通信原理精品课件第2章确知信号分析.ppt

第2章 确知信号分析,2.1 引言 2.2 周期信号的频谱分析 2.3 非周期信号的频谱分析 2.4 傅氏变换的基本性质及应用 2.5 信号通过线性系统不失真传输条件 2.6 波形相关 2.7 谱密度和帕塞瓦尔定理 2.8 信号的带宽 本章小结 习题,2.1 引 言 2.1.1 常用信号的分类 1. 确知信号和随机信号 能用确定的数学表示式描述的信号称为确知信号。确知信号的基本特征是：不论过去、现在或未来的任何时间，其取值总是惟一确定的。还有些信号没有确定的数学表达式，当给定一个时间值时，信号的数值并不确定，通常只能知道其取值的概率，这种信号称为随机信号。,通信系统中的信号可分为两大类：确知信号和随机信号。确知信号在系统中主要参与对通信信号(携带信息的信号)的变换，如调制用的载波信号、取样用的取样脉冲信号、同步电路中用的同步码组等。通信系统中的随机信号包括通信信号和噪声。通信信号一定具有某种随机性，因为完全确知的信号不携带信息，所以通信信号是随机信号。另外，通信系统中存在的噪声几乎都是随机信号。,2. 周期信号和非周期信号 如果一个信号f(t)可描述为： f(t)=f(t+kT0)，其中T0(常数) 0；k为整数，则称f(t)为周期信号，T0为周期。反之，不满足此关系式的信号称为非周期信号。,3. 能量信号和功率信号 通信信号f(t)的能量(消耗在1电阻上)E为 其平均功率P为 若信号的能量有限(即0E)，则称该信号为能量信号； 若信号的平均功率有限(0P)，则称该信号为功率信号。 能量信号的平均功率(在全时间轴上的平均)等于0，而功率信号的能量等于无穷大。持续时间无限的信号一定是功率信号，而持续时间有限的信号则是能量信号。,2.1.2 常用系统的分类 在通信领域中，系统是一个很灵活的概念，它所包括的范围可大可小。例如，它可以包含移动用户、基站、传输信道等庞大的移动通信系统，也可以小到通信设备中的某一具体电路。数学上，系统是用它的输入信号f(t)和输出信号r(t)之间的函数关系来描述的，如图2.1.1所示。 输入输出之间的关系记作： r(t)=gf(t)，其中，“g”是由系统的结构所决定的函数关系。下面从此函数关系的特点出发，讨论系统的分类。,图2.1.1 系统的方框图,1. 线性系统和非线性系统 均匀性和迭加性是判别系统是否为线性系统的依据。 均匀性。在图2.1.1所示的系统中，如果下式成立 kr(t)=gkf(t) (2-1-1) 式中，k为任一常数，则称系统满足均匀性。均匀性表明，当输入信号增大k倍时，系统的输出信号也增大k倍。,迭加性。在图2.1.1所示系统中，假设当输入为f1(t)时，输出为r1(t)； 当输入为f2(t)时，输出为r2(t)。那么当输入为f1(t)+f2(t)时，若输出为r1(t)+r2(t)，即 r1(t)+r2(t)=gf1(t)+f2(t) (2-1-2) 则称该系统满足迭加性。 凡是既满足均匀性又满足迭加性的系统，称为线性系统，否则称为非线性系统。,2. 时不变系统与时变系统 时不变系统(也称为恒参系统)是指系统内的参数不随时间而变化的系统，其输入输出信号的函数关系也不随时间而变化。即若r(t)=gf(t)，则有 r(t-t0)=gf(t-t0) (2-1-3) 这说明对时不变系统，当输入信号延时t0时，输出信号只是相应地延时了t0，而输出信号的形状并没有发生变化。若不满足(2-1-3)式，则称为时变系统(也称随参系统)。在时变系统中，在不同时刻输入信号，即使输入信号相同，也会得到不同的输出信号。,3. 物理可实现系统与物理不可实现系统 物理可实现系统是指系统的输出不可能在系统的输入加入之前就出现。