《fir滤波器》课件.ppt

Digtlal Signal Processing Using MATLAB,第七章 FIR滤波器设计,数字频率w的概念,定义： 其中：=2f为模拟角频率 T:抽样时间间隔，fs:抽样频率 所以数字滤波器设计必须给出抽样频率 数字频率的2等价于模拟抽样频率s=2fs 按照Nyquist抽样定理，基带信号的频率特性只能限于|w|ws/2=的范围,数字滤波器幅度响应(1),数字滤波器幅度响应(2),数字带通,数字带阻,7.1 概论,滤波器设计：给定技术要求设计系统 设计步骤： 确定技术要求：由具体应用条件决定 提供一个逼近要求的滤波器的表述 根据表述实现滤波器 下面讨论时我们均假设技术要求已知,7.1.1 技术要求的给定,幅度要求： 绝对指标要求：对幅度响应|H(ejw)|给出要求 相对指标要求：以分贝dB形式给出 相位要求：线性相位,一、绝对指标要求(1),绝对指标(2),频带 0,wp 称为 通带passband, 1 是在理想通带响应上可以接受的容度（或波纹） 频带ws,pi 称为 阻带stopband, 2 是相应的阻带容度（或波纹） 频带wp, ws 称为 过渡带transition band, 在这个频带内幅度响应不作要求,二、 相对指标要求(1),0,相对指标(2),Rp:以dB计的通带波纹 As:以dB计的阻带衰减 两种指标之间的关系：,Rp 和 As的计算见P214 ex7.1 & ex7.2,三、为什么只讨论低通滤波器(LPF),上述指标都是针对低通滤波器的 其他类型的频率选择性滤波器(如高通或带通)也能给出类似要求 滤波器设计最重要的参数是频带容限和频带边缘频率,四、技术指标举例,设计一个低通滤波器，它具有一个通带 0,wp ，通带内频带容限为1(或Rp，单位 dB)，一个阻带ws,pi，阻带内容度为2(或As,单位dB) 最后求得结果是得出滤波器的系统函数H(z)或差分方程,五、FIR滤波器的优点,相位响应可以真正线性 系统绝对稳定，设计相对容易 高效实现 可用DFT实现 实际应用时，我们感兴趣的是线性相位的FIR滤波器,六、线性相位响应的优点,设计问题中仅有实数运算 时延固定，没有时延失真 对长为M的滤波器，运算次数只有M/2量级,7.2 线性相位FIR滤波器性质,包括脉冲和频率响应的形状，系统函数零点的位置 设h(n)是长为M的脉冲响应，0nM-1，则,在原点z=0处有 (M-1)阶零点，在z平面其它处有 M-1个零点，频率响应函数可写为,线性相位的脉冲响应形状(1),因为频率响应函数具有线性相位,这里是恒定相位延迟( constant phase delay)，由第6章知，h(n)是对称脉冲响应,因此，h(n)关于对称，根据M的奇偶有两种对称类型,线性相位的脉冲响应形状(1),线性相位的脉冲响应形状(2),第二类线性相位满足条件,相位响应不通过原点，但斜率恒为常数，此时称群时延( group delay)，可知h(n)是反对称脉冲响应,h(n)仍然关于对称，根据M的奇偶有两种对称类型,线性相位的脉冲响应形状(2),对应频率响应特性H(ejw),将M为奇和偶数结合对称和反对称的情况， 得到四种类型的线性FIR滤波器 对应每种类型其频率响应特性都有独特性质，令,其中，Hr(w)是连续的振幅响应函数，可正可负的实函数 相位响应是一个不连续函数,例：设脉冲响应为h(n)=1，1，1，1，求出并画出频率响应,解：频率响应函数为,由方程可得：,I类线性相位：对称脉冲响应，M为奇数,这种情况下，beta=0，alpha=(M-1)/2是整数 h(n)=h(M-1-n)， 0nM-1,将两式比较可得：,II类线性相位:对称脉冲响应，M为偶数,这种情况下，beta=0，alpha=(M-1)/2不是整数 h(n)=h(M-1-n)， 0nM-1,注意： Hr(pi)=0,因此不能采用这种类型设高通or带阻滤波器,III类线性相位：反对称脉冲响应，M为奇数,这种情况下，beta=pi/2，alpha=(M-1)/2是整数 h(n)=-h(M-1-n)， 0nM-1,Hr(0)=Hr(pi)=0, 因此这种滤波器不适合设计低通或高通滤波器 exp(jpi/2)=j，这种特性非常适合设计希尔伯特变换器和微分器,IV类线性相位：反对称脉冲响应，M为偶数,这种情况和II类似，有,Hr(0)=0 and exp(jpi/2)=j. 