《Lecture7期权》PPT课件.ppt

Financial Engineering,Lecture 7 期权,2019/9/20,1/140,期权的产生与发展,较早的期权交易主要是用于实物商品等的现货期权；20世纪20年代，美国出现了股票的期权交易；1936年，美国商品交易法案禁止对各种具体商品进行期权交易；1973年以后，期权市场快速发展，成立了第一个期权交易市场芝加哥期权交易所（CBOE)；目前期权作为世界衍生产品市场的重要组成部分，已成为回避风险的重要手段。,2019/9/20,2/140,期权合约的定义,期权（Option）是指赋予其购买者在规定期限内按双方约定的价格即协议价格（ Striking Price）或执行价格（Exercise Price），购买或出售一定数量某种标的资产的权利的合约。 对于期权的买者来说，期权合约赋予他的只有权利，而没有任何义务。 期权费(Premium)是在期权交易成交时支付的，即便期权持有人最终没有执行这项期权，期权费也不能收回，它是作为获取这种权利的对价(consideration) 。,2019/9/20,3/140,期权交易的两个重要特征,权利和义务的不对称性。 期权交易的潜在收益与风险有明显的非对称性。,2019/9/20,4/140,期权的分类,按期权买者的权利划分，期权可分为看涨期权（Call Option）和看跌期权（Put Option）。 按期权买者执行期权的时限划分，期权可分为欧式期权和美式期权。欧式期权只能在期权到期日才能执行期权，而美式期权允许多头在期权到期日前的任何时间行权。 按照期权合约的标的资产划分，期权合约可分为利率期权、货币期权（或称外汇期权）、股价指数期权、股票期权以及金融期货期权，而金融期货又可分为利率期货、外汇期货和股价指数期货三种。,2019/9/20,5/140,期权的交易场所,期权交易场所既有正规的交易所，也有场外交易市场。交易所交易的是标准化的期权合约，场外交易的则是非标准化的期权合约。 对于场内交易的期权来说，其合约有效期一般不超过9个月，以3个月和6个月最为常见。由于有效期不同，同一种标的资产可以有好几个期权品种。 同一标的资产还可以规定不同的协议价格而使期权有更多的品种，同时还分为看涨期权和看跌期权，因此期权品种远比期货品种多得多。,2019/9/20,6/140,全球OTC主要期权品种概况,2019/9/20,7/140,美国三类期权交易所,专门的期权交易所 芝加哥期权交易所（ CBOE ） 国际证券交易所（ ISE ）（被Eurex收购） 传统股票交易所提供期权交易 美国费城股票交易所（ PHLX ）（被NASDAQ收购） 美国股票交易所（ AMEX ）（被纽约泛欧交易所收购） 期货交易所 CME 、ICE等。,2019/9/20,8/140,美国主要期权交易品种,2019/9/20,9/140,2010年美国期权市场份额,2019/9/20,10/140,期权交易的特征和趋势,日益增多的奇异期权：期权市场的激烈竞争和普通期权利润空间的缩小。 交易所交易产品的灵活化：灵活期权（Flex options） 交易所之间的合作日益加强：一家交易所上市的期权产品可以在其他交易所进行交易；或在一家交易所交易，而在其他交易所平盘或交割；另外有一些交易所则允许其他交易所的会员在本所进行交易，等等。 高频交易日益盛行。,2019/9/20,11/140,期权交易机制,标准化合约 （一）交易单位 一张期权合约中标的资产的交易数量 股票期权：100 股股票 指数期权：标的指数执行价格与 100 美元的乘积 期货期权：一张标的期货合约 PHLX 的外汇期权：英镑期权 31 250 英镑，欧元期权 62 500 欧元,2019/9/20,12/140,标准化合约 （二）执行价格 执行价格由交易所事先确定 当交易所准备上市某种期权合约时，首先根据该合约标的资产的最近收盘价，依据某一特定的形式来确定一个中心执行价格，然后再根据特定的幅度设定该中心价格的上下各若干级距（ Intervals ）的执行价格。 因此，在期权合约规格中，交易所通常只规定执行价格的级距。,2019/9/20,13/140,标准化合约 （三）到期循环、到期月、到期日、最后交易日和执行日 （四）红利和股票分割 早期的场外期权受红利保护：除权日后执行价格要相应调整；但现在的交易所期权不受红利保护，但在股票分割或送红股时要调整 在 n 对 m （即 m 股股票分割为 n 股）股票分割之后，执行价格降为原来执行价格的 m/n ，每一期权合约所包含的标的资产数量上升到原来的 n/m 倍。 n% 的股票红利等同于 100 + n 对 100 的分割。,2019/9/20,14/140,标准化 （六）交割规定 期权交割的比例要比期货高得多 现货期权的交割：直接以执行价格对标的资产进行实际的交收 指数期权的交割：按照执行价格与期权执行日当天交易结束时的市场价格之差以现金进行结算 期货期权的交割：买方执行期权时，将从期权卖方处获得标的期货合约的相应头寸，再加上执行价格与期货价格之间的差额。