20100312_方程的图形法迭代法直接法

第二讲 方程及方程组解法(上),方程 工程计算和科学分析的发动机。 若干世纪来，方程是工程师和数学家花费大量时间 进行研究的课题，即有古老的算法（如二分法），也有新颖的发现（如迭代的分形与混沌现象） 本讲主要介绍非线性方程的实用解法，对线性方程组及数值分析中的矩阵分解法略作介绍： 图形放大法（不要苛求精确解！） 简单迭代法（迭代函数的选取） 加速迭代法（加权平均的思想）,线性方程组解的存在性,线性方程组的矩阵形式：AX=B AX=B的解可能出现三种情况：有解/无解/无穷解 A=1 2 1;2 3 1;1 -1 -2; B=1;3;0; AB=A,B; rank(A)=rank(AB) % ans=0 故原方程组无解 A=0 1 -3 4;1 0 -2 3;3 2 0 -5;4 3 -5 0; B=-5;-4;12;5; AB=A,B; rank(A)=rank(AB) % ans=1 有唯一解,线性方程组AX=B的求解,A=0 1 -3 4;1 0 -2 3;3 2 0 -5;4 3 -5 0; B=-5;-4;12;5; rank(A)=rank(A,B) x=AB %方法1：矩阵左除运算 x=inv(A)*B %方法2：逆矩阵求解法(须方阵) L,U=lu(A); %方法3：LU分解法 x=U(LB) Q,R=qr(A); %方法4：QR分解法 x=R(QB) rref(A,B) % 方法5：rref化行最简形 p13,非线性是更一般的属性？,我们面对的大多数方程（组）都是非线性的。 定义：一些由实际问题列出的方程中常常包含三角函数、指数函数等，它们与n=2代数方程一起统称为非线性方程（组） 例如：3x-ex=0 ; xsinx=1 所以，求解这一类方程（组）更具现实意义： 计算机技术和数学软件技术的飞速发展为我们实现经典方法（比如二分法）、创新新方法（比如图形放大法）提供了极大便利，甚至衍生出一些崭新的学科方向（比如课本第3章提到的 分形与混沌）,最简捷和最一目了然的方法？,毫无疑问，图形放大法体现了现代数学软件在数据可视化方面无以伦比的优点：简捷和直观 演练：p10，2.1 x=-6:.001:6; plot(x,x.5+2*x.2+4,x,0,r-) grid on axis(-2 2 -200 200) 追加练习： %8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0 fplot(8*x5-12*x4-26*x3-13*x2+58*x+30,-1,3); hold on; line(-5 5,0 0,color,r); grid on,图形放大法的步骤和技巧：,方程f(x)=0 (1)建立坐标系，画曲线f(x) (2)观察曲线f(x)与x轴的交点 (3)将其中一个交点局部放大 (4)该交点的横坐标值就是方程的根 技巧关键字（提高你的效率）： 步进精度选择（要足够适应放大倍数） 坐标区域设定（方便直观准确地读数） 交点追踪（强调x轴、双击重置，放大适可而止） 延展：能不能写出不需人工干预的图形放大法？,简单迭代法（迭代收敛的情形）,回到早先我们接触的引例：3x-ex=0 xn+1= (xn), n=0,1,2., x0,迭代过程的图形化体现.,迭代过程体现在图像上如下图所示：,迭代算法的步骤与技巧：,方程f(x)=0 (1)经过简单变形，化为xn+1= (xn), n=0,1,2. (2)*绘出y=x和y= (x)的图形，并观察 (3)确定迭代初值x0，并代入程序进行迭代 (4)序列发散回到第1步；收敛获得求解 技巧关键字（提高你的效率）： 迭代格式的确定（是否唯一,是否一定收敛？） 迭代初值的选择（迭代与初值选择是否有关?） 迭代存在的缺陷（迭代能否逼近所有的解？） 演练：在讲解加速迭代法后一齐举例,简单迭代法的改进,当遇到迭代格式不收敛怎么办？ 如何加快迭代速度？ 加速迭代法就是为了解决上述问题而产生的改进型迭代法： 若迭代格式xn+1=(xn), n=0,1,2.,不收敛，则我们不直接用(x)迭代，改用(x)与x的加权平均 h(x)= (x)+(1- )x 进行迭代，基于某个确定原则，比如： =1/（1- (xn) 改进后的加速迭代格式如下： 附注：确定原则一般来自理论和经验，更多形式参见P13,简单迭代与加速迭代的比较1,用两种方法迭代方法求解方程x3-x2-x-1=0 构造迭代格式： 初值x0=0 x1=1;x2=1;x3=1; for k=1:20 x1=x13-x12-1; x2=(x22+x2+1)(1/3); x3=1+1/x3+1/x32; end x1,x2,x3,简单迭代与加速迭代的比较2,格式1发散，格式2,3收敛，具体细节为：,迭代格式1选取失败！迭代格式2,3成功收敛，收敛速度2快于3,简单迭代与加速迭代的比较3,改进前面已经被判定为“失败的”迭代格式1： x=(x)=x3-x2-1 由前述确定原则有：,实验发现改进后的迭代格式1能够收敛，但速度仍然不如迭代格式2和3，相对自身而言“加速” 注意：改进后的迭代格式1在迭代103次后才渐近 至1.8393，并且需要在变量空间中双击查看 why?,通用的可控精度迭代程序,以方程 3x-ex=0 为例，演示如何将程序通用化： diedai.m 为固定计算x=1/3*exp(x)的可控精度程序 diedais.m 为改写后的可适应一类方程的通用程序 diedait.m 为增强后的加可选绘图参数的程序通用 关于线性方程组的迭代算法参见数值计算： 高斯消去法；szp42 雅克比迭代法；szp54，p59 高斯-赛德尔迭代法；szp53,实验一: 图形放大法 实验二: 简单迭代法和加速迭代法 Thats all3Q!,第二讲 方程及方程组解法(下),内容：本讲继续探讨针对方程组的迭代算法,主要 讲解、演练方程(组)求解的MATAB直接解法。 