連續機率分配-朝陽科技大學.ppt

第七章 連續機率分配,學 習 目標,瞭解連續機率分配的觀念。 計算連續隨機變數的期望值、變異數及標準差。 熟悉常態分配之意義、特性及其應用。 瞭解二項分配與常態分配之關係。 利用Excel求算常態分配值並繪製圖形。,本 章 架 構,7.1 連續機率分配之意義 7.2 常態分配 7.3 標準常態分配 7.4 常態分配機率之計算 7.5 二項分配與常態分配之關係,7.1 連續機率分配之意義,機率密度函數(probability density function ; p. d. f.) 令X為一連續隨機變數，則其機率密度函數f(x)必須滿足下列條件 對所有的x而言，f(x) 0。 。 註: (i) 間斷變數之p.m.f. f(x) 1 不可能 以點機率表示 P(X = a) = f(a) 0 (ii) 連續變數之p.d.f. f(x) 1 有可能 以區間面積表示機率值, 故以積分求其機率值, 但其點機率值P(X = a) = 0, 故P(X = a) f(a),7.1 連續機率分配之意義(續),圖7.1 連續隨機變數之機率分配,7.1 連續機率分配之意義(續1),令w表示組距，則圖7.1之每一矩形面積為wf(x)，因為連續隨機變數於特定區間發生的機率值即為f(x)下該特定區間之面積，且根據機率之性質，機率值必須介於0和1之間，及機率總和必須等於1 ，因此,例7.1,假設X為一連續隨機變數，試問 是否為一機率密度函數？ 解：因為 1. 2. 因此，f(x)是一機率密度函數。,7.1 連續機率分配之意義(續2),累積機率函數 令X為一連續隨機變數，則其累積機率函數F(x)定義為 又點機率 : P(X=c) = P(c X c) = F(c) F(c) = 0 P(X c) = P(X c) + P(X=c) = F(c) 故P(a X b) = P(a X b) = P(X b) P(X a) = F(b) F(a) 註: (i) F(x) 之圖形為上升且連續函數 (ii)d(F(x)/dx = f(x) F(x)為f(x)反導數,連續機率分配,例: 令X為一連續變數, 其機率密度函數(p.d.f.) f(x)為 f(x) = k x(1-x) , 0 x 1 , (1) 求k值使f(x) 滿足機率密度函數性質 (2) 求P(1/4 x 1/2) 解: (1) (i) P(0 x 1) = 1 01 f(x)dx =1 k = 6 (ii) f(x) = 6 x(1-x) 0 , 0 x 1 k = 6使f(x) 滿足機率密度函數性質 (2) 求X之c.d.f. F(x), F(x) = P( X x) = 0x f(t)dt = 3x 2x2 P(1/4 X 1/2) = F(1/2) F(1/4) = 3/8 註: 此連續變數X為Beta分配,7.1 連續機率分配之意義(續3),連續隨機變數之期望值與變異數： 令X為一連續隨機變數，則其期望值與變異數分別定義為 = 2 = 註: Var(X) = E(X2) - 2 E(g(X) = - g(x)f(x)dx,例7.2 續例7.1,求連續隨機變數X之期望值與變異數。 解： 根據(7.1)式和(7.2)式， X之期望值與變異數分別為,例7.2 續例7.1(續),連續變數之常用分配,1. 常態分配( Normal distribution) X N( , 2) 2. 連續均勻分配(Uniform distribution) X U(a, b) 3. 指數分配(Exponential distribution) X Exp(),7.2 常態分配,常態(Normal)機率密度函數 ， ， 此處為平均數，為標準差，3.1416，e=2.7183。 和 為常態分配之參數，一般以XN( , 2)表示之。 註: (i) f(x) 之分布呈單峰對稱(即鐘形分布) (ii) 平均數(mean) = 中位數(Me) = 眾數(Mo) = (iii) 若 = 0, 2 = 1 , 則稱標準常態分配 ,以 Z N(0 , 1)表示,推論統計的基礎,常態分配及常態曲線(The Normal Curve)的觀念，在統計中十分重要，它們是推論統計的基礎。 常態分配及曲線是一種理論模式，但透過這理論模式，我們可以對實證研究所得之資料分配，做相當精確之描述及推論。能做到這一點是因常態分配本身有些重要且已知的特性，而實際之資料分配也往往接近常態分配。