设t=0时刻开始在输入端加入信号，则在t0时，输出r(t)才可能有值。凡是实际的系统都是物理可实现系统。 那么为什么要引入物理不可实现系统的概念呢？这是因为它能提示信号传输的某些规律，简化问题的分析。理想低通滤波器就是一个物理不可实现的系统，它在输入还没出现之前，就已经有输出信号了。,2.2 周期信号的频谱分析 频谱分析是指找出信号包含的频率成分，包括其幅度、相位和分布。信号的频谱在通信原理课程中占有极其重要的地位。 频谱分析的目的： (1) 信号f(t)有哪些频率成分。 (2) 各频率成分幅度、相位大小。 (3) 主要分量占据的频带宽度(包括频域中的位置)。 确知信号频谱分析的方法： (1) 傅氏级数，其研究对象是周期信号。 (2) 傅氏变换，其研究对象是非周期信号。,2.2.1 周期信号的三种傅氏级数表示法 1. 基本表示式 (2-2-1) 在式(2-2-1)中： 是周期信号f(t)的平均值(直流分量)； 是周期信号f(t)的第n次余弦波的振幅；,是周期信号f(t)的第n次正弦波的 振幅； 称为周期信号的基波频率。,式(2-2-1)的物理意义：一个周期为T0的信号可以分解成一个直流分量A0，以及无穷多个频率为nf0幅度分别为An、 Bn的余弦波及正弦波。 An、 Bn的值与周期信号本身有关，即频率nf0的余弦波及正弦波的幅度由周期信号决定。式(2-2-1)也说明一个周期信号是由直流成分和无穷多个频率为nf0幅度分别为An、 Bn的余弦波及正弦波组成的。 式(2-2-1)存在的缺点：同一频率成分，要用相互正交的两项表示，应用起来不方便。,2 余弦函数表示式 由三角公式可知： 其中，,由此可得，周期信号f(t)的余弦表示式为 (2-2-2) 其中，C0=A0。 式(2-2-2)的物理意义：一个周期为T0的信号可以分解成一个直流分量C0及无穷多个频率为nf0的余弦波，这些余弦波的幅度及相位分别为Cn和n。由此可见，式(2-2-2)的物理概念更加清楚，直流与各次谐波分量的振幅和相位一目了然。 式(2-2-2)存在的缺点：振幅和相位的计算复杂。,3. 指数函数表示式 周期为T0的信号f(t)还可用如下所示的指数形式表示： (2-2-3) 其中， 式(2-2-3)是由余弦表示式经数学推导得来的，这种表示式没有什么物理意义，纯属数学上的表示式，但它能给分析带来方便，是傅氏变换的基础，也是本课程最常用的一种表示式。由于n的取值是离散的，所以式(2-2-1)、(2-2-2)和(2-2-3)表示的频谱也是离散的。,2.2.2 典型周期信号的频谱分析 周期矩形脉冲信号是通信中最常用到的信号之一，因此我们选择它作为典型信号进行分析，并通过它归纳出周期信号频谱的特点。 一个典型的周期矩形脉冲信号f(t)的波形如图2.2.1所示，脉冲宽度为，高度为A，周期为T0。,图2.2.1 周期矩形脉冲,(2-2-4),式中， 称为取样函数或取样信号。Vn与f(t)的关系曲线如图2.2.2所示。图中画出了不变，而T0分别为5、10时的频谱图。谱线的包络按照Sa(f)的曲线(图示中虚线)变化。第一个零点出现在 处。,图2.2.2 周期矩形脉冲频谱图,根据研究的问题不同，也可分别画出振幅频谱|Vn|-f 图和相位频谱n-f 图，如图2.2.3所示。,图2.2.3 周期矩形脉冲的振幅谱和相位谱,从图2.2.2和图2.2.3中可以看出，周期矩形脉冲信号的频谱有以下几个特点： (1) 离散性。频谱由不连续的谱线组成，即是离散谱，它包括基波频率f0和各次谐波频率，谱线间隔为f0。 (2) 谐波性。谐波与基波是整倍数关系，即各谐波频率等于nf0。 (3) 各次谐波的振幅变化规律是按取样函数变化的。最大值出现在f=0处，零点在f=k/处 (k=1, 2, 3, )，其中第一个零点对应的频率为f=1/，所以的大小决定第一个零点的位置。 