因此这种类型适合用于设计数字希尔伯特变换器和微分器,MATLAB实现,Hr_type1:求I类线性相位的Hr(w) 调用格式：Hr,w,a,L=Hr_type1(h) Hr_type2:求II类线性相位的Hr(w) 调用格式：Hr,w,b,L=Hr_type2(h) Hr_type3:求III类线性相位的Hr(w) 调用格式：Hr,w,c,L=Hr_type3(h) Hr_type4:求IV类线性相位的Hr(w) 调用格式：Hr,w,d,L=Hr_type4(h),小结,了解了线性相位FIR滤波器的各种特性，便可根据实际需要选择合适的FIR滤波器，同时设计时要遵循有关约束条件。 如：第3、4种情况，对于任何频率都有固定的/2相移，一般微分器及90相移器采用这两种情况，而选频性滤波器则用第1、2种情况。,(1)设计线性相位的低通Digtal Filter,从幅度特性考虑，只能选择第1种或第2种 第一种： 第二种,(2)设计线性相位的高通DF,从幅度特性看，可用第一种或第四种 第一种 第四种,(3)设计线性相位的带阻DF,从幅度特性考虑，只能选择第一种,(4)设计线性相位的带通DF,从幅度特性考虑，可以选择任一种,线性相位滤波器的零点位置,对实序列而言，零点是共轭出现的; 对对称序列而言，零点是镜像出现的; 令q=z 1,f(q) 的系数与f(z)刚好倒序. 由于h(n)的系数是对成的，倒序并不会改变系数. 如果zk是多项式的根 ，则pk=zk-1也是.,对称系数多项式的镜像零点,如果 zk 满足多项式: h0+h1zk-1+ h2zk-2 + hM-2zk-M+2 + hM-1zk-M+1=0 此时 hM-1=h0 , hM-2 =h1, 那么 rk = zk 1 同样会满足方程 h0+h1rk+ h2rk2 + + h1rkM-2 + h0rkM-1 = h0zkM-1 + h1zkM-2 + + h2zk2+ h1zk + h0 = zkM-1(h0+ h1zk-1 + + h1zk-M+2 + h0zk M+1) =0,1/z1,1/conj(z1),z1,conj(z1),特殊的,如果零点为实数，则只有两个零点：z2,1/z2 如果零点在单位圆上且为虚数，则只有两个零点z3,z3* 如果零点在单位圆上且为实数，则只有一个零点z4,7.3 窗口设计法,设计步骤 给定要求设计的理想滤波器的频率响应Hd(ejw) 设计一个FIR滤波器频率响应H(ejw) 由于设计是在时域中进行，使所设计滤波器的h(n)去逼近理想单位取样响应序列hd(n),理想滤波器的频率响应Hd(ejw),设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejw)，对应脉冲响应为hd(n)，则它们满足关系：,若已知Hd(ejw)，即可求出hd(n)，再经过z变换，就可以求出系统函数H(z)，从而设计出系统,一般情况下，Hd(ejw)逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而hd(n)是无限时宽的，且是非因果序列。,例：理想低通滤波器的传输函数Hd(ejw),无失真的理想低通的传输函数为,相应的单位取样响应hd(n),由上式可知，hd(n)无限长，且为非因果序列,理想低通滤波器的Hd(ejw)和h(n)波形,设实际实现的低通滤波器单位取样响应为h(n)，长为N，其系统函数 设计过程相当于找到一个有限长序列h(n)，去逼近理想低通的hd(n)，这必然会引入误差频域的吉布斯(Gibbs)效应(截断效应) 后果：引起通带和阻带内的波动效应，尤其是使阻带衰减减小,设计实现一个FIR滤波器H(ejw),例：设计截止频率wc=/3时延为6的具有线性相位的FIR低通滤波器,为了构造一个长为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证对(N-1)/2对称 