,常態分配的重要性,常態分佈之所以重要， 原因很多， 三個主要的原因為： 首先是常態分佈在分析上較易處理。 其次是常態分佈之機率分配圖形為鐘形曲線(bell-shaped curve) ，再加上對稱性，使得很適合當做不少母體之機率模式。當然我們知道鐘形且具對稱的分佈也有不少， 但通常不像常態分佈，在分析上如此容易駕馭。 第三個原因是由於在中央極限定理(Central Limit Theorem) ， 使得在不太強的條件下， 常態分佈可當做不少大樣本的近似分佈。,7.2 常態分配(續),常態分配之性質 不同的平均數和標準差形成不同的常態分配（見 圖7.2與圖7.3 ）。 常態分配係以平均數為中心的對稱分配，即平均數、中位數及眾數都相等。 常態機率函數下之面積總和等於1 。 常態分配曲線的尾部兩端無限延伸。 較常用的常態分配機率範圍見圖7.4。,7.2 常態分配(續1),圖7.2 N(2, 0.25)和N(5, 0.25)之比較,x,7.2 常態分配(續2),圖7.3 N(0, 1)和N(0, 0.16)之比較,7.2 常態分配(續3),圖7.4 常態分配曲線下之面積,常態分配的應用實例(一),股市技術面衡量指標：超買超賣（） 一. 定義： 利用一段時間內股市漲跌家數的累計差關係，以研判大盤買賣氣勢之強弱及未來走向。公式如下： 10日值10日內股票上漲累計家數 10日內股票下跌累計家數 二. 研判技巧 ： 10 日值通常在-600至 +700之間呈現常態分配。 10 日值超過700時，股市呈現超買現象，是賣出時機， 反之 10 日OBOS值低於-600時，股市呈現超賣現象，是買進時機。 當10 日走勢與大盤指數走勢呈現背離時，大盤可能隨時會做反轉，尤其在高檔形成頭為賣出時機，低檔形成底為買進時機。,常態分配的應用實例(二),教育部於民國八十六年七月六日在屏東召開教育廳局行政協調會報，重申貫徹常態編班的政策，並獲得地方行政單位的支持。常態編班學生異質性高，目前台灣省各國中，若利用校務行政網路系統進行常態編班，其方式約有三種： （1） S型編班：作業前先將每位學生順序編排號碼，可以是亂數編碼（但為了日後各班級程度一致，最好避免以此方式編碼）或經由智力測驗、學科測驗的名次來編碼。編班時，按其編碼順序地進行S型由前至後，再由後至前的將學生編於各班。 （2）分組亂數編班：如上述先給予每位學生一個編碼，若預編為班則將學生-，-16，17-24依此類推，每八位學生為一組，再將每組學生以亂數方式編排至個班級中。 （3）純亂數編班：如（1）所述給予每位學生一個編碼後，不考慮順序，完全以電腦亂數處裡，將學生編入班級中。,7.3 標準常態分配,標準常態分配(standard normal distribution)： 當常態隨機變數之期望值為0且變異數為1時，一般以 Z N(0, 1)表示之，其機率函數如圖7.7所示 , 註: (z) = f(z) 標準常態分配Z之累積分配函數 c.d.f. F(z)為 F(z) = P(z z) = -z f(t) dt = (z) 註: (i)因為積分複雜故需藉由查表才能求得機率值 (ii) P(a c ) = 1 P(Z c) = (c),7.3 標準常態分配查表,I. 給定分位數z求機率值 1. P( Z 1.96) = 0.025 2. P(Z - 1.96) = 0.975 3. P(0.15 Z 1.96) = 0.4154 4. P(|Z| 1) = P(-1 Z 1) = 0.6826 P(|Z| 2) = P(-2 Z 2) = 0.9544 P(|Z| 3) = P(-3 Z 3) = 0.9974 5. (i) 分位數z四捨五入: P(Z 1.458) = P(Z 1.46) = 0.9279 (ii) 內差法: P(Z 1.458) = 0.2 P(Z 1.45) + 0.8 P(Z 1.46) = 0.20.92265 + 0.8 0.9279 = 0.92762,7.3 標準常態分配查表,II. 給定機率值求分位數z 1. P(Z d) = 0.10 d = 1.28 (ii)利用內差法: P( Z d) = 0.10 d = 0.81.28 + 0.21.29 = 1.282 註: 以下為比較常用分位數z (1) P(Z z) = 0.10 z = 1.282 (2) P(Z z) = 0.05 z = 1.645 (3) P(Z z) = 0.025 z = 1.96 (1) P(Z z) = 0.01 z = 2.326,7.3 標準常態分配(續),圖7.7 標準常態分配,7.3 標準常態分配(續1),標準常態分配之性質 標準常態分配係以0為中心之對稱分配，即 P(Z 0) = P(Z 0)=0.5。 