值得注意的是，离散性和谐波性对于任何周期信号都是适用的。不同形状的周期信号的频谱的区别主要在于频谱包络的变化规律不同。,例2.2.1 周期为T0的冲激脉冲信号如图2.2.4(a)所示。 (1) 求其指数型傅氏级数展开式。 (2) 画出Vn-f关系图。 解 (1) 根据式(2-2-3) 得周期冲激脉冲信号的傅氏级数展开式为,(2) Vn-f关系如图2.2.4(b)所示。,图2.2.4 周期冲激脉冲信号及其振幅谱,通常把F(f)叫做f(t)的频谱密度函数，简称频谱。它的物理意义是单位频率占有的振幅值。信号f(t)与其频谱F(f)之间存在着一一对应的关系。也就是说，f(t)给定后，F(f)惟一确定； 反之亦然。因此，信号既可以用时间函数f(t)来描述，也可以用它的频谱F(f)来描述。傅氏变换提供了信号在频率域和时间域之间的相互变换关系。习惯上，由f(t)去求F(f)的过程叫做傅氏变换，而由F(f)去求f(t)的过程称为傅氏反(逆)变换。信号f(t)与其频谱F(f)组成傅氏变换对，记作,因此，对于一个非周期信号，为了分析它所包含的各频率成分的大小与分布情况，可以用傅氏变换求出其频谱函数，根据频谱函数对信号进行分析。 F (f )的特点： (1) F (f )对应的频谱是连续谱。 (2) F (f )通常是一个复函数，可写成 ，其中|F (f )|-f 是振幅谱， 为相位谱。,2.3.2 通信中常用信号的频谱函数 1. 矩形脉冲信号的傅氏变换及矩形频谱的傅氏反变换 矩形脉冲信号可表示为 利用傅氏变换公式(2-3-1)可求出其频谱函数为,矩形脉冲的波形及频谱如图2.3.1所示。其频谱有如下几个主要特点： (1) 频谱连续且无限扩展； (2) 频谱形状为取样函数，频率为零处幅度值最大，等于矩形脉冲的面积； (3) 频谱有等间隔的零点，零点位置在n/(n=1，2，)处。信号90%以上的能量集中在第一个零点以内，通常将第一个零点的宽度(正频率部分的宽度)定义为信号的带宽，所以矩形脉冲信号的带宽为1/； (4) 当矩形脉冲宽度变窄时，带宽增大； 反之，当脉冲宽度增大时，信号的带宽变窄。通俗地说，信号在时域中的宽度越窄，则在频域中的宽度就越宽； 信号在时域中的宽度越宽，则在频域中的宽度就越窄。,图2.3.1 单个矩形脉冲波形及其频谱,经常还会碰到另一种情况，信号的频谱函数具有矩形特性，如图2.3.2所示，那么它的时间波形又是什么样的呢？即当 时，求时间函数f (T)。 用傅氏反变换式(2-3-2)可求得时间函数为 矩形频谱及它的时间波形如图2.3.2所示。,图2.3.2 矩形频谱及其时间波形,2 冲激信号的傅氏变换及冲击频谱的傅氏反变换 冲激信号的定义为 根据傅氏变换的公式，得到(T)的频谱函数为 图2.3.3是冲激信号(T)的波形及频谱。,图2.3.3 冲激函数及其频谱,反过来，当信号的频谱为冲激函数，即F (f )=(f )时，其时间波形为 频谱函数及波形如图2.3.4所示。,图2.3.4 冲激频谱及其时间波形,从图2.3.3及图2.3.4中可得出这样的结论： 一个时域无限窄的信号(如(T)，其频域无限宽(如F(f )=1)。反之，若时域无限宽的信号(如f (T)=1)，其频域无限窄(如F(f )=(f )。,3 升余弦脉冲信号的傅氏变换及升余弦频谱函数的傅氏反变换 在通信中，升余弦脉冲信号常用来取代矩形脉冲信号作为数字脉冲信号。图2.3.5是升余弦脉冲信号的波形及频谱示意图。其数学表达式及频谱函数如下 经计算化简得到,图2.3.5 升余弦脉冲信号的波形及频谱,升余弦脉冲信号频谱的特点： (1) 频谱在频率为零处有最大幅度值A/2，此值等于升余弦脉冲的面积； (2) 频谱有等间隔的零点，零点位置在n/(n=2, 3, )处； (3) 频谱第一个零点的位置是2/，和矩形脉冲的频谱相比，升余弦脉冲的频谱在第一个零点内集中了更多的能量。