2020届高考数学一轮复习考点50椭圆必刷题理（含解析）.docx

考点50 椭圆1（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为ABCD【答案】B【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：34761738，依题意，AF10017381838，BF40017382138.2a18382138，a1988，ac2138，c21381988150，椭圆的离心率为：，选B.2（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆：，的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（）ABCD【答案】B【解析】解：的内心为，连接和，可得为的平分线，即有，可得，即有，即有，故选：B3（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为()ABCD【答案】B【解析】解：设椭圆的两个焦点为,圆与椭圆交于,四个不同的点,设,则,椭圆定义,得,所以,故选：B4（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的右顶点和右焦点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，若三点共线，则椭圆的离心率为( )ABCD或【答案】A【解析】如图设,又，,三点共线,即,故选A.5（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是关于直线的对称点，且轴，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】、分别是椭圆的左、右焦点，点是关于直线的对称点，且轴，可得的方程为，的方程，可得，的中点为，代入直线，可得：，可得，解得故选：6（河南省洛阳市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，直线与椭圆另一交点为，且，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】设，作轴，垂足为，如下图所示：则：由得： ，即：由椭圆的焦半径公式可知：，整理可得：，即本题正确结果：7（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于_【答案】【解析】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与B,A，连接则，过作垂直于，连接， 交于点C设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为 在中， ， 解得 即 则椭圆的离心率 8（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆与轴正半轴交于点，离心率为直线经过点和点且与椭图E交于A、B两点（点A在第二象限）（1）求椭圆E的标准方程；（2）若，当时，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】解析：（1）由题意，且，所以，所以椭圆E的标准方程为（2）因为直线l经过点和点，所以直线l的斜率为，设，将其代入椭圆方程中，消去得，当时，设、，则，因为，所以，所以联立，消去、，整理得当时，解由且，故，所以9（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系中，设椭圆的左焦点为,短轴的两个端点分别为，且，点在上.()求椭圆的方程；()若直线与椭圆和圆分别相切于,两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.【答案】() .() .【解析】 ()由，可得，由椭圆经过点，得，由得，所以椭圆的方程为()由消去整理得（*），由直线与椭圆相切得，整理得，故方程（*）化为，即，解得，设，则，故，因此又直线与圆相切，可得所以， 所以，将式代入上式可得，由得，所以，当且仅当时等号成立，即时取得最大值 由，得，所以直线的方程为10（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且（1）求椭圆的方程（2）过椭圆右焦点的直线，交椭圆于两点，交直线于点，判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由【答案】（1）；（2）是，理由见详解.【解析】（1）由，得，即，所以是等腰三角形， 又，点的横坐标为2；又，设点的纵坐标为，解得，应取，又点在椭圆上，解得，所求椭圆的方程为； （2）由题意知椭圆的右焦点为，由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆并整理，得； 设，直线的斜率分别为，则有，可知的坐标为； ，又；所以，即直线的斜率成等差数列11（天津市河北区2019届高三一模数学理）已知椭圆C：过点，且离心率为（）求椭圆C的方程；（）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程。【答案】（）（）y=0或y=【解析】（）由题解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为（）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意；当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,设P（）,则Q（）,又PQ的垂直平分线方程为由，解得, 为等边三角形即解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=综上可知，直线的方程为y=0或y=12（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，下顶点为是的中点（为原点），连接并延长交椭圆于点，连接，得（1）求椭圆的离心率；（2）若是上一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点，求直线的斜率【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求出点坐标，根据可得，结合可得结果；（2）方程为，由，结合韦达定理可得 点坐标，利用列方程，进而可得结果.试题解析：（1），直线方程为，由得点坐标，离心率；（2）分析题意，易知直线的斜率存在，设方程为，由得，由以为直径的圆经过右焦点得，13（2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学理）已知点为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点.（）求椭圆的方程；（）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于两不同点，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（）求椭圆标准方程，只要求出参数，由于有，因此要列出关于的两个方程，而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得，再利用已知直线与椭圆只有一个公共点，即判别式为0可求得椭圆方程；（）由（）得点的坐标，从而可得，要求范围只要求得的范围，为此可直线分类，对斜率不存在时，求得，而当直线斜率存在时，可设出直线方程为，同时设，则，由韦达定理可把表示为的函数，注意直线与椭圆相交，判别式0，确定的范围，从而可得的范围，最后可得的取值范围.