数字图像处理课件1.ppt

第三章 图像变换,3.1 概述 3.2 傅立叶变换和性质 3.3 其他可分离变换 3.4 霍特林变换,3.1 概述,为了有效和快速地对图像进行处理和分析 常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形 式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的 特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换 回图像空间以得到所需要的效果。,3.1 概述,一、 图像变换的引入 1. 方法：对图像信息进行变换，使能量保持但重新分配。 2. 目的：有利于加工、处理（滤除不必要信息(如噪声)，加强/提取感兴趣的部分或特征）。,3.1 概述,二、 方法分类 可分离、正交变换:2D-DFT, 2D-DCT, 2D-DHT，2D-DWT。,3.1 概述,三、 用途 1提取图像特征（如） ： （1）直流分量 ； （2）目标物边缘：F（u,v）高频分量。 2图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。 3图像增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤 波，锐化边缘,3.2 傅立叶变换和性质,f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：,其反变换为：,1、一维傅立叶变换,3.2 傅立叶变换和性质,幅度谱： 相位谱：,其中: F(u)=R(u)+jI(u),一维离散傅立叶变换(DFT),一维离散傅立叶变换公式为：,逆变换为：,二维傅立叶变换,二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：,逆变换：,二维傅立叶变换,其中: F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v),幅度谱： 相位谱：,二维离散傅立叶变换,对于二维傅立叶变换，其离散形式为：,逆变换为：,幅谱(频谱)、相谱：,频率域 幅值与频率,空间域 灰度,傅立叶变换举例,二维离散傅立叶变换的性质,1. 线性性质：,2. 比例性质：,3. 可分离性：,可分离性,二维离散傅立叶变换 DFT 可分离性的基本思想是：二维 DFT 可分离为两次一维 DFT 应用：二维快速傅立叶算法 FFT ，是通过计算两次一维FFT 实现的,可分离性,傅立变换的可分离性质 先进行列变换，然后进行行变换。,可分离性,可分离性,4. 空间位移：,5. 频率位移：,图像中心化：,当u0=v0=N/2时，,二维离散傅立叶变换的性质,频率位移,即将f（x,y）之图像频谱（图像能量集中在低频的 4 个角，见下图(a)）从原点（0，0）移到中心（N/2,N/2），得到一个完整的频谱，称为频谱中心化(见下图(b),6. 周期性： F(u,v)=F(u+aN,v+bN), f(x,y)=f(x+aN,y+bN),7. 共轭对称性：,8. 旋转不变性：,9. 平均值：,10. 卷积定理： f(x,y)*h(x,y) F(u,v)H(u,v) f(x,y)h(x,y) F(u,v)*H(u,v),11. 帕塞瓦定理（能量定理）：,若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：,频率位移性质,当图像在频率域时移动时需要用到频率位移性质：,图像中心化,把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上,平均值,平均值定义：,由傅立叶变换定义：,因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：,2D-FFT,2D-DFT可由连续2次的1D-DFT实现,对 1D-DFT研究其快速算法即1D-FFT就可得 到2D-FFT.,3.3 其他可分离变换,1、可分离变换：,1-D可分离变换的一般形式可用下式表示：,其中T(u)为f (x)的变换，g(x, u)称为正向变换核。 同理，反变换可表示为：,其中h(x, u)称为反向变换核。,3.3 其他可分离变换,对2-D的情况，正变换和反变换可分别表示为：,同样，g(x, y, u, v)和h(x, y, u, v)分别称为正向变换核和反向变换核。,3.3 其他可分离变换,如果下式成立：,则称变换核是可分离的。进一步如果g1与g2的函数形式一样，则称变换核是对称的。此时有：,3.3 其他可分离变换,具有可分离变换核的2-D变换都可分成2个步骤计算， 每个步骤用1个1-D变换。首先沿f (x, y)的每1列进行1-D 变换得到：,然后沿T(x, v)的每1行进行1-D变换得到：,3.3 其他可分离变换,2、沃尔什变换,沃尔什（Walsh）变换是一种可分离变换。 当 时，变换核为：,3.3 其他可分离变换,离散沃尔什变换W(u)为：,是z的二进制表达中的第k位。例如n = 3， 则对z = 6（1102），有b0(z) = 0，b1(z) = 1，b2(z) = 1。,3.3 其他可分离变换,例 沃尔什变换核的值 下表给出N = 8时1-D的沃尔什变换核的值,3.3 其他可分离变换,由沃尔什变换核组成的矩阵是一个对称矩阵并且其行和列正交（即各行向量与各列向量的内积为0，互相独立）。这些性质表明反变换核与正变换核只差1个常数1/N，即：,所以离散沃尔什反变换为：,3.3 其他可分离变换,2-D的沃尔什正变换核和反变换核由以下2式给出：,这2个核完全相同，所以下面2式给出的2-D沃尔什正变换和 反变换也具有相同形式：,3.3 其他可分离变换,沃尔什变换可用类似于FFT的算法快速地计算， 快速沃尔什变换简写为FWT。,3.3 其他可分离变换,正向变换核和反向变换核均只依赖于x, y, u, v而与f (x, y)或F(u, v)的值无关。这些核可看作1组基本函数，一旦图像尺寸确定这些函数也完全确定。书中图3.4.1给出N = 4时沃尔什基本函数的图示，其中白色表示1，而阴影表示 1。每个大方块对应固定的u和v，内部小方块对应的x和y从0变到3。,3.3 其他可分离变换,3、哈达玛变换,哈达玛（Hadamard）变换也是一种可分离变换。 2-D的哈达玛正变换核和反变换核由以下2式给出：,其中指数上的求和是以2为模的。,3.3 其他可分离变换,二维哈达玛变换的变换公式如下：,3.3 其他可分离变换,4、离散余弦变换,2-D离散余弦变换（DCT）和其反变换由以下2式定义：,其中a(u)由下式定义：,3.3 其他可分离变换,2-D DCT的正变换核表达式为：,DCT的变换核具有可分离性和对称性，即,3.4 霍特林变换,霍特林变换,霍特林变换在连续域对应的变换是KL变换，霍特林（Hotelling）变换也常称为特征值变换、主分量变换或离散KL变换，它基于图像的统计特性。,设从同一个随机母体得到了M个矢量采样，则其均值矢量和协方差矩阵可分别由以下2式利用采样来近似：,3.4 霍特林变换,例：协方差矩阵计算,协方差矩阵为,设有1组随机矢量x = x1 x2 x3T，其中x1 = 0 0 1T，x2 = 0 1 0T，x3 = 1 0 0T，均值矢量为：,3.4 霍特林变换,现令 和 li (i = 1, 2, , N )分别为Cx的特征矢量和对应的特征值，并且这些特征值单调排列，即 li li+1(i = 1, 2, , N 1)。再令A为由Cx的特征矢量组成其各行的矩阵，并且A的第1行为对应最大特征值的特征矢量，A的最后1行为对应最小特征值的特征矢量。如果设A是将x转换为y的变换矩阵，则：,上式就称为霍特林变换。,由这个变换得到的y矢量均值为0,3.4 霍特林变换,Y矢量的协方差矩阵可由A和 得到,它的主对角线以外的元素值均为0,3.