如果用第一个零点的频率值作为带宽的话，显然，在相同时，升余弦脉冲信号的带宽是矩形脉冲信号带宽的2倍； (4) 和矩形脉冲相比，此频谱幅度随频率衰减的速度更快。,当频谱函数为升余弦特性时，即 其傅氏反变换就是此频谱的时间波形，为 经计算得 升余弦频谱函数及其时间波形如图2.3.6所示。,图2.3.6 升余弦频谱及其时间波形,2.3.3 周期信号的频谱函数 一个周期信号的频谱可以用傅氏级数展开式进行分析，我们知道一个周期信号f (T)可表示为 其中，f 0=1/T0, T0是周期信号的周期。根据傅氏变换，f (T)的频谱函数为 又由于 ，所以 (2-3-3),例2.3.1 求周期冲激脉冲信号的频谱函数(设周期为T0，冲激脉冲的幅度为1)。 解由例题2.2.1得到，周期冲激脉冲信号的傅氏级数展开式为 。 所以其频谱为 周期冲激脉冲信号及其频谱如图2.3.7所示。在数字通信中将用到此信号的频谱函数。,图2.3.7 周期冲激脉冲信号及其频谱,例2.3.2 求f (T)=Acos2f0T信号的频谱函数。 解 Acos2f0T可变换为 因为 所以余弦信号f (T)=Acos2f 0T的频谱为,频谱图如图2.3.8所示。我们知道上述余弦信号只含有f 0一个频率成分，幅度为A。而频谱图上除了f0处有谱线外，-f 0处也有谱线。这并不代表余弦信号有两个频率成分，这只是一种数学上的表示，这种频谱称为双边谱。在这种频谱中，每个频率成分的幅度分成两半，正负频率上各画一根谱线且完全对称，幅度都是原幅度的一半。如此例中，将f 0成分的幅度A分成两个A/2，f 0频率处各画一根谱线，幅度都为A/2。,图2.3.8 频谱,表2-3-1列出了通信中常用的几种信号的傅氏变换对，供以后使用时参考。,注： 单个矩形脉冲信号有时被称做门信号，常用D(T)表示，其数学表示为 表示周期单位冲激序列，其表示式为 ，T0为周期。 表示周期矩形脉冲序列，其表示式为 ，T0为周期。,2.4 傅氏变换的基本性质及应用 2.4.1 频率卷积定理及其应用 1 频率卷积定理 若f 1(T)的频谱函数为F1(f )，f2(T)的频谱函数为F 2(f )，则f1(T)、 f 2(T)乘积的频谱为 (2-4-1) 式(2-4-1)称为频率卷积定理。由此定理可知：两个时域信号乘积的频谱，等于两个时域信号频谱的卷积。因此，求两个时域信号乘积的频谱就有两种方法： (1) 先求两个时域信号f 1(T)、 f 2(T)的乘积f (T)=f 1(T)f 2(T)，再用傅氏变换求出f (T)的频谱。但这种方法有时不易求解。,(2) 应用频率卷积定理，先分别求出两个时域信号f 1(T)、 f2(T)的频谱F1(f )及F 2(f )，再求F1(f ) 与F2(f )的卷积。这种方法有时更易求解。,2 频率卷积定理的应用 频率卷积定理在本课程中主要用在调制和解调的频率变换中。调制器中经常遇到图2.4.1所示的相乘器，输入调制信号x(T)，载波为c(T)，输出为xc(T)=x(T)c(T)。求xc(T)的频谱时就可用频率卷积定理。,图2.4.1 相乘器,例如，当载波c(T)=cos2f 0T时，相乘器输出信号xc(T)=x(T)cos2f 0T。设信号x(T)的频谱X(f )如图2.4.2(a)所示，则xc(T)=x(T)cos2f 0T的频谱为 由前面的讨论得,图2.4.2 载波c(T)=cos2f 0T时的频谱,频谱图如图2.4.2 (b)所示。所以 从上述求得的频谱函数表达式可以看出，xc(T)的频谱Xc(f )为x(T)的频谱X(f )在频率轴上平移至f0处，幅度减至X(f )幅度的1/2。 