2020届高考数学第八篇圆锥曲线的综合问题（第2课时）最值、范围、证明专题课时作业理新人教A版.docx

第2课时 最值、范围、证明专题课时作业1设椭圆M：1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且内切于圆x2y24.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yxm交椭圆于A，B两点，且P(1，)为椭圆上一点，求PAB的面积的最大值解：(1)由双曲线的离心率为，得椭圆的离心率e.易知圆x2y24的直径为4，所以2a4.由得故椭圆M的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x22mxm240.由(2m)216(m24)0，得2m2.x1x2m，x1x2，|AB|x1x2|.又点P到直线AB的距离d，则SPAB|AB|d，当且仅当m2(2，2)时取等号故PAB的面积的最大值为.2已知圆G：x2y22xy0经过椭圆1(ab0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(ma)作倾斜角的直线l交椭圆于C，D两点(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围解：(1)圆G：x2y22xy0经过点F，B，F(2,0)，B(0，)，c2，b，a2b2c26，椭圆的方程为1.(2)由题意知直线l的方程为y(xm)，m，由消去y，得2x22mx(m26)0.由4m28(m26)0，解得2m2.m，m2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2m，x1x2，y1y2x1x2(x1x2).(x12，y1)，(x22，y2)，(x12)(x22)y1y2x1x2(x1x2)4.点F在圆E的内部，0，即0，解得0m3.又m2，m3.故m的取值范围是(，3)3椭圆1(ab0)的左右焦点分别为F1(1,0)、F2(1,0)，过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A、B两点(1)若ABF2为正三角形，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的离心率满足0e，O为坐标原点，求证：|OA|2|OB|2|AB2|.(1)解：由椭圆的定义知|AF1|AF2|BF1|BF2|，|AF2|BF2|，|AF1|BF1|，即F1F2为边AB上的中线，F1F1AB.在RtAF1F2中，cos 30，则，椭圆的离心率为.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，0e，c1，a1.当直线AB与x轴垂直时，1，y2，x1x2y1y21，a2，0，AOB恒为钝角，|OA|2|OB|2|AB|2.当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为：yk(x1)，代入1，整理得，(b2a2k2)x22k2a2xa2k2a2b20，x1x2，x1x2，x1x2y1y2x1x2k2(x11)(x21)x1x2(1k2)k2(x1x2)k2令m(a)a43a21，由可知m(a)0，AOB恒为钝角，恒有|OA|2|OB|2|AB|2.4(2019河南4月)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，F1，F2分别为左、右焦点，过F1的直线交椭圆C于P，Q两点，且PQF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点M(3,0)的直线交椭圆C于不同两点A，B，N为椭圆上一点，且满足t(O为坐标原点)，当|AB|时，求实数t的取值范围解析：(1)e2，a24b2.又4a8，a2，b21，椭圆C的方程是y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)，AB的方程为yk(x3)，由，整理得(14k2)x224k2x36k240.由242k416(9k21)(14k2)0，得k2.x1x2，x1x2，(x1x2，y1y2)t(x，y)，则x(x1x2)，y(y1y2)k(x1x2)6k.由点N在椭圆上，得4，化简得36k2t2(14k2)又由|AB|x1x2|，即(1k2)(x1x2)24x1x23，将x1x2