,2019/9/20,15/140,CBOE部分期权合约基本规格一览,2019/9/20,16/140,基本交易制度,头寸限额（Position Limit）：每个投资者在市场的一方所能持有的头寸总额 看涨多头/看跌空头 看涨空头/看跌多头 执行限额（ Exercise Limit ）：一个期权买方在规定的一段时间内所能执行的期权合约的最大限额 计算标准：合约数量/合约总金额 有些交易所规定期货期权中期权头寸与相应的期货头寸合并计算,2019/9/20,17/140,买卖指令,买入建仓：买入期权建立新头寸 卖出建仓：卖出期权建立新头寸 买入平仓：买入期权对冲原有的空头头寸 卖出平仓：卖出期权对冲原有的多头头寸 买卖对未平仓合约的影响,2019/9/20,18/140,交易所的清算制度与保证金制度,期权清算公司 期权交易所内完成的期权交易都必须通过期权清算公司（ the Option Clearing Corporation，OCC ）进行清算和交割。 期权交易的清算： 非会员的经纪公司和自营商所完成的期权交易都必须通过清算会员在 OCC 进行清算。 OCC 是每个期权买方的卖方和每个期权卖方的买方，承担信用风险； OCC 拥有期权净头寸为零，因而不存在价格风险。,2019/9/20,19/140,期权执行的实施,当期权买方想要执行某份期权时，投资者需要首先通知他（她）的经纪人，经纪人接着通知负责结清其交易的 OCC 清算会员。在该会员向 OCC 发出执行指令后， OCC 即随机选择某个持有相同期权空头的会员，该会员再按照事先订立的程序，选择某个特定的出售该期权的投资者（又称为被指定者， the Assigned ）。 一些经纪公司和交易所设定了一些规则，到期时自动执行那些对客户有利的实值期权。,2019/9/20,20/140,保证金制度,期权多头在交易后第二个营业日支付期权费，无需缴纳保证金 期权空方 类似期货保证金，分为初始保证金和维持保证金 具体保证金取决于期权种类和市场状况,2019/9/20,21/140,股票期权保证金,100% 保证金要求： Covered Options 非 100% 保证金 初始保证金：以下两种计算结果中较大者 出售期权的期权费收入加上期权标的资产价值的 20%减去期权处于虚值状态的数额（如果有这一项的话） 出售期权的期权费收入加上标的资产价值的 10% 维持保证金 复杂期权头寸的保证金,2019/9/20,22/140,例 股票看涨期权空方的初始保证金,设某个股票看涨期权的相关参数是：股票市价 15 美元，执行价格 20 美元，期权费为 1 美元，则按照 A 、B 公式计算出来的结果分别为： A : B : 因此，卖出这一看涨期权的投资者，除了要将期权费收入 100 美元冻结在帐户内之外，还向经纪公司缴纳50 美元的初始保证金。,2019/9/20,23/140,2012年4月4日 CBOE S&P500指数看跌期权价格 （现货指数收盘价1398.96）,23,2019/9/20,24/140,2012年4月4日 CBOE S&P500指数看涨期权价格 （现货指数收盘价1398.96）,24,2019/9/20,25/140,目录,期权的定义与种类 期权市场 期权交易机制 期权与其他衍生产品的区别与联系,2019/9/20,26/140,期权与期货的区别与联系,权利和义务 标准化 盈亏风险 保证金 买卖匹配 套期保值,2019/9/20,27/140,期权交易与期货交易的区别,权利和义务。期货合约的双方都被赋予相应的权利和义务，而期权合约只赋予买方权利，卖方则无任何权利。 标准化。期货合约都是标准化的，而期权合约则不一定。 盈亏风险。期货交易双方所承担的盈亏风险都是无限的。而期权交易卖方的亏损风险可能是无限的（看涨期权），也可能是有限的（看跌期权），盈利风险是有限的（以期权费为限）；期权交易买方的亏损风险是有限的（以期权费为限），盈利风险可能是无限的（看涨期权），也可能是有限的（看跌期权）。,2019/9/20,28/140,保证金。期货交易的买卖双方都须交纳保证金。期权的买者则无须交纳保证金。 买卖匹配。期货合约的买方到期必须买入标的资产，而期权合约的买方在到期日或到期前则有买入（看涨期权）或卖出（看跌期权）标的资产的权利。 套期保值。运用期货进行套期保值时，把不利风险转移出去的同时也把有利风险转移出去；运用期权进行套期保值时，只把不利风险转移出去而把有利风险留给自己。,期权交易与期货交易的区别,2019/9/20,30/140,股票期权与权证（Warrants）的区别与联系,权证是发行人与持有者之间的一种契约，其发行人可以是上市公司，也可以是上市公司股东或投资银行等第三者。权证允许持有人在约定的时间（行权时间），可以用约定的价格（行权价格）向发行人购买或卖出一定数量的标的资产。 