xc(T)的频谱图如图2.4.2(c)所示。 这是连续载波调制的频谱变换关系，是一个极为重要的关系式，它说明了信号在时域乘以一个余弦信号，即可实现信号频谱在频域的搬移。,2.4.2 时域卷积定理及其应用 1. 时域卷积定理 若信号f 1(T)的频谱函数为F1(f )，信号f 2(T)的频谱函数为F2(f )，则F 1(f )F2(f )的傅氏反变换为f 1(T)*f 2(T)。即 (2-4-2) 式(2-4-2)称为时域卷积定理。它的含义是：两个频谱函数乘积所对应的时间函数，等于两个频谱函数各自对应的时间函数的卷积。因此，求两个频谱函数乘积的时间函数也有两种方法：,(1) 先求出两个频谱函数的乘积F1(f )F 2(f )，再求其傅氏反变换F-1F1(f )F2(f )，此傅氏反变换即为F1(f )F2(f )所对应的时间函数，这种方法称为频谱函数法。由于求F -1F1(f )F2(f )往往比较复杂，数学计算上困难较大。,(2) 先求两个频谱函数各自的傅氏反变换，得到两个频谱函数各自的时间函数f 1(T)=F-1F1(f )及f 2(T)=F -1F2(f )，再求两个时间函数的卷积f 1(T)*f 2(T)，这种方法称为时域卷积定理法。这种方法有时比频谱函数法应用起来方便一些，因此也用得多一些。,2. 时域卷积定理的应用 时域卷积定理在通信中常应用于信号通过线性系统，如图2.4.3所示。输入信号x(T)的频谱函数为X(f )，线性系统的传输特性(函数)为H(f )，冲激响应为h(T)。此时可用时间卷积定理来求系统的输出信号r(T)。,图2.4.3 信号通过线性系统,系统输出信号的频谱R(f )等于系统输入信号的频谱X(f )乘以系统的传输特性H(f )，即 R(f )=X(f )H(f ) 它的傅氏反变换就是系统的输出信号r(T)，也等于输入信号x(T)与系统冲激响应h(T)的卷积。因此有 当输入信号为冲激函数，即x(T)=(T)时，X(f )=1，输出r(T)为 用时域卷积定理，也可得到 r(T)=x(T)*h(T)=(T)*h(T)=h(T),由此也可知，当系统输入为冲激函数时，输出信号等于系统传输特性的傅氏反变换h(T)，所以称h(T) 为系统的冲激响应。 除了上述介绍的频率卷积定理和时间卷积定理外，在后续内容的学习中还会用到其它一些傅氏变换运算特性，现将它们列于表2-4-1中，供学习时参考。,2.5 信号通过线性系统不失真传输条件 信号通过线性系统时，其输出与系统的传输特性H(f )(或冲击响应h(T)有密切的关系。如果要保证输出信号不失真，则对系统的传输特性有一定的要求。 信号不失真是指任一信号x(T)通过线性系统时，其输出信号波形y(T)和输入信号波形x(T)形状相同。注意：成比放大、缩小和有固定延迟时间等均不算作失真。根据这一定义，我们可以写出无失真时，输入输出信号之间的关系为 y(T)=kx(T-T0) (2-5-1),信号不失真是指任一信号x(T)通过线性系统时，其输出信号波形y(T)和输入信号波形x(T)形状相同。注意：成比放大、缩小和有固定延迟时间等均不算作失真。根据这一定义，我们可以写出无失真时，输入输出信号之间的关系为 y(T)=kx(T-T0) (2-5-1) 式中，k和T0均为常数，k是衰减(或放大)系数，T0为固定的时延。对上式进行傅氏变换，根据时延特性有 所以，对于不失真传输系统 (2-5-2),上式表明，要保证信号通过线性系统不产生失真，系统的传输特性必须具备下列两个条件： (1) 系统的幅频特性是一个不随频率变化的常数，即 |H(f )|=k (2-5-3) (2) 系统的相频特性是一条通过原点的直线，斜率为 2T0，即 (f )=-2f T0 (2-5-4),式(2-5-3)及式(2-5-4)所表示的幅频特性和相频特性如图2.5.1所示。