试题解析：（）由题意，得，则椭圆为：，由，得 ，直线与椭圆有且仅有一个交点， ，椭圆的方程为 ；（）由（）得，直线与轴交于 , ,当直线与轴垂直时， ,由 ,当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， ，由 ，依题意得，且 ， ， ， ， 综上所述，的取值范围是 .14（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知的周长为6，关于原点对称，且.点的轨迹为.（）求的方程；（）若，直线：与交于，两点，若，成等差数列，求的值.【答案】（）；（）2.【解析】（）依题意，故，则，故点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故的方程为.（）依题意，故.联立整理得.设，则，.故，则.15（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为，直线的斜率为，点在椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)作直线l与x轴垂直，交椭圆于两点（两点均不与P点重合)，直线，与x轴分别交于点.求的最小值及取得最小值时点P的坐标.【答案】（1）（2）的最小值为，此时点P的坐标为或【解析】 (1)由直线的斜率为可知直线的倾斜角为. 在中，,于是,椭圆,将代入得所以，椭圆E的标准方程 (2)设点.于是，直线,令,所以 直线，令，所以 又.代入上式并化简即， 当(即)时取得最小值，（）时，化简得根据题意：，若亦与题意不符，所以，此时或（）时，化简得将代入并化简得：根据题意：，若，而所以 不成立，即不成立综上，或，点P的坐标为或16（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学（理）已知椭圆：离心率为，直线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆方程；（2）设直线交椭圆于，两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意易得椭圆过点，结合，求出即可得结果；（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理根据中点坐标公式化简可得，求出，列出的中垂线方程即可得结果.【详解】（1）由直线被椭圆截得的弦长为，得椭圆过点，即，又，得，所以，即椭圆方程为.（2）由得，由，得.由，设的中点为，得，即，.的中垂线方程为.即，故的中垂线恒过点.17（湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试理）已知椭圆：的离心率为，焦距为.（1）求的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点.证明：直线的斜率依次成等比数列.若与关于轴对称，证明：.【答案】（1）； （2）见解析；见解析.【解析】（1）由题意可得：，解得： 椭圆的方程为：（2）证明：设直线的方程为：，由消去得：则，且，即直线的斜率依次成等比数列由题可知：由可知：，若，则两点重合，不符合题意；可知无法取得等号18（安徽省泗县第一中学2019届高三高考最后一模数学理）已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，又，则.椭圆方程为，将代入方程得，故椭圆的方程为；（2）不妨设直线的方程，联立消去得.设，则有，又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，由，得，将，代入上式得，将代入上式求得或（舍），则直线恒过点.，设，则在上单调递增，当时，取得最大值.19（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，点在第一象限，且，（1）求椭圆的标准方程；（2）设、为椭圆上不重合的两点且异于、，若的平分线总是垂直于轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的的长【答案】(1) (2) 【解析】（1），即，是等腰直角三角形，而点在椭圆上，所求椭圆方程为（2）对于椭圆上两点，的平分线总是垂直于轴，与所在直线关于对称，则，的直线方程为，的直线方程为，将代入，得，在椭圆上，是方程的一个根，以替换，得到，弦过椭圆的中心，存在实数，使得，当时，即时取等号，又， ，取得最大值时的的长为20（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理）已知直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于点，点为椭圆的左焦点，的周长为.（）求椭圆的标准方程；（）若直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点、，求证：直线与直线的交点在定直线上.【答案】（）（）见证明【解析】解：（）由已知，得，椭圆的标准方程.（）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在.令，.将直线的方程代入椭圆方程得：，同理，.由得，此时，直线，即点的定直线上.21（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）已知椭圆过点，右焦点是抛物线的焦点. （1）求椭圆的方程；（2）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在求出点的坐标:若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）因为椭圆过点，所以，又抛物线的焦点为，所以.所以，解得（舍去）或.所以椭圆的方程为.（2）假设在轴上存在定点，使得.当直线的斜率不存在时，则，由，解得或；当直线的斜率为0时，则，由，解得或.由可得，即点的坐标为.下面证明当时，恒成立.当直线的斜率不存在或斜率为0时，由知结论成立.当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，.直线与椭圆联立得，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且，.，所以恒成立综上所述，在轴上存在点，使得恒成立.22（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为相圆上一点，与轴交于，.（）求椭圆的方程；（）过右焦点的直线交椭圆于、两点若的中点为，为原点，直线交直线于点.求的最大值.【答案】（I）；（II）【解析】（I）连接，由题意得，所以为的中位线，又因为，所以，且 又，得，故所求椭圆方程为.（II）联立，可得.设、，则，所以为所以的中点坐标为， 因此直线的方程为，从而点为，设，令，则，因此当，即时取得最大值.23（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模）已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M：的切线与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）因为椭圆的离心率，所以，即 因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，所以所以椭圆的方程为（2）（i）当直线的斜率不存在时因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为由，不妨设，则以为直径的圆的方程为（ii）当直线的斜率为零时因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为由，不妨设，则以为直径的圆的方程