权证分类 认购权证/认沽权证 股本权证/备兑权证（衍生权证）,2019/9/20,31/140,股本权证：上市公司自己发行 期限通常较长 持有者执行权证时，会导致股本变动 备兑权证：独立的第三方发行 还可能以股指、一揽子股票或其他资产作为标的 差别 发行目的不同 发行人不同 是否影响总股本 目前多为备兑权证,2019/9/20,32/140,股票期权与权证的区别与联系,股票期权/股本权证 有无发行环节 数量是否有限 是否影响总股本 股票期权/备兑期权 有无发行环节 数量是否有限,2019/9/20,33/140,内嵌期权,普通金融产品中加上期权条款 例子：可转债/可赎回债/可回售债,2019/9/20,34/140,内嵌期权案例：可赎回债券（02国开06）,2019/9/20,35/140,实物期权,以实物资产为标的物的未来选择权 实物期权方法最主要的运用领域就是实物资产投资决策的分析。 只要是一项未来以一定价格出售或购入某种资产的选择权，都可运用实物期权的思想加以分析。,2019/9/20,36/140,实物期权案例：油气开采权,一些国家政府通常将本国海上油田的开采权租给石油公司，期限一般为十到十五年，获得开采权的石油公司可以在此中的任意时间开始开采石油。那么，租金应如何确定呢？石油公司又应如何确定这个项目是否值得投资呢？ 在传统的净现值分析法下，决策者计算出未来投资的可能收益加以贴现，并据此决定此项目的价值以及是否值得投资，但这种分析方法忽略了油气开采权中的隐含权利,事实上，石油公司付出一笔租金获得（例如）15 年开采权后，在这 15 年内，其决策条件可以简化表示为 ，即根据石油价格 是否大于勘探开采和提炼成本 X 以及大多少，来决定是否开采和何时开采。 若 大于 X 的程度高于预期要求的收益，公司决定开采，则回报为 ； 若 小于 X 的，公司决定不开采，则回报为 0 。 但无论如何，公司要损失预先支付的租金。因此，石油开采权实际上相当于一份以石油价格为标的、以开采期限为到期日，以勘探开采和提炼成本为执行价格的美式期权，所支付的租金即期权费。因此，租金的确定和投资决策均可以运用期权定价的原理进行分析。,2019/9/20,38/140,期权的回报与盈亏分布,gain/loss,2019/9/20,39/140,gain/loss,2019/9/20,40/140,gain/loss,2019/9/20,41/140,gain/loss,2019/9/20,42/140,欧式期权到期回报与盈亏,2019/9/20,43/140,期权价格的特性,内在价值与时间价值 期权价格（价值）=内在价值 + 时间价值 期权的内在价值（Intrinsic Value），是 0 与多方立即行使或到期行使期权时所获回报最大贴现值的较大值。 很显然，一种期权有无内在价值以及内在价值的大小，取决于该期权的敲定价格与标的资产的市价之间的关系。,2019/9/20,44/140,欧式期权的内在价值,对欧式期权来说，多方只能在期权到期时决定行权与否并获得相应回报。 例如，欧式看涨期权的到期回报为 ，如果标的资产在期权存续期内无收益， 的现值就是当前的市价S ；如果标的资产在期权存续期内支付已知的现金收益， 的现值则为S-I，其中I表示在期权有效期内标的资产所获得的现金收益贴现至当前的现值。,2019/9/20,45/140,欧式期权的内在价值,由于X为确定现金流，其现值的计算就是简单的贴现，故此欧式无收益和有收益资产看涨期权的内在价值分别为 与 欧式看跌期权内在价值的分析类似于欧式看涨期权。,2019/9/20,46/140,无收益资产美式期权的内在价值,2019/9/20,47/140,有收益资产美式期权的内在价值,2019/9/20,48/140,无收益资产美式看跌期权的内在价值,2019/9/20,49/140,有收益资产美式看跌期权的内在价值,2019/9/20,50/140,期权的内在价值,2019/9/20,51/140,实值、平价与虚值期权,具有内在价值的期权称为实值期权，没有内在价值的期权称为虚值期权，履约价格等于标的资产市价的期权称为平价期权。 对于看涨期权，实值、平价和虚值的定义根据标的资产市价（S）与协议价格（X）的关系表述为： SX ：实值期权（In the Money ） S=X ：平价期权（At the Money） SX ：虚值期权（Out of the Money）,2019/9/20,52/140,类似地，对于看跌期权，我们定义： XS时的看跌期权称为实值期权； X=S时的看跌期权称为平价期权； XS时的看跌期权称为虚值期权。,2019/9/20,53/140,实值期权、平价期权与虚值期权,2019/9/20,54/140,期权的时间价值,期权时间价值 = 期权价格 期权内在价值 期权的时间价值是在期权尚未到期时，标的资产价格的波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。 期权的时间价值是基于期权多头权利义务不对称这一特性，在期权到期前，标的资产价格的变化可能给期权多头带来的收益的一种反映。,2019/9/20,55/140,期权时间价值的变动,到期时间 标的资产价格的波动率（期权的波动价值） 期权的时间价值受内在价值影响，在期权平价点时间价值达到最大，并随期权实值量和虚值量增加而递减,2019/9/20,56/140,期权时间价值与内在价值的关系,2019/9/20,57/140,期权的时间价值,期权的时间价值（Time Value）是指购买者为购买期权而实际付出的期权费超过该期权内在价值的那部分价值，其实质是期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。 