由图可知，具有这样幅频特性和相频特性的系统，任何一个频率成分通过它时所受到的幅度衰减(或放大)都是相同的(都为k)，受到的时间延迟也都是相同的(都为T0)。显然，这样的系统实际是不存在的。但现实中通过系统的信号所包含的频率成分是有限的，所以在实际应用中，只要信号通过系统时每个频率成分受到的幅度衰减和时间延迟是相同的，我们就认为此系统是无失真系统。,图2.5.1 线性无失真系统的幅频特性和相频特性,例2.5.1 设有信号x(T)=2 cos2000T cos1000T，分别通过图2.5.2(a)、(b)所示的线性系统。求输出信号的时间表达式，并说明输出信号有无失真。 解 首先分析输入信号中所包含的频率成分。根据三角公式得 可见，输入信号x(T)含有两个离散的频率成分，频率分别为1500 Hz和500 Hz，幅度都为1。,图2.5.2 线性系统的相频特性,(1) x(T)通过图2.5.2(a)所示的线性系统后，输出端两个频率成分的幅度都衰减到0.8，时间上都延迟T0，所以输出信号为 应用三角公式得 输出信号与输入信号相比，只有幅度上的衰减和时间上的延迟，波形形状是相同的，所以输出信号没有失真，图2.5.2(a)所示的线性系统对此输入信号x(T)来说是个无失真系统。,(2) x(T)通过图2.5.2(b)所示的线性系统后，两个频率成分受到的幅度衰减是不一样的，1500 Hz频率成分的幅度由1衰减到0.4，500 Hz频率成分的幅度由1衰减到0.8。两个频率成分受到的时间延迟都是Td，所以输出信号为 由此可知，输入信号中的两个频率成分通过系统时，幅度上受到不同程度的衰减，输出信号的形状不再与输入信号的形状相同，输出信号与输入信号相比有失真，所以此系统对x(T)来说是个有失真系统。,2.6 波形相关 2.6.1 相关函数 相关函数有互相关和自相关两类。一个函数f (T)可求其自相关函数R()。两个函数f 1(T)与f2(T)，可求它们之间的互相关函数R12()。 1. 互相关函数的定义 对于两个能量信号f 1(T)和f 2(T)，其互相关函数定义为 (2-6-1) 对于一般的功率信号f1(T)和f 2(T)，其互相关函数定义为 (2-6-2),对周期功率信号f 1(T)和f 2(T)，其互相关函数定义为 (2-6-3) 其中，T0为周期信号的周期。,2. 互相关函数的物理意义 设f 1(T)和f 2(T)是两个矩形信号，如图2.6.1(a)、(b)所示，它们都是能量信号，由式(2-6-1) 可得两能量信号之间的互相关函数，如图2.6.1(c)所示。 从图2.6.1(c)中可看出，当0时，互相关函数R12()最大，表明两信号f 1(T)和f 2(T)相关程度最紧密。当=0时，两个波形开始在时间上不重叠，R12()=0。所以互相关函数与有关。,图2.6.1 f 1(T)和f 2(T)信号波形和互相关函数,3. 自相关函数的定义 当信号f 1(T)和f2(T)为同一个信号f (T)时，其互相关函数就成为自相关函数，记为R()。 图2.6.1所示的互相关函数R12()就是自相关函数，因为图2.6.1中的f 1(T)与f2(T)是同一个信号。,4. 相关函数的特性 (1) 若对所有，信号f 1(T)和f 2(T)的互相关函数R12()=0，则说明两信号波形间差别始终很大或极不相似，这种信号称为不相关信号。互不相关的信号很多，如一个直流信号和一个正弦波(或余弦波)信号之间，它们的互相关函数R12()永远为0，它们是互不相关的。 (2) 互相关函数R12()=R21(-)。 