设截取的段用h(n)表示，则 其中W(n)：长为N的窗函数(这里取矩形序列)当=(N-1)/2时，截取的h(n)对(N-1)/2对称，保证设计的滤波器具有线性相位,这里，hd(n)是以n=6为中心偶对称的无限长序列 现用一个有限长N=13的因果序列h(n)逼近它 最简单的方法：给hd(n)加矩形窗RN(n)， 即令W(n)=RN(n)，则,低通滤波器脉冲响应波形截断处理示意图,截断处理后，由于h(n)满足对称脉冲响应，所以一定满足第一类线性相位,设计步骤,先由Hd(ejw)求付里叶反变换hd(n). 砍头去尾。 因为我们要设计FIR滤波器h(n)必须满足： 因果性： t砍头 线性相位：要求h(n)中心对称或反对称，由于砍头，所以必须去尾，让它们中心对称。 即用有限长的h(n)去逼近无限长的hd(n). 利用卷积过程。即h(n)=W(n)hd(n) 可见窗函数序列的形状及长度的选择是设计关键。,窗口法设计数字滤波器,主要任务：寻找最有效的方法截断hd(n)，即用一个有限长度的窗口函数序列W(n)来截取hd(n)，使H(ejw)最逼近Hd(ejw) 通过加窗可得到不同类型的数字滤波器 数字低通 数字高通 数字带通 数字带阻,数字低通,设h(n)是长为N，以=(N-1)/2为中心偶对称的函数,h(n)的设计,根据前面讨论可知，低通滤波器只能选择对称脉冲响应 当N为奇数时，设计第一种情况的线性相位低通DF 当N为偶数时，设计第二种情况的线性相位低通DF 设选用矩形窗，即,设计举例：,用矩形窗设计截止频率wc=/3的具有线性相位的FIR低通滤波器 若取N=13，为奇数，则对称脉冲响应,若取N=12，为偶数，则,数字高通,理想的线性相位高通DF的频率特性为：,其幅度特性：,冲激响应,理想高通滤波器冲激响应 加窗处理后的数字滤波器冲激响应,分析,因为 为偶函数，W(n)为常数 当N为奇数时，对应第一种线性相位，h(n)=h(N-1-n)为对称脉冲响应 当N为偶数时，对应第四种线性相位，h(n)=-h(N-1-n)为反对称脉冲响应,取矩形窗时，W(n)=RN(n),取N=13，为奇数，则,取N=12，为偶数，则,理想数字带通滤波器,理想的线性相位带通DF的频率特性为：,其冲激响应hd(n),加矩形窗处理后，得到,分析：,若选择相位有相移的理想带通DF 频率特性为：,此时的脉冲响应,加矩形窗处理后,分析,此时的h(n)一定为反对称序列,当N为奇数时，对应第三种线性相位， 当N为偶数时，对应第四种线性相位，,7.4 加窗对系统频率响应的影响,根据频域卷积定理，加窗后，滤波器的频率响应 现在我们以低通滤波器为例来讨论： 加窗后，频率响应发生了什么变化 加什么样的窗，可以使变化减至最小,7.4.1 矩形窗,矩形窗口的频率特性为,用幅度响应和相位响应的乘积表示为,矩形窗（2）,当w很小时， 当w很大时，WR(w)为周期函数,矩形窗处理后的频率响应,根据频域卷积定理可得,Wr(w-wc),Wr(w-wc+2 /N),Wr(w-wc-2 /N),加窗后的低通滤波器频谱,几个特殊频率点,w=0处，响应值 为窗函数频谱Wr(w-)和理想低通滤波器频率特性Hd()的乘积的积分，可近似看作Wr()在- 到的全部积分面积 w=wc处， Hd()刚好与Wr(w-)的一半重叠，因此H(wc)=0.5H(0) w=wc-2 /N处， Wr(w-)的全部主瓣在Hd()的通带之内，因此卷积结果有最大值，频率响应出现正肩峰 w=wc+2 /N处， Wr(w-)的全部主瓣在Hd()的通带之外，通带内的旁瓣负的面积大于正的面积，因此卷积结果有最负值，频率响应出现负肩峰,几个特殊频率点（2）,当wwc+2 /N后， Wr(w-)的左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积值围绕零值而波动 当wwc+2 /N时， Wr(w-)的右旁瓣进入通带，卷积值围绕H(0)而波动,加矩形窗对理想低通滤波器的影响,使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成过渡带，过渡带的宽度等于窗的频谱主瓣宽度4/N 在截止频率wc的两边 处，H(w)出现肩峰，肩峰的两侧形成起伏振荡，振荡幅度取决于旁瓣相对幅度，振荡多少，取决于旁瓣的多少 增加截取长度，则主瓣附近的窗的频率响应 可见改变N，只能改变窗的主瓣宽度，w坐标的比例和Wr(w)的绝对值大小，而不能改变主瓣与旁瓣的相对比例,矩形窗的频谱示意图,各种窗函数,矩形窗阶段造成府肩峰为8.95%，阻带最小衰减为21dB，不符合工程需要 为了加大阻带衰减，只能改善窗函数形状，使窗谱尽量逼近冲击函数，即绝大部分能量集中在频谱中点 一般窗函数满足两项要求： 窗谱主瓣尽可能的窄，以得到较陡的过渡带 尽量减少最大旁瓣的相对幅度 一般而言，上面两项要求不能同时满足,矩形窗,三角形(BARTLETT)窗,升余弦窗（汉宁Hanning窗）-1,左移,右移,倒余弦,升余弦窗（汉宁Hanning窗）-2,升余弦窗（汉宁Hanning窗）-3,由于频谱是由三个互有频移的不同幅值的矩形窗函数相加而成，这样使旁瓣大大抵消，从而能量相当有效地集中在主瓣内。 其代价:主瓣加宽一倍，可达到减少肩峰，余振，提高阻带衰减。缺点：过滤带加大,改进的升余弦窗(汉明Hanning窗)-1,其频谱函数为,其幅度函数为,改进的升余弦窗（汉明Hamming窗）-2,二阶升余弦窗(布拉克曼Blackman窗),凯塞窗（Kaiser窗）,以上几种窗函数是各以一定主瓣加宽为代价，来换取某种程度的旁瓣抑制，而凯窗则是： 全面地反映主瓣与旁瓣衰减之间的交换关系， 可以在它们两者之间自由地选择它们的比重。,滤波器阶数(长度)M的选择,取Kaiser窗时设定beta,再用kaiserord函数求得M,Matlab 实现,W=boxcar(M): 产生M点的矩形窗 W=triang(M): 产生M点的Bartlett窗 W=hanning(M) 产生M点的Hanning窗 W=hamming(M) 产生M点的Hamming窗 W=blackman(M) 产生M点的Blackman窗 W=kaiser(M,beta) 产生beta值的M点Kaiser窗 Examples,例：设计一个数字FIR低通滤波器，技术指标如下: wp=0.2，Rp0.25dB，ws0.3，As50dB,首先查表选择满足阻带衰减的窗函数 从中选择最合适的(过渡带较小的) 调用MATLAB函数进行设计 验证设计滤波器是否满足通带波纹 如果不能满足，则换用过渡带较大的，重复以上步骤 如果满足，则设计成功,频率采样设计法(1),设计原理：系统函数H(z)能够从频率响应H(ejw)的样本H(k)中恢复 基本思想：已知理想低通滤波器Hd(ejw)，选取滤波器长度为M，在0，2区间以M等分频率对Hd(ejw)采样得H(k)，再由其离散傅里叶反变换h(n)得系统函数H(z) h(n)=IDFTH(k)可用函数 ifft 计算,频率采样设计法(2),特点： 采样频率点上近似误差为0 其它频率点上的近似误差取决于理想响应的形状，理想响应愈陡峭，近似误差越大 靠近通带边缘的误差较大，通带内误差较小 分类： 直接设计法：直接利用基本思想，在近似误差上不给出任何条件 最优设计法：通过改变过渡带内的样本值将阻带内误差减至最小,Phase for Type 1 & 2 Phase for Type 3 & 4,直接设计法(Naive design methods),设计思想： 令H(k)=Hd(e j2k/M)，k=0,1,M-1， 用h(n)=IDFTH(k)求得脉冲响应h(n) 例：用频率采样法设计一个数字FIR低通滤波器，技术指标如下: wp=0.2，Rp0.25dB，ws0.3，As50dB,分析：取M=20，使在wp处有一个样本，即k=2,wp=0.2= (2/20)2 下一个样本在ws，即在k=3 wp=0.3= (2/20)3 这样通带内0wwp内有3个样本，在阻带wsw内有7个样本 Hr(k)=1,1,1,0,0,1,1 