显然： 标的资产价格的波动率越高，距离到期的时间越长，期权的时间价值就越大。 期权内在价值越小，时间价值越大。以无收益资产看涨期权为例，当S=Xe-r(T-t)时，期权的时间价值最大。当S-Xe-r(T-t)的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的。,2019/9/20,58/140,有收益资产看涨期权的时间价值在S=D+ Xe-r(T-t) 点最大， 无收益资产欧式看跌期权的时间价值在S= Xe-r(T-t) 点最大，有收益资产欧式看跌期权的时间价值在S= Xe-r(T-t)-D 点最大, 无收益资产美式看跌期权的时间价值在S= X 点最大，有收益资产美式看跌期权的时间价值在S= X-D 点最大。,2019/9/20,59/140,期权价格的影响因素,标的资产的市场价格与期权的协议价格 对于看涨期权而言，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。 对于看跌期权而言，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。 标的资产价格的波动率 标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标。由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。,期权的有效期 对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，多头获利机会就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越高。 对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。 一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值（Marginal Time Value）为正值。,2019/9/20,61/140,标的资产的收益 由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。,2019/9/20,62/140,无风险利率 比较静态的分析 动态的分析 从两个角度得到的结论刚好相反，具体分析时要注意区别分析的角度。,2019/9/20,63/140,期权价格的影响因素,2019/9/20,64/140,第三节 期权的定价,基本思路,股票价格服从的随机过程 由 It 引理可得期权价格相应服从的随机过程 BSM 微分方程 BSM 期权定价公式,2019/9/20,66/140,标准布朗运动（维纳过程）,布朗运动（ Brownian Motion ）起源于英国植物学家布郎对液体表面的花粉粒子的运动轨迹的描述。 标准布朗运动的两大特征： 特征 1 ： z = t （标准正态分布） 特征 2 ： 对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值相互独立。 （独立增量）,2019/9/20,67/140,维纳过程的性质,也服从正态分布 均值等于 0 方差等于 T t 标准差等于 方差可加性,2019/9/20,68/140,普通布朗运动：标准布朗运动的扩展,遵循普通布朗运动的变量 x 是关于时间和 dz 的动态过程： 或者 adt 为确定项，漂移率 a 意味着每单位时间内 x 漂移 a ； bdz 是随机项，代表着对 x 的时间趋势过程所添加的噪音，使变量 x 围绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪音是由维纳过程的 b 倍给出的， 称为方差率，b 称为波动率。,2019/9/20,69/140,普通布朗运动的理解,普通布朗运动的差分形式为 x 具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 方差为： 在任意时间长度 T 后 x 值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT ，标准差为 ，方差为 。 标准布朗运动为普通布朗运动的特例。,2019/9/20,70/140,伊藤过程（ It Process ）,伊藤过程 其中， 是一个标准布朗运动， a 、 b 是变量 x 和 t 的函数，变量 x 的漂移率为 a ，方差率为 。,2019/9/20,71/140,伊藤引理（It Lemma ）,若变量 x 遵循伊藤过程，则变量 x 和 t 的函数 G 将遵循如下过程： 其中， 是一个标准布朗运动。