以能量信号为例证明如下： 令T=T+，代入得 ,(3) 自相关函数R()=R(-)是偶函数。 证明：由互相关函数 R12()=R21(-) 当f 1(T)=f 2(T)时 R12()=R(), R21()=R(-) 所以 R()=R(-),(4) 自相关函数R(0)的物理意义是：对于能量信号 (2-6-4) 是信号的总能量。对功率信号 (2-6-5) 是信号的平均功率。 (5) R(0)R()。从物理意义上讲，R(0)是完全相同的两个波形在时间上重合在一起时得到的相关函数，因此一定是最大的。数学上也完全可以证明这一点。,例2.6.1 若f 1(T)与f 2(T)的平均值均为0，且f 1(T)与f2(T)互不相关，试证明 和 间的互相关函数R12()=V1V2。式中V1、 V2为常数。,证明 由于f 1(T)与f2(T)互不相关，所以上面积分中第一项为0； 因为f1(T)与f 2(T)的平均值均为0，所以第二项和第三项积分值也为0。可得,2.6.2 归一化相关函数和相关系数 相关函数不仅与有关，还与波形的形状和幅度大小有关，不易直接从数值大小进行相关程度的比较。而归一化相关函数和相关系数可以较直接地反映两信号相关程度。 1. 归一化相关函数 对于f 1(T)，归一化自相关函数定义为 (2-6-6) 对于f 2(T)，归一化自相关函数定义为 (2-6-7) 而f 1(T)与f 2(T)的归一化互相关函数定义为 (2-6-8),2. 相关系数 设信号f1(T)和f2(T)，则互相关系数定义为 (2-6-9) 相关系数与无关。互相关系数的值在-1到+1之间变化，即-112+1。当f 1(T)=f 2(T)时，12=+1，这就是自相关系数；当f 1(T)=-f 2(T)时，12=-1；当f 1(T)与f2(T)不相关时，12=0。 例2.6.2 两信号如图2.6.2所示，求12。,图2.6.2 f 1(T)与f 2(T)的信号波形,解,2.7 谱密度和帕塞瓦尔定理 2.7.1 能量信号的帕塞瓦尔定理和能量谱密度 通过前面的学习，我们已经知道了能量信号的定义。如果能量信号f (T)为电压信号，则f (T)加在1 电阻上所消耗的能量E为 (2-7-1),设能量信号f (T)的频谱函数为F (f )，则 对于实函数f (T)有 F (f )F (-f )=F (f )F*(f )=|F (f )|2 所以,式(2-7-2)称为帕塞瓦尔能量定理。帕塞瓦尔定理告诉我们，一个信号的能量可以用时间函数来求得，也可以用信号的频谱函数来求，两种方法求得能量的结果是相同的。具体求解时用什么方法，视情况而定。帕塞瓦尔定理的物理意义是，信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量之和。,信号的能量是由很多频率成分提供的，那么单位频率的能量是多大，又是如何分布的呢？我们称单位频率的能量为能量谱密度，用G(f )表示，单位为J/Hz(焦耳/赫兹)，对能量谱密度求积分可得总能量，所以有 (2-7-3) 比较式(2-7-2)和(2-7-3)，得到能量谱密度G(f )的表达式为 G(f )=|F (f )|2 (2-7-4) 对于能量信号，其能量谱密度等于信号振幅谱的平方，与相位谱无关。不同的信号，不管其相位谱如何，只要具有相同的振幅谱，就具有相同的能量谱。这说明G(f )与f (T)不是一一对应的关系。,2.7.2 功率信号和功率谱密度 周期信号是一种典型的功率信号。设周期为T0的周期信号f(T)，其瞬时功率等于f2(T)，在周期T0内消耗在1电阻上的平均功率 (2-7-5) f (T)的傅氏级数展开式为,将f (T)的傅氏级数展开式代入式(2-7-5)，并经数学推导得 (2-7-6) 式(2-7-6)称为帕塞瓦尔功率定理。