2. 標準常態機率函數下之面積總和等於1。 常態分配曲線的尾部兩端無限延伸。 X N( , 2) , X 轉換標準常態分配Z之公式: Z = (X - ) / N( 0, 1) 求p(a X b)時需將X轉換為Z = (X - ) / 即 p(a X b) = p(a* Z b*) = p (查表) 如 P(X ) = P(Z 0) = 0.5 P(X - ) = P(Z 1) = 0.8413,7.3 標準常態分配(續2),表7.1 標準常態機率表,7.3 標準常態分配(續3),驗證經驗法則：,7.3 標準常態分配(續4),圖7.8 標準常態分配曲線下之面積,例7.3,求P(Z 0.72)之機率值。 解：,例7.3,求P(-0.12 Z 0.72)之機率值。 解：,例7.3,求P(0.12 Z 0.72)之機率值。 解：,7.2 常態分配(續3),因為X之分布呈鐘形分布 , 對照經驗法則 (i) P(|Z| 1) = 0.68 , (ii) P(|Z| 2) = 0.95 , (iii) P(|Z| 3) = 0.68 圖7.4 常態分配曲線下之面積,7.4 常態分配機率之計算,XN(, 2) ， X介於a和b之機率值，其程序必須先將常態隨機變數X透過標準化轉換為標準常態隨機變數Z，即 。,例7.6 大學聯考成績,某次大學聯考，考生之分數呈現常態分配，其中 =500、=100，現隨機抽取一人，其成績介於325和675分之間的機率為何？隨機抽出5個人時, 試問只有2個人成績介於325和675分之間的機率為何？ 解： 令隨機變數X定義為考生之大學聯考成績，則X之機率分配為平均數=500、標準差=100之常態分配，故考生成績介於325和675分之間的機率為,例7.6 大學聯考成績(續),大學聯考成績(續),(2) p = P(325 X 675) = 0.9198 令Y表此5人成績介於325和675分之間的人數 , 所以Y為近似二項式分配 , Y B(n , p) , 其中 n = 5, p = 0.9198 P( Y = 2) = C25 (0.9198)2(0.0802)3 = 0.0044 註: 此Y HG(N, K, 5), 因為n / N 0.05 所以Y B(n , p) , 其中n = 5, p = 0.9198,例7.7 續例7.6,若某生想考上國立大學，則成績須名列前15%才有希望，試問他必須考多少分才有希望考上國立大學？(求分位數) 解：假設某生必須考a分才有希望考上國立大學，則,例7.7 續例7.6 (續),因此， 查表可知 所以某生必須考604分才有希望考上國立大學。,7.5二項分配與常態分配之關係,二項分配 vs.常態分配 二項分配，若試驗次數n固定，則當p0.5時，其分配呈現左偏；當p=0.5時，其分配呈現對稱。 二項分配，若試驗次數n愈大時，則無論成功機率p值為何，其分配會愈來愈呈現對稱的情形。 在實務應用中，只要當np 5且n(1p) 5時，則可使用常態分配作為二項分配之近似分配。 X B(n, p) X N(np, npq) np 5且n(1p) 5 2,7.5二項分配與常態分配之關係(續),連續校正因子 (correction for continuity) 二項分配係屬於間斷機率分配，其隨機變數之任一可能值發生的機率是存在的，而常態分配係屬於連續機率分配，其隨機變數之任意可能數值發生的禨率皆為0 。 連續校正因子係指加減0.5個單位。透過連續校正因子，可利用常態分配來求得二項分配的機率。,7.5二項分配與常態分配之關係(續1),圖7.18 B(10,0.5)和N(5,2.5)之比較,7.5二項分配與常態分配之關係(續2),圖7.19 二項分配和常態分配之比較,7.5二項分配與常態分配之關係(續3),連續校正因子的使用方式 設X為二項分配(X B(n, p)，Y為常態分配( Y N(np, npq) P( a a之機率時，因不包含a點，故以Y a 0.5之機率為近似值。 當計算X b之機率時，因包含b點，故以Y b 0.5之機率為近似值。 當計算X b之機率時，因不包含b點，故以Y b0.5之機率為近似值。,例7.8 丟擲一均勻銅板50次,丟擲一均勻銅板50次，試問： 其出現20次正面之機率為何？ 