,2019/9/20,72/140,几何布朗运动（ Geometric Brownian Motion ）,几何布朗运动 其中 和 均为常数 一般用几何布朗运动来描述股票价格的随机过程 可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题 几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合,2019/9/20,73/140,股票价格的变化过程：几何布朗运动,股票价格服从几何布朗运动 意味着 几何布朗运动具有如下性质：,S 不会为负，这与有限责任下股票价格不可能为负是一致的。 股票连续复利收益率服从正态分布。 T t 期间年化的连续复利收益率可以表示为 可知随机变量 服从正态分布 是股票连续复利收益率的年化标准差，也被称为股票价格对数的波动率（ Volatility ）,股票价格的对数服从普通布朗运动，特定时刻的股票价格服从对数正态分布。,其中， 是 t 时间内股票价格百分比的年化预期收益率。,2019/9/20,76/140,百分比收益率与对数收益率,短时间内 几何布朗运动只意味着短时间内的股票价格百分比收益率服从正态分布，长期间内股价百分比收益率正态分布的性质不再存在，但连续复利收益率始终服从正态分布。,2019/9/20,77/140,预期收益率 , 为 t 时间内股票的年化期望收益率，股票的连续复利收益率 。 根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此其决定本身就较复杂。 幸运的是，在无套利条件下，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的。,2019/9/20,78/140,波动率 ,证券价格对数的年波动率，是股票价格对数收益率的年化标准差 人们常常从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。 在计算中，一般情况下时间距离计算时越近越好；但时间窗口也不宜太短；一般采用交易天数计算波动率而不采用日历天数。,2019/9/20,79/140,衍生品价格所服从的随机过程,当股票价格服从几何布朗运动 根据伊藤引理，衍生证券的价格 G 应遵循如下过程： 衍生证券价格 G 和股票价格 S 都受同一个不确定性来源 dz 的影响,假设,证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数； 允许卖空标的证券； 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 不存在无风险套利机会； 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 衍生证券有效期内，无风险利率 r 为常数。,2019/9/20,81/140,BSM 微分分程的推导,由于假设股票价格 S 遵循几何布朗运动，因此有： 在一个小的时间间隔 t 中， S 的变化值 S 为：,2019/9/20,82/140,BSM 微分分程的推导,设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则 f 一定是 S 和t 的函数，根据伊藤引理可得： 在一个小的时间间隔 t 中， f 的变化值 f 满足：,2019/9/20,83/140,为了消除风险源 z ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。 令 代表该投资组合的价值，则： 在 t 时间后，该投资组合的价值变化 为：,2019/9/20,84/140,代入 f 和 S 可得 由于消除了风险，组合 必须获得无风险收益，即 因此：,2019/9/20,85/140,BSM 微分分程,化简可得： 这就是著名的 BSM 微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格 S 的所有衍生证券的定价。,2019/9/20,86/140,风险中性定价原理,观察 BSM 微分方程可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对 f 的值产生影响。 因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。,2019/9/20,87/140,风险中性定价原理,在所有投资者都是风险中性的条件下： 所有证券的预期收益率都等于无风险利率 r，因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。 同样，在风险中性条件下，所有现金流都应该使用无风险利率进行贴现求得现值。 这就是风险中性定价原理。,2019/9/20,88/140,理解风险中性定价,假设一种不支付红利股票目前的市价为 10 元，我们知道在 3 个月后，该股票价格要么是 11 元，要么是 9 元。现在我们要找出一份 3 个月期协议价格为 10.5 元的该股票欧式看涨期权的价值。 