共15个零 由于M=20，=(M-1)/2=9.5，为II类线性相位滤波器 再由IDFT可得h(n),MATLAB编程解得,M=20;alpha=(M-1)/2;l=0:M-1;w1=(2*pi/M)*l; Hrs=1,1,1,zeros(1,15),1,1; Hdr=1,1,0,0; wdl=0,0.25,0.25,1; k1=0:floor(M-1)/2);k2=floor(M-1)/2)+1:M-1; angH=-alpha*(2*pi)/M*k1,alpha*(2*pi)/M*(M-k2); H=Hrs.*exp(j*angH); h=real(ifft(H,M); db,mag,pha,grd,w=freqz_m(h,1); Hr,ww,a,L=Hr_Type2(h);,最优设计法(Optimum design method),设计方法：增大取样点数M，并让过渡样本作为自由样本，改变他们的值以得到在给定M的条件下的最大衰减及过渡带宽 例：利用最优设计法设计一个比上例更好的低通滤波器 增加取样点数M=40，以使过渡带内(0.2 w0.3)有一个样本，在k=5和k=35处，用T表示这两个样本值，其中0T1，则以采样的振幅响应 Hr=1,1,1,1,1,T,0,0,T,1,1,1,1 共29个零,由于alpha=(M-1)/2=19.5，相位响应的样本是,现在我们考虑如何选取T值，以得到更好的最小阻带衰减 首先我们选取通带和阻带幅度的中值0.5 用MATLAB编程解得,MATLAB程序,M=40;alpha=(M-1)/2;l=0:M-1;w1=(2*pi/M)*l; Hrs=1,1,1,1,1,0.5,zeros(1,29),0.5,1,1,1,1; Hdr=1,1,0,0; wdl=0,0.25,0.25,1; k1=0:floor(M-1)/2);k2=floor(M-1)/2)+1:M-1; angH=-alpha*(2*pi)/M*k1,alpha*(2*pi)/M*(M-k2); H=Hrs.*exp(j*angH); h=real(ifft(H,M); db,mag,pha,grd,w=freqz_m(h,1); Hr,ww,a,L=Hr_Type2(h);,结论：,通过改变一个样本值，我们得到一种更好的设计 实际系统的过渡带往往很小，只有一到两个样本，只需优化较少的样本就可以获得最大的最小阻带衰减 这等小于使最大旁瓣幅度最小化，因此这类优化问题也称最大最小化问题(minimax problem) 最优过渡值表见文献19的附录B,最优等波纹设计法,窗口设计法和频率采样设计法的缺陷 设计过程不能将边缘频率wp和wc精确给定 不能够同时标定波纹因子1和2， 近似误差在频带区间上不是均匀分布的，靠近频带边缘误差愈大，远离频带边缘误差愈小,上述缺陷的克服,对线性相位FIR滤波器而言，可以导出一组条件，使最大近似误差最小化的意义下设计的解达到最优(最大值最小误差或Chebyshev误差) 满足这种条件的滤波器称为等波纹滤波器，其近似误差在通带和阻带均匀分布，且实现相同性能滤波器时阶数更低,最大最小问题的建立,线性相位FIR滤波器4种情况的频率响应都能写为如下形式,其中 beta 和 Hr(w) 的表达式在表 7.2 (P.265)中给出 利用三角函数恒等式，可将上面每个Hr(w)表达式写成一个w的函数Q(w)和一个余弦和的函数P(w). 其中 四种情况下的Q(w)，L和P(w)由表7.3(P.279)给出,Chebyshev 近似问题,分析的目的是为了对4种情况有 Hr(w) 的共同形式. 这将使问题的描述更容易 为了将问题归结为 Chebyshev近似问题，必须定义期望的振幅响应 Hdr(w) 和通带与阻带内定义的加权函数W(w)(用以独立控制) 加权误差定义：,Chebyshev 近似问题,加权误差响应E(w)与加权函数W(w)关系详见P266 定义,Chebyshev 近似问题的陈述,给定准确的wp，ws， 1和2，确定一组系数a(n)、b(n)、c(n)或d(n)以使在通带内和阻带内E(w)的