其出現正面的次數超過20次，但少於30次之機率為何？ 解： 1.令隨機變數X為50次中出現正面的次數，則X B(50, 0.5) P( X = 20) = C2050 (0.5)20(0.5)30 = C2050 (0.5)50 = 0.04186 因為np = 25 5且nq = 25 5 所以X Y N(25, 12.5) P( X = 20) P( 20 Y 20) = P( 19.5 Y 20.5) = P(-1.56 Z -1.27) = 0.0426,例7.8丟擲一均勻銅板50次(續),例7.8 丟擲一均勻銅板50次(續1),現令隨機變數 ，因 且 ， 故 利用常態分配求得之機率值與二分配之機率值非常相近。,例7.8丟擲一均勻銅板50次(續2),2.同理可得 P(20 X 30) = 2129 Cx50(0.5)x(0.5)50-x 例: 續前例, 若此銅幣為不公平, 即正面出現率為反面3倍, 試回答上述4題結果,兩獨立常態分配變數,定理: 若X N(1 , 12) , Y N(2 , 22) 且X , Y獨立則 (1) 當W = X + Y , 則W N(1+ 2 , 12 + 22) (2) 當W = X - Y , 則W N(1 - 2 , 12 + 22) (3) 當W = kX , 則W N(k1, k2 12) (4) 當W = kX +cY , 則W N(k1+ c2 , k2 12 + c2 22),補充: 均勻分配(Uniform distribution),定義: 均勻分配 若連續變數X為均勻分配, 以X U(a , b) 則X之機率密度函數p.d.f.f(x)為 f(x) = 1 / (b-a) , a x b 註: (i) f(x) 圖形為水平線 (ii) X之c.d.f F(x) = (x-a) / (a-b) , a x b F(x)圖形為斜率為1/(b-a)之直線 (iii) X U(0 ,1) 為標準均勻分配, Y = F(X) U(0 ,1) 其中X為任何分配之變數 定理: 若X U(a , b) , 則 = (a+b) /2 , 2 = (b-a)2 / 12 註: 若X為間斷均勻分配(f(x) = 1/n, x = 1, 2, .,n) 則 = (1+n) /2 , 2 = (n2 1) / 12,均勻分配,例: 假設某班次火車開車時間依過去記錄在上午8:10 8:20 ，假設開車時間(X:分)呈均勻分配，試回答下列問題 (1) 某人在上午8:13 到車站，則此人可搭上此班火車機率 (2)試問此班火車平均開車時間 解: X U(10, 20) c.d.f. F(x) = (x-10)/(20-10) (1) P(X 13) = 1 P(X 13) = 1 3/10 = 0.7 (2) E(X) = (10+20)/2 = 15 所以此班火車平均開車時間為上午8:15 註:某人在上午8:00 到車站，則此人可搭上此班火車機率為1 P(X 0) = P(X 10) = 1 P(X 10) = 1- 0 = 1,補充: 指數分配(Exponential distribution),定義: 指數分配 若連續變數X為指數分配, 以X Exp() 則X之機率密度函 數p.d.f.f(x)為 f(x) = (1/ ) e -x/ , x 0 註: (i) f(x) 圖形為嚴格下降曲線 (ii) X表兩事件發生之間隔時間 (iii) 為間隔時間期望值(即(X) = ), (ii)和(iii)時間單位需一致 (iv) 指數分配的參數單位為 平均時間 / 次 波松分配的參數單位為 平均次數 /單位時間,指數分配,定義: 指數分配 若連續變數X為指數分配, 以X Exp() 則X之機率密度函 數p.d.f.f(x)為 F(x) = P(X x) = 1 - e -x/ , x 0 註: (i) P(X a) = 1 - e -a/ (ii) P(X a) = e -a/ (iii) P(a X b) = P(X a) P(X b) = e -a/ - e -b/ 定理: 若X Exp() 則 = E(X) = , 2 = 2,指數分配,例: 假設某超市客人進入流程是穩定流程, 依過去記錄平均每4分鐘進來一個客人, 令X(分)表兩客人進入此超市之間隔時間, 試回答下列問題: (1) X之分配為何 (2) 若某客人於上午9:00進入後, 求下一位在上午9:04 9:08進 入之機率 (3) 若某