由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于 3 个月后股票的市价。若 3 个月后该股票价格等于 11 元，则该期权价值为 0.5 元；若 3 个月后该股票价格等于 9 元，则该期权价值为 0 。,2019/9/20,89/140,为了找出该期权的价值，我们可构建一个由 1 单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合。 若 3 个月后股票价格等于 11 元，该组合价值等于(11 0.5) 元；若 3 个月后该股票价格等于 9 元，该组合价值等于 9 元。 由于 11 0.5 = 9 = 0.25 因此，一个无风险组合应包括 1 份看涨期权空头和0.25 股标的股票。无论 3 个月后股票价格等于 11 元还是 9 元，该组合价值都将等于 2.25 元。,2019/9/20,90/140,假设现在的无风险年利率为 10% ，则该组合现值为 因此 这就是说，该看涨期权的价值应为 0.31 元，否则就会存在无风险套利机会。,2019/9/20,91/140,理解风险中性定价,可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格在真实世界中上涨到 11 元的概率和下降到 9 元的概率。也就是说，我们并不需要了解真实世界中股票未来价格的期望值，而期望值的确定正与投资者的主观风险偏好相联系。 因此我们可以在假设风险中性的前提下为期权定价。,2019/9/20,92/140,无收益资产欧式看涨期权的定价公式,在风险中性世界中，无收益资产欧式看涨期权到期时(T 时刻)的期望值为： 其中， 表示风险中性条件下的期望值。 相应地欧式看涨期权的价格 c 等于,由于在风险中性世界中，标的资产价格服从,又,则令,其中：,则：,2019/9/20,94/140,BSM 期权定价公式的推导,随机变量 W 的密度函数 h(W) 为,2019/9/20,95/140,BSM无收益资产欧式看涨期权定价公式,最终积分可得:,其中,2019/9/20,96/140,BSM 期权定价公式的参数估计,BSM 期权定价公式中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率 在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要进行估计。 到期期限、无风险利率和波动率的时间单位必须相同（通常为年）。,2019/9/20,97/140,估计无风险利率,使用连续复利的即期利率 美国：国债利率； 中国：银行存款利率/国债市场即期利率 选择距离期权到期日最近的利率,2019/9/20,98/140,估计标的资产价格的波动率,历史波动率 样本对数收益率标准差 广义自回归条件异方差模型（ Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，GARCH ）和随机波动率模型 隐含波动率,2019/9/20,99/140,BSM 期权定价公式的精确度评价,BSM 期权定价公式在定价方面存在一定偏差，但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳模型之一，应用广泛，影响深远。 BSM 期权定价与市场价格存在差异的主要原因： 期权市场价格偏离均衡； 使用错误的参数； BSM 期权定价公式建立在众多假定的基础上。,2019/9/20,100/140,BSM 期权定价公式的缺陷与拓展,无交易成本假设的放松 常数波动率假设的放松 参数假设的放松 资产价格连续变动假设的放松,2019/9/20,101/140,欧式看涨期权与看跌期权的平价关系 无收益资产的欧式期权,考虑如下两个组合： 组合A：一份欧式看涨期权加上一笔现金 组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产。 期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。则t时刻两组合必须具有相等的价值，即： 上式即无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。如果平价公式不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使平价公式成立。,2019/9/20,102/140,当标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为： 就可推导出有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：,欧式看涨期权与看跌期权的平价关系 有收益资产的欧式期权,2019/9/20,103/140,美式看涨期权和看跌期权之间的关系,无收益资产美式看涨期权和看跌期权的关系：,有收益资产美式看涨期权和看跌期权的关系：,2019/9/20,104/140,例 题,假设年利率为20%，股票现行价格为100元，股票价格的波动率为5%，欧式看涨期权的执行价格为105元，期权有效期限为六个月。