它表明，一个周期信号的平均功率等于信号所有谐波分量幅度的平方之和，即信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出来的功率之和。同时，帕塞瓦尔定理也告诉我们，求一个周期信号的平均功率，可通过时域信号f(T)来求，也可通过它的傅氏级数展开式的系数Vn来求。,单位频率的功率称为功率谱密度，用P(f )表示，单位为W/Hz(瓦/赫兹)。对功率谱密度求积分可得信号的平均功率。所以有 (2-7-7) 对于周期信号，对比式(2-7-6)和式(2-7-7)有 (2-7-8),利用 ，有 所以有 (2-7-9) 对比式(2-7-8)和式(2-7-9)得 (2-7-10) 上式表明，周期信号的功率谱由一系列的位于nf0处的冲激组成，其冲激强度为|Vn|2。,注意频谱、能量谱与功率谱的区别： (1) 频谱，即频谱密度函数F (f )，包括幅度谱和相位谱。它描述确知信号的频域特性。反映信号的各个频率分量的幅度和相位随频率的分布情况。 (2) 能量谱，即能量谱密度G(f )。它描述的对象是能量信号。反映能量信号的能量随频率的分布情况。 (3) 功率谱，即功率谱密度P(f )。它描述的对象是功率信号。反映功率信号的功率随频率的分布情况。,2.8 信号的带宽 带宽这个名称在通信系统中经常出现，而且常常代表不同的含义，因此在这里先对带宽这个名称作一些说明。从通信系统的信号传输过程出发，带宽有两种含义： (1) 信号的带宽，是由信号的功率谱和能量谱在频域的分布规律决定的。 (2) 信道的带宽，是由传输电路的传输特性决定的。 这两种带宽的单位都是Hz(赫兹)，都用B表示。本节我们主要讨论信号的带宽。,从理论上讲，除了极个别信号外，信号的频谱分布都是无穷的，但绝大部分实用信号的能量(或功率) 主要集中在一个不太宽的频率范围内，这个不太宽的频率范围就称为信号的带宽。信号带宽常用的定义方式有四种： (1) 3分贝带宽(半功率带宽)。指信号的能量谱密度G(f )(或功率谱密度P(f )下降到峰值的一半，或比峰值下降3 dB的两频率点之间的距离。这种定义方式适合于能量谱或功率谱具有单峰特性的信号。如图2.8.1所示。求3分贝带宽的方法如下： 以能量谱为例，设有能量谱密度函数G(f )，令 求得f 1(f 1即为3分贝带宽)，记为B=f1。,图2.8.1 分贝带宽,(2) 等效矩形定义带宽。以能量谱为例，用一个形状为矩形的能量谱代替信号的能量谱，矩形能量谱具有的能量(即矩形的面积)与信号的能量相等，矩形能量谱的幅度等于信号能量谱幅度的最大值，则矩形能量谱的宽度即定义为信号的带宽。如图2.8.2所示。等效矩形带宽的求法如下： 矩形谱信号所具有的能量等于矩形的面积，为 E1=2f 2G(0) 具有能量谱为G(f )的信号其能量为G(f )曲线下的面积，为,图2.8.2 等效矩形带宽,当两个能量相等时，有等式 由此可解出 等效矩形带宽B=f 2。 (3) 第一零点位置定义带宽。在数字通信中最常用的带宽定义是主瓣宽度(第一个零点位置定义带宽)，在该段频谱中包含了信号90%以上的能量或功率。如宽度为的矩形脉冲，其频谱的第一个零点为1/，在通信中常用1/作为矩形脉冲信号的带宽。但是这个定义不能使用于没有明显主瓣的信号。,(4) 百分比定义带宽。在这个带宽内，根据信号的能量或功率占信号总能量或功率的某一百分比而定义的带宽。带宽的求法如下 给定百分比，即可求出带宽B。可取90%、95%或99%等。 注意，对于同一信号，不同的带宽定义，可能得到不同的信号带宽。图2.8.3就是不同带宽定义下的信号带宽示意图。,图2.8.3 不同带宽定义下的信号带宽示意图,本章小结 (1) 根据通信系统中信号的特点，可以将其分为：数字信号