目的：掌握几个方程（组）求解的相关函数。 要求：能够处理带应用背景的方程问题。 非线性方程组的迭代法（承接第二讲上） MATLAB软件直接求解法： solve fsolve fzero roots 引例波音飞机定价策略（实验室讲解）,除了简单迭代和加速迭代.,我们知道，简单迭代法和加速迭代法在迭代格式xn+1= (xn)的选取上都是基于方程自身的，其实基于存根区间、基于函数曲线解析性还有多种算法，下面略作介绍： 介绍： p1213 这些算法形式多样，目标只有一个逼近 基于隔离存在根的区间，区间逼近：如二分法 基于函数曲线解析特性，解析逼近：如牛顿法,隔离存在根的区间，区间逼近,二分法: 简单，但效率很高的一种算法,函数曲线解析特性，解析逼近,牛顿切线法: 可变形为多种迭代格式，如割线法,基于解析性质的迭代思路.,单点割线法的几何意义,非线性方程组的迭代法1,类似于单变量方程的简单迭代法，方程组要求一次迭代过程完成对n个变量的迭代.,非线性方程组的迭代法2,下面以实例促进对方法的理解和掌握： 问题：一次迭代过程x1的代入可以有几种途径？,例1,非线性方程组的迭代法3,例1 用迭代法求解非线性方程组(格式1) x=0,0;2,0;3,3; n=input(选择初值 1/0,0 2/2,0 3/3,3 :); x=x(n,:); %指定不同的初值，以考察初值对迭代的影响 hold on for k=1:10 x(1)=0.1*x(1)2+ 0.1*x(2)2+0.8; x(2)= 0.1*x(1)*x(2)2+ 0.1*x(1)+0.8; disp(x) plot(k,x(1),ro,linewidth,2); plot(k,x(2),bp, linewidth,2); end grid on,方程(组)直接求解函数：solve,利用MATLAB内置函数，我们可以直接对一些方程或方程组进行求解，免去书写代码的时间，但并不意味着可以取代迭代编程 why ？ solve 对单变量方程f(x)=0求解(解析解) ： 例2 求解方程 ax2+bx+c=0 x=solve(a*x2+b*x+c) 或者 x=solve(a*x2+b*x+c=0) pretty(x),方程(组)直接求解函数：solve,solve 对单变量方程f(x)=0求解(数值解) ： 例3 求解方程x3-2x2=x-1 x=solve(x3-2*x2=x-1) double(x) fplot(x3-2*x2-x+1,-5,5); grid on axis(-1 3 -10 10) solve 对单变量方程f(x)=0求解(无穷解?) ： 例4 求解方程tan(x)=sin(x) x=solve(tan(x)=sin(x) fplot( tan(x)-sin(x) ,-10*pi,10*pi); grid on,方程(组)直接求解函数：solve,solve 对多变量方程fn(xn)=0求解(解析解)： 例5 求解方程组 x2y2=0 x-1/2y=b s=solve(x2*y2,x-y/2=b); s.x, s.y solve 对多变量方程f(xn)=0求解(数值解)： 例6 求解方程组 x2y2-2x-1=0 x2-y2-1=0 s=solve(x2*y2-2*x-1,x2-y2-1=0); s.x, s.y 注意： solve要小心使用，因为其可能因为算法本身的原因，而“增加”一些根或“漏掉”一些根。在解决实际问题时，最好结合多种方法求解，比如先用作图法观察方程的解析性态,方程(组)直接求解函数：fsolve,fsolve 对非线性方程组的求解 例7 求解方程组 sinx+y2+lnz-7=0 3x+2y-z3+1=0 x+y+z-5=0 解法1: 直接用solve函数求解 s=solve(sin(x)+y2+log(z)-7,3*x+2y-z3+1,x+y+z-5); s.x,s.y,s.z,方程(组)直接求解函数：fsolve,解法2: 编写被调函数，供fsolve调用求解 function eq=nxxf(x) eq(1)= sin(x(1)+x(2)2+log(x(3)-7; eq(2)= 3*x(1)+2x(2)-x(3)3+1; eq(3)= x(1)+x(2)+x(3)-5; y=fsolve(nxxf,1,1,1,1) %此句为主调语句，直接执行 补充: 编写内联函数，供fsolve调用求解 fun=inline(1/3*exp(x)-x); ezplot(fun) grid on y=fsolve(fun,1,1),方程直接求解函数：fzero,针对一元函数方程，求零点 fzero 例8 求解方程：x=(cosx)2 x=fzero(x-(cos(x)2,1) 例9 求解方程：xsinx=1 在0,5内的所有根 fplot(x*sin(x)-1,0,5) grid on x1=fzero(x*sin(x)-1,1) x2=fzero(x*sin(x)-1,3),方程直接求解函