则该股票的欧式看涨期权的价格为多少？ 显然：S=100，X=105，r=0.20，T=0.5， =0.05 由公式知：,查正态分布数值表可知： 根据公式：,我们给出股息对期权价格影响的B-S定价公式，但不作展开： 支付定额股息的股票欧式看涨期权定价：,支付定率股息的欧式股票看涨期权的定价,2019/9/20,108/140,期权的二项式定价方法,二项式模型的特点是将看涨期权合约的到期期限分成若干个时间段，每一个时间段称为一个期间，并假定期权的基础资产的价格在每经过一个期间的时间后以事先规定的比例上升或下降。 首先，考虑一个期间的情形： 假设：看涨期权的基础资产的现行价格为S，期权到期日，基础资产的价格或者涨至现行价格的U倍（U1 ），或者下降至现行价格的d倍（d1） 。 则基础资产价格的变动图示如下：,2019/9/20,109/140,设当前看涨期权的价值为C，在基础资产的上述变化下，其价值分别为Cu、Cd，如图所示。 显然，Cu=max（uS-k，0），Cd=max（dS-k，0）。这样，图中唯一未知的就是C，需要我们确定。,构造一个投资组合： 以价格C卖出1份看涨期权； 买入h份标的资产； 其中，h是一个有待于确定的数，h的大小要保证该投资组合是一个无风险的投资组合，也就是，无论市场如何变化，该投资组合的到期时的值是确定的。 到期时，当基础资产价格上涨时，投资组合的价值为huS-Cu，价格下跌时，组合价值为hdS-Cd；令huS-Cu= hdS-Cd，则： h=（Cu-Cd）/（u-d）S,只有当h=（Cu-Cd）/（u-d）S时，该投资组合才是无风险投资组合。 设期权有效期间里的无风险利率为r，当h=（Cu-Cd）/（u-d）S时，到期时该组合的价值确定地等于huS-Cu,也即hdS-Cd,。 根据无风险投资组合的特性，将投资组合的初始价值按照无风险利率进行投资, 经过相同的时间,也能获得huS-Cu或hdS-Cd数量的终值，则有： (-c+hS)(1+r)=huS-Cu=hdS-Cd 从而： 其中：,考虑两期间的情况 则期权到期日，基础资产将有三种可能的价位，看涨期权也将有三种可能的价值，容易得到： Cu2=max(u2S-k,0) 、Cud=max(udS-k,0) Cd2=max(d2S-k,0),利用前面单期的结果，可以求出Cu、Cd的值： 求出Cu、Cd后，同样根据公式可以求出C，即： 推而广之，将到期期限分成n个小期间，则有： 其中，k、n-k分别为n期中基础资产上涨、下跌的次数。,2019/9/20,114/140,根据中心极限定理，当n趋向于无穷大时，二项式分布将逼近正态分布。因此，二项式定价与Black-Scholes模型是殊途同归。 实际操作中，我们可以利用Excel建模，很容易实现模拟计算的简单自动化。,2019/9/20,115/140,第四节 期权交易策略,2019/9/20,116/140,一、标的资产与期权组合,标的资产多头与看涨期权空头的组合,2019/9/20,117/140,标的资产多头与看涨期权多头的组合,2019/9/20,118/140,二、差价组合,差价（Spreads）组合是指持有相同期限、不同协议价格的两个或多个同种期权头寸组合（即同是看涨期权，或者同是看跌期权）。 主要类型有牛市差价组合、熊市差价组合、蝶式差价组合等。,2019/9/20,119/140,牛市差价（Bull Spreads）组合,一份看涨期权多头与一份同一期限的较高协议价格的看涨期权空头组合。 一份看跌期权多头与一份同一期限的较高协议价格的看跌期权空头组合。,2019/9/20,120/140,看涨期权的牛市差价组合,2019/9/20,121/140,看跌期权的牛市差价组合,2019/9/20,122/140,熊市差价组合,熊市差价（Bear Spreads）组合刚好跟牛市差价组合相反，包括以下两种情形： 一份看涨期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看涨期权空头； 一份看跌期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看跌期权空头。,2019/9/20,123/140,看涨期权的熊市差价组合,2019/9/20,124/140,看跌期权的熊市差价组合,2019/9/20,125/140,蝶式差价组合,蝶式差价（Butterfly Spreads）组合是由四份具有相同期限、不同协议价格的同种期权头寸组成。设X1 X2 X3，则X2=（X1+X3）/2，则蝶式差价组合有如下四种： 看涨期权的正向蝶式差价组合：由协议价格分别为X1和X3的看涨期权多头和两份协议价格为X2的看涨期权空头组成，其盈亏分布图如图。 看涨期权的反向蝶式差价组合：由协议价格分别为X1和X3的看涨期权空头和两份协议价格为X2的看涨期权多头组成，其盈亏图刚好相反。,2019/9/20,126/140,看涨期权的正向蝶式差价组合,201