） ， ， （2）众数为 （3）（008+004）100%=12% ， 估计这次体育锻炼的及格率为12% 考点：1古典概型及其概率计算公式；2频率分布直方图 20（1） ；（2）的分布列见解析， 【解析】 试题分析：（1）设“选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人 数”为事件A，“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”为事件A1“恰 好选出2名语文教师“为事件A2，”恰好取出3名语文教师”为事件A3由 于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1A2A3；分别计算出事件A1，A2， A3的概率再由概率和公式计算出事件A的概率； （2）首先找出=k的所有可能取值，显然k=0,1,2,3，然后分别计算出k 的每一个取值时的概率，即得的分布列，再利用数学期望公式求其数学 期望 试题解析：（1）解：设“选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师 人数”为事件A，“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”为事件 A1“恰好选出2名语文教师“为事件A2，”恰好取出3名语文教师”为事 件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1A2A3而 P（A2）=P（X=2）= ,P（A3）=P（X=3）= , 所以选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数的概率为 P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）= + + = （2）解：由于从10名教师中任选3人的结果为，从10名教师中任取3 人，其中恰有k名语文教师的结果数为，那么从10人任选3人，其中恰有 k名语文教师的概率为P（X=k）= ,k=0,1,2,3 所以随机变量X的分布列是 X0123 P X的数学期望EX= 考点：1、和事件的概率公式；2、分布列与数学期望 【易错点晴】本题考查和事件的概率公式、分布列与数学期望，属中档 题解题时一定要注意弄清事件与事件之间的关系，否则容易出错；再 就是计算一定要准确无误 21（1）；（2）180；（3）1. 【解析】 试题分析： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公 式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值， 求展开式的系数和，属于基础题第一问，直接利用条件可得，求得n 的值；第二问，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出 r的值，即可求得展开式中x3项的系数第三问，在二项展开式中，令 x=1，可得式子的值 试题解析：（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8： 3，可得， 化简可得，求得 （2）由于二项展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系 数为 （3）由二项式定理可得， 所以令